八年级数学下册16.3二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算课件(新版)新人教版
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16.3二次根式的加减课件+2023-—2024学年人教版数学八年级下册
同类项合并就是字母不变，系数相加减。
新课学习
二次根式的加减
7.5dm
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板
5dm
上截出两个分别是8dm2和18dm2的
dm
dm
正方形木板？
( + )dm
问题转化为比较7.5dm与( + )dm的大小。
新课学习
( + )
复习导入
2、把下列各根式化简
(1) 12
2
3
1
(5)
2
2
2
(2) 48
4
3
(6) 32
4
2
(3) 18
3
2
(4) 50
5
2
1
(7) 45 (8) 1
3
3
5
2
3
3
导入新课
计算下列各式：
（1）2x+3x
5x
（2）2x5-5x5+5x5
2x5
（3）3x+2x+3y
5x+3y
（4）3a2-2a2+a3
a2+a3
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并。
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的
运算实质也基本相同。
拓展提升
1.解下列方程和不等式．
（1）
x+
−
=2x+1
+
（2） （x-1）＞3（x+1）
分析：（1）先将分母有理化，再解方程即可解答本题；
（2）根据解不等式的步骤进行解答即可，注意不等号的方向。
八年级数学下册第12章二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算pptx教学课件新版苏科版
2
2
x2 xy y2 x y 2 xy
2
5 1 4.
CONTENTS
4
二次根式混合运 算的运算顺序
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加 减，如果有括号就先算括号里面的．
二次根式的 混合运算
利用乘法公式 进行混合运算
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 ；
(a+b)2=a2+2ab+b2； 完全平方公式：
解：( 3＋ 2)( 3－ 2) ( 3)2 ( 2)2 3 2 1.
（2） (3＋2 5)2. 解：(3＋2 5)2
32 2 3 2 5 (2 5)2 9 12 5 20 29 12 5．
利用乘法公式进行混合运算
练一练：计算：（1）（ 8+ 3） 6 ；（2）（4 2 3 6 ） 2 2. 解：(1)( 3 1)( 3 1) ( 3)2 12 3 1 2.
八年级数学下册苏科版
第12章 二次根式
12.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
1 2
CONTENTS
想一想：根据所学知识回答下列问题. 1.二次根式的乘法法则是什么？
a b a b(a 0，b 0) 2.二次根式的除法法则是什么？
（a≥0，b＞0） 3.二次根式的加减实质是什么？
(a-b)2=a2-2ab+b2；
乘法对加法的分配律： (a+b)(n+m)=an+am+bn+bm；
15
= 5 15+2 3 15 12
= 5 5+2 95 4
= 5 +6 5. 2
（2）(3＋ 10)( 2－ 5)．
16.3 二次根式的加减(第2课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮
他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细
彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)
解：镶壁画所用的金色彩带的长为：
4×（ 800+ 450）
=4×（20 2+15 2）
=140 2≈197.96（cm），
因为1.2m=120cm＜197.96cm，
整式乘法法则与整式乘法公式进行计算。运用的乘法公式主要是：平方
差公式与完全平方公式。
(a b)(a b) a 2 b 2 ,(a b) 2 a 2 2ab b 2
练一练
1、某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为 128米，宽为 50
米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部
分），每个长方形花坛的长为 13 + 1 米，宽为 13 − 1 米．
(1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/
1.
3 11
32
3.设实数 3的整数部分为m，小数部分为n，则(2m+n)(2m﹣n)的值是( A )
A．2 3
B．−2 3
C．2 3 − 2
D．2 − 2 3
4.化简( 3 − 2)2002 · ( 3 + 2)2003 的结果为(B )
A．－1
B． 3 + 2
C． 3 − 2
m a n b 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含
根号.
课堂练习
1.计算:
1
2 3
他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细
彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)
解：镶壁画所用的金色彩带的长为：
4×（ 800+ 450）
=4×（20 2+15 2）
=140 2≈197.96（cm），
因为1.2m=120cm＜197.96cm，
整式乘法法则与整式乘法公式进行计算。运用的乘法公式主要是：平方
差公式与完全平方公式。
(a b)(a b) a 2 b 2 ,(a b) 2 a 2 2ab b 2
练一练
1、某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为 128米，宽为 50
米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部
分），每个长方形花坛的长为 13 + 1 米，宽为 13 − 1 米．
(1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/
1.
