六年级奥数讲义分数应用题之工程问题2

第四讲分数应用题之工程问题教学目标工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。

1.工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中的常见解题方法；3.工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。

经典精讲工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

【例1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。

乙请假多少天?【分析】（法一）甲一共干了16天，完成了11620⨯45=，还有415-=15，是乙做的，乙干了了116530÷=（天），休息了16610-=（天），请假天数为：1116116166102030⎛⎫--⨯÷=-= ⎪⎝⎭（天）。

（法二）假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成114()1620303+⨯=，超过单位“1”的41133-=，则乙请假1110330÷=（天）。

【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？【分析】甲的工作效率：120，甲的工作量：128205⨯=， 乙的工作量：23155-=，乙的工作效率：3115525÷=，所以乙单独完成这项工作需25天。

【例2】 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。

有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。

丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【分析】（1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：1112()8101215÷++=小时。

（2）丙帮助甲搬运了111831015⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭小时。

（3）丙帮乙搬运了835-=小时。

【拓展】甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？【分析】三队合做完成二项工程所用的天数111111184202430⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭天， 丙帮乙队做的天数：1111181542430⎛⎫+-⨯÷= ⎪⎝⎭天。

基本题型一、代换法【例3】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。

现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。

乙单独开几小时可以灌满？【分析】根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。

这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一池水。

可以计算出乙单独灌水的工作量为1111225410-⨯-⨯=，所以乙的工作效率为1(622)10÷--120=，所以整池水由乙管单独灌水，则需要112020÷=（小时）。

【巩固】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。

两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？【分析】（法一）两队合做2天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做的部分相当于甲做的4天，所以乙做了416433⨯=天，除去与甲合作的2天，以还要做1610233-=天。

（法二）甲的工作效率为16，所以乙的工作效率为113468⨯÷=。

两队合作2天后乙队独做还要111101226883⎛⎫-⨯-⨯÷= ⎪⎝⎭天才能完成。

【例4】 一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。

已知甲、乙工效的比是2:3。

如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？【分析】根据甲、乙工效比是2:3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3:2，也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的23。

由“甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半”可知，甲一共做了279+=天，把甲9天做的工作量给乙做，乙要2963⨯=天。

完成工程的一半乙要用6+7=13天。

所以这项工作由乙单独来做需要()22772263⎡⎤+⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦天。

技巧与方法【例5】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。

如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【分析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。

于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是124。

又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的45，14124530⨯=，甲、乙合作这一工程需用的时间为1111()1324303÷+= (天)。

【例6】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【分析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？11511171218365⎛⎫÷+=÷= ⎪⎝⎭（小时）。

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1135117112183636⎛⎫-⨯+=-= ⎪⎝⎭。

③余下的136由甲独做需要多少小时？11136123÷=（小时）。

④共用了多少小时？11721433⨯+=（小时）。

注：在工程问题中，转换条件是常用手法。

“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。

【例7】某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这项工作。

如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？【分析】最初的效率为110，交换工人A和B后效率减少110111-=1110，交换工人C和D后效率增加19110-=190，同时交换工人A和B，C和D后效率变为1101110-+190101990=，所需时间为：10181 19990101÷=。

二、比例法【例8】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。

甲、乙两合做需几天完成？【分析】根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。

”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。

完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3+2=5天。

乙独做的天数是：3(32)1532+⨯=-（天），甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需11161015⎛⎫÷+=⎪⎝⎭（天）。

注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。

其实这一点是与工程习惯无关的。

【例9】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？【分析】（法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：111()61015÷+=小时。

⑵甲清扫全长的136105⨯=，乙清扫了全部的126155⨯=。

⑶东西两城相距32126055⎛⎫÷-=⎪⎝⎭千米。

（法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是11:3:2 1015=，甲行了全程的332+，乙行了全程的332+，全程就是32126055⎛⎫÷-=⎪⎝⎭千米。

【例10】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。

在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%。

结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【分析】（法一）在晴天,一队、二队的工作效率分别为112和115，一队比二队的工作效率高112-115=160；在雨天，一队、二队的工作效率分别为()11140%1220⨯-=和()13110%1550⨯-=，二队的工作效率比一队高350-1201100=。

【分析】 由11:5:360100=知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，【分析】 此时完成了工程的1312⨯+115202⨯=，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。

（法二）设晴天有x 天，雨天有y 天，一队在下雨天的工作效率是：11601220⨯％＝。

二队在下雨天的工作效率是：13901550⨯％＝，所以有：11112201311550x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：610x y =⎧⎨=⎩。

三、列表法【例11】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。