3 11
32
3.设实数 3的整数部分为m，小数部分为n，则(2m+n)(2m﹣n)的值是( A )
A．2 3
B．−2 3
C．2 3 − 2
D．2 − 2 3
4.化简( 3 − 2)2002 · ( 3 + 2)2003 的结果为(B )
A．－1
B． 3 + 2
C． 3 − 2
m a n b 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含
根号.
课堂练习
1.计算:
1
2 3
16.3二次根式的加减(第2课时)
(1)(4 7 )(4 7 ) 解 : 原式
练习2
(2)( 6 2 )( 6 2 ) 解 : 原式
42 ( 7 )2 16 7 9
(3)( 3 2) 2
( 6 )2 ( 2 )2 62 4 (4)(2 5 2 ) 2
解 : 原式 ( 3) 2 3 2 ( 2 )
3 (2). 3 3 6 8 3 解 : 原式 6 3 3 6 8 9 3 18 4 3 9 2 2
(3).( 48 27 ) 3 解 : 原式 48 3 27 3 16 9 43 1
复习回顾
同类二次根式的概念？
怎样合并同类二次根式？二次
根式的加减运算的步骤？ 四则混合运算的顺序怎样？
知识回顾： 二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式.
(2)把各个同类二次根式合并.
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式.
3 3
2
2
8 27 19
（2）解：原式 6 4 2 3 2 4
2 2
练习1
(1). 27 3 6 2 3 6 (2). 3 3 8
1、注意运算顺序 2、运用运算律
ห้องสมุดไป่ตู้
(3).( 48 27 ) 3
(1). 27 3 6 2 解 : 原式 3 3 3 12 3 3 6 3 3 3
在二次根式的运算 中，多项式乘法法则 和乘法公式仍然适用。
=am+an+bm+bn
练习1
(1) 2 ( 3 5 )
八年级数学下册 第十六章 二次根式16.3 二次根式的加减第2课时 二次根式的混合运算课件 新版新
( 1 ) (2 3 ) (2 - 5 )； ( 2 ) (5 3 ) (5 -3 )
解：(1) ( 23)( 2-5)( 2)2325215
22 215
132 2 思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式（依据是：分配律）； 第三步的依据是：合并同类项．
随堂训练 基础巩固
1.计算： (1)2 7（7-1)-14+2 7 ；
(2)(2 3-3 2)(-2 3-3 2) 6 .
2. 计算(
24-3 152 22) 3
2
的结果是A(
)．
A．20 3 -3 30
3
C．3 30 - 2 3
3
B．20 3 - 30
3
D．2 30 - 2 3
3
3 .计 算 :(23- 5)(23). 解 ： (23- 5)( 23) = 23 2 + 23 3 -5 2 -5 3
例1 计算：
典例解析
( 1 ) (8 3 ) 6 ; ( 2 ) ( 4 2 3 6 ) 2 2 . 解：(1) ( 8 3) 6 8 6 3 6
48 18
第一步的依据是： 4 33 2
；
分配律或多项式乘单项式
第二步的依据是：二次根式乘法法则
； 第三步的依据是：二次根式化简
例1 计算：
思考 二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1 计算：
典例解析
( 1 ) (8 3 ) 6 ; ( 2 ) ( 4 2 3 6 ) 2 2 .
解：(1) ( 23)( 2-5)( 2)2325215
22 215
132 2 思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式（依据是：分配律）； 第三步的依据是：合并同类项．
随堂训练 基础巩固
1.计算： (1)2 7（7-1)-14+2 7 ；
(2)(2 3-3 2)(-2 3-3 2) 6 .
2. 计算(
24-3 152 22) 3
2
的结果是A(
)．
A．20 3 -3 30
3
C．3 30 - 2 3
3
B．20 3 - 30
3
D．2 30 - 2 3
3
3 .计 算 :(23- 5)(23). 解 ： (23- 5)( 23) = 23 2 + 23 3 -5 2 -5 3
例1 计算：
典例解析
( 1 ) (8 3 ) 6 ; ( 2 ) ( 4 2 3 6 ) 2 2 . 解：(1) ( 8 3) 6 8 6 3 6
48 18
第一步的依据是： 4 33 2
；
分配律或多项式乘单项式
第二步的依据是：二次根式乘法法则
； 第三步的依据是：二次根式化简
例1 计算：
思考 二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1 计算：
典例解析
( 1 ) (8 3 ) 6 ; ( 2 ) ( 4 2 3 6 ) 2 2 .
人教版数学八年级下册第十六章16.3.2二次根式的混合运算课件
二次根式的乘法法则是什么？
＋二次根＝式的混合运算顺序＝与实x数y类[(似x，＋即先y乘)方2－， 2xy]
将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x＋y，
＝1×[(2 3 ) －2×1]＝10. (2)(中考·包头)计算：
－ ＋( －1)0＝2
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于二次根式的混合运算的相关知识。
号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，
则 x 不可能是( C )
A. 3＋1
B. 3－1
C. 2 3
D. 1－ 3
【点拨】A.( 3＋1)－( 3＋1)＝0，故本选项不合题意；B.( 3＋
1)×( 3－1)＝2，故本选项不合题意；C.( 3＋1)与 2 3无论是相 加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
C. 6 到 7 之间
D. 7 到 8 之间
5. (2020·荆门)下列等式中成立的是( D )
A. (－3x2y)3＝－9x6y3
B. x2＝x＋2 12－x－2 12
C.
2÷
1＋ 2
13＝2＋
6
D. （x＋1）1（x＋2）＝x＋1 1－x＋1 2
6. 计算：
(1)(2019·泰州) 8－
1 2×
人教版数学八年级下册
第十六章
16.3.2 二次根式的混合运算
复习旧知
1.二次根式的乘法法则是什么？ 2.二次根式的除法法则是什么？ 3.怎样进行二次根式的加减运算？
导入新知
同学们，今天这节课，我们就一 起来学习关于二次根式的混合运算的 相关知识。
二次根式的混合运算
学习目标
1.含有二次根式的式子实行乘除运算和含有二 次根式的多项式乘法公式的应用．
人教版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第2课时 二次根式的混合运算
典例精析
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其 中有一段路基的横断面设计为上底宽 4 2 m，下底 宽6 2 m，高 6 m 的梯形，这段路基长 500 m，那 么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积 =路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
4 2m
6m
6 2m
利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式：(a + b)(a - b) = a2- b2；
完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
前面我们已经知
道二次根式运算
类比整式运算， 所以适用
解：∵3 10 4，
∴ a 3，b 10 3 .
∴ a2 b2 32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6 10
6 10 10.
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
B.( 12－ 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
(1) （3 2 3） 27+ 6 3 ； (2)（2023 3）0 + 3 12 - 6 . 2
解：(1) 原式 6 3 3 3 3 6
3 3 .
(2) 原式 1+2 3 3 3
32.
归纳 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注 意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.计算：（ 2+ 3）2 24 5 .
3. 设 a
2019年春八年级数学下册二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算课件(新版)新人教版
5 1 5 1 5 1 5 1 1, 5, xy 解： x y 2 2 2 2
x xy y x y xy
2 2 2
5
2
1 4.
随堂即练
6.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式
2 的运算时，通常有 3 1
（ 5） （ 3） 53 2.
2 2
新课讲解
(3) 3 2 48
18 4 3 ;
(3) 3 2 48 18 4 3 解： 3 2 4 3 3 2 4 3
2 2
3 2 4 3
30.
新课讲解
(1) 解： (1) 3 6 - 2 ； 8 3 6 - 2 8
( 2) 2+ 2 1- 2 .
( 2) 2+ 2 1- 2
= 6 2 - 3 2 8
= 62 - 32 8
= 2- 2 2 + 2 - 2 2 = 2- 2 2 + 2 - 2
a 3, b 10 3.
a 2 b2
32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6
10
6 10 10.
随堂即练
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 )3 3
B.( 12- 27) 3 1 D. 3( 2 3) 6 2 3
新课讲解
【变式题】计算：
(1) （ 3 2 3） 27+ 6 3 ；
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2．计算(5 48＋ 12－6 27)÷ 3的值是( A )
3．若 a＝2 2＋3，b＝2 2－3，则下列等式成立的是( B )
4．已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋ 3)x＋ 3的值是( C ) A．0 C．2＋ 3 5．计算： 32－ 8 ＝ 2 . 2 . 1 2 －4 . － ( 3 ＋ 1) ＝ 3 B. 3 D.2－ 3
解：(1)
1 ＝ n＋1－ n(n≥0)； n＋1＋ n
(2) 原式＝ ( 2 － 1 ＋ 3 － 2 ＋ 4 － 3 ＋ … ＋ 2017 － 2016 )( 2017 ＋ 1) ＝ (－1＋ 2017)( 2017＋1)＝2016.
解：原式＝12－4 3＋1＋3－2 3＋6 3－12＝4；
(2)( 3＋ 2)2016×( 3－ 2)2015.
解 ： 原 式 ＝ ( 3 ＋ 2 )2015×( 3 ＋ 2 )×( 3 － 2 )2015 ＝ [( 3 ＋ 2 )( 3 － 2)]2015×( 3＋ 2)＝12015×( 3＋ 2)＝ 3＋ 2.
(2)(2 12－ 2＋3 48)× 3
解：原式＝48－ 6
运用乘法公式进行二次根式的运算 6．计算：( 2＋1)( 2－1)＝ 1 ；(2＋ 3)2＝ 7＋4 3 . 7．计算：(2＋ 3)2－(2－ 3)2＝ 8 3 . 8．下列运算正确的是( D ) A．－a· a3＝a3 1 2 C．x－3x＝3 9．下列运算正确的是( D ) A．(5－2 3)(5＋2 3)＝25－2×3＝19 B．( 2＋ 3)2＝( 2)2＋( 3)2＝5 C．(2 2－ 3)( 2＋ 3)＝(2 2)2－( 3)2＝5 D．(2 10－ 5)÷ 5＝2 2－1 B.－(a2)2＝a4 D.( 3－2)( 3＋2)＝－1
6．计算： 2( 2－ 3)＋ 6的值是 2 7．计算：6
2 8．已知 x1＝ 3＋ 2，x2＝ 3－ 2，则 x2 1＋x2＝ 10 .
9．计算： (1) 3( 2－ 3)－ 24－| 6－3|； 1 (2)(3 18＋5 50－4
解：(1)－6 (2)2
1 2)÷ 32.
10．计算： (1)(2 3－1)2＋( 3－2)( 3＋6)；
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减 第2课时 二次根式的混合运算
1． 二次根式的混合运算： 二次根式混合运算的顺序与有理数的运算顺序相同， 先 算乘方 ，再 算乘除 ，最后 算加减 ，有括号的先算括号里面的． 2．在二次根式的混合运算中，乘法公式(平方差公式 仍然适用．最后的结果一定要化成 最简二次根式 . ， 完全平方公式 )
10．计算： (1)(3 2＋2 3)(3 2－2 3) (2)(2 5－ 2)2 (3)( 10＋ 7)( 10－ 7)－( 2＋1)2
解：(1)原式＝6 (2)原式＝22－4 10 (3)原式＝－2 2
1．化简 54× A．5 2 C． 3 A．4 C．2 A．ab＝1 C．a＝b
1 2＋ 12的结果是( D ) B.6 3 D.5 3 B.－4 D.－2 B.ab＝－1 D.a＝－b
11．已知 a＝3＋ 7，b＝3－ 7，求下列各式的值： (1)a2b＋ab2； (2)a2－b2； (3)a2－ab＋b2.
解：∵a＝3＋ 7，b＝3－ 7，∴a＋b＝6，a－b＝2 7，ab＝32－( 7)2＝2. (1)a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×6＝12； (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝6×2 7＝12 7； (3)a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝62－3×23× 6－ 2＝ 2 2 . 2．计算( 50－ 8)÷ 2的结果是 3 . 3．下列运算正确的是( B ) A. 3( 3＋ 1 3)＝3
B．( 12－ 27)÷ 3＝－1 2 C. 32÷ 2 ＝2 D．( 2＋ 3)× 3＝ 6＋2 3
4．化简 8－ 2( 2＋2)得( A ) A．－2 C．2 5．计算： 20＋ 5 － 12÷ 5 解：原式＝－3 (1) 1 3 B. 2－2 D.4 2－2
12．观察下列运算： ①由( 2＋1)( 2－1)＝1，得 1 ＝ 2－1； 2＋1
1 ②由( 3＋ 2)( 3－ 2)＝1，得 ＝ 3－ 2； 3＋ 2 ③由( 4＋ 3)( 4－ 3)＝1，得 … (1)通过观察你得出什么规律？用含 n 的式子表示出来； 1 1 1 (2) 利 用 (1) 中 你 发 现 的 规 律 计 算 ： ( ＋ ＋ ＋…＋ 2＋1 3＋ 2 4＋ 3 1 1 ＋ )×( 2017＋1)． 2016＋ 2015 2017＋ 2016 1 ＝ 4－ 3； 4＋ 3