26.1概率的计算
概率计算公式范文
概率计算公式范文概率计算是数理统计学中的一个重要概念，用于描述一些事件发生的可能性大小。
在实际应用中，概率计算常常被用于预测、决策和风险评估等方面。
本文就概率计算的基本概念、常见计算方法以及应用进行详细介绍。
一、概率的基本概念概率是一个用来描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示，其中A表示一些事件。
概率的取值范围在0到1之间，0意味着事件不可能发生，1意味着事件一定会发生。
概率的计算可以通过频率法、古典概率法和主观概率法等多种方法。
1.频率法频率法是根据事件在大量试验中发生的频率来估计其概率。
具体的计算方法是，将事件A在n次试验中发生的次数记为m，那么事件A发生的概率可以估计为P(A)≈m/n。
2.古典概率法古典概率法适用于每个事件的可能结果是等可能的情况。
古典概率的计算方法是，将事件A包含的有利结果的个数记为m，将所有可能结果的个数记为n，那么事件A发生的概率可以计算为P(A)=m/n。
3.主观概率法主观概率法是根据个人或专家的经验和判断来确定事件发生的可能性。
主观概率的计算方法是，根据个人的判断和信念来给事件赋予一个概率值，通常用百分比或独立判断的形式表示。
二、概率的常见计算方法在概率计算中，常用的计算方法包括加法法则、乘法法则、条件概率和贝叶斯定理等。
1.加法法则加法法则是用来计算两个事件相加概率的方法。
对于两个事件A和B来说，其概率的和可以计算为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
2.乘法法则乘法法则是用来计算两个事件同时发生概率的方法。
对于两个事件A和B来说，其概率的乘积可以计算为P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
3.条件概率条件概率是指在一些给定条件下，另一个事件发生的概率。
对于两个事件A和B来说，事件B在事件A发生的条件下发生的概率可以计算为P(B，A)=P(A∩B)/P(A)。
概率的计算方法
概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率的计算方法起着至关重要的作用。
本文将介绍常见的概率计算方法，并探讨它们的应用。
一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，利用概率可以评估事件的可预测性。
在概率的计算中，我们常用以下两个基本概念：样本空间和事件。
1.1 样本空间样本空间是指实验的所有可能结果的集合。
以投掷一枚骰子为例，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
1.2 事件事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。
比如"出现奇数点数"可以表示为事件A，{1, 3, 5}是事件A对应的结果。
二、概率的计算方法在实际计算中，我们可以使用不同的方法来计算概率。
下面介绍几种常见的概率计算方法。
2.1 经典概率经典概率是一种基于均等可能性假设的计算方法。
对于具有有限个可能结果的等可能实验，可以使用经典概率计算。
其计算公式为：P(A) = N(A) / N其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A包含的样本点个数，N表示样本空间的大小。
例如，在一副标准扑克牌中，出现黑桃A的概率为：P(黑桃A) = 1 / 522.2 频率概率频率概率是通过实验观察事件发生的频率来估计概率。
对于重复实验，观察事件发生的次数，将其除以总实验次数，就可以得到频率概率的估计。
例如，我们投掷一枚均匀的骰子，经过1000次实验，出现6的次数为200次，则出现6的频率概率为：P(出现6) = 200 / 1000 = 0.22.3 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
它的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
例如，假设有两个盒子，盒子1中有2个红球和3个蓝球，盒子2中有4个红球和1个蓝球。
从两个盒子中随机选择一个盒子，然后从该盒中随机抽取一个球，如果抽取的球是红色，那么它来自盒子1的概率为：P(来自盒子1|红色球) = P(来自盒子1∩红色球) / P(红色球)= (1/2 * 2/5) / ((1/2 * 2/5) + (1/2 * 4/5))= 2/6= 1/32.4 加法法则加法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
概率的运算法则课件
解设
表示事件“第i次取到黑球”，
则所求即为
.
可以验证有： 此模型常被用作描述传染病的数学模型.
三、全概公式与贝叶斯公式
1. 全概公式
引例 一个仓库中堆放着甲、乙两个车间的相同 产品，各占70%和30% ，已知甲车间的次品率 为1% ， 乙车间的次品率为1.2% ，现从该仓库 任取一件产品，求取到次品的概率.
故
另解 考虑到 故
注 该题的两种解法较为典型： 前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较 繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用 了对立事件概率之和为1的性质，简化了计算.
例3 你的班级中是否有人有相同的生日？ 这一事件的概率有多大？
解 设A表示n个人组成的班级中有人生日相同. 并设人的生日在一年365天的每一天是等可能的， 则基本事件总数为365n ，但A的基本事件数不易确定. 而 的基本事件数为
2. 推广到更为一般的情形是: 将样本空间 按某种已知方式划分为有限个两
两互斥的部分 B1 ， B2 ，···， Bn，A是 中的任意 的事件，作为 的一部分， A也相应被划分为两两 互斥的有限个部分 AB1，AB2 ，···，ABn .
图示
如果能计算出A的各个子事件AB1，AB2 ，···，ABn 的概率P(AB1) ，P(AB2) ，···，P(ABn) ，而作为它 们的和事件A的概率
解 设A表示第一取得红球， B表示第二次取得白球, 则求P(B | A)
方法一 按定义 因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中 有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4,
所以
方法二 按乘法法则
由乘法法则 注 条件概率的计算方法：
(1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
第26章 随机事件的概率(全章学案)
第26章 随机事件的概率26.1.1什么是概率 本章总第 1课时教学目标：1.理解概率的含义。
2.对于一些简单的问题，学会列出机会均等的结果以及其中所关注的结果，从而求出某一事件的概率。
3.培养实验操作能力。
教学重点、难点：1.某一具体事件的概率实验。
2.某一具体事件的概率值所表示的含义。
教学过程一、情境引入班级联欢会上举行抽奖活动：每个同学的名字都写在小纸条上投入抽奖箱，其中男生22名，女生20名。
老师闭上眼睛从搅匀的小纸条中抽出一张，恰好抽中男同学的概率大，还是抽中女同学的概率大？通过本节课的学习，相信你一定会做出判断的。
二、自学练习1.抛掷一枚硬币有 个可能的结果：“ ”和“ ”。
这两个结果出现的可能性 ，各占50% 的机会，50% 这个数表示事件“出现正面”发生的可能性的大小。
2.表示 ，叫做该事件的概率。
如，抛掷一枚硬币，“出现反面”的概率为21，可记为 =21 3.让我们一起回顾已经做过的几个实验及其结果，并完成课本表26.1.1，从中发现，几个动手实验观察到的频率值也可以开动脑筋分析出来，当然，最关键的有两点：(1)要清楚我们关注的是 结果；(2)要清楚 的结果。
4.（1）、（2）两种结果 就是关注的结果发生的概率，如ｐ（掷得“６” ）＝61，读作：掷得 等于61. 5. 任意投掷均匀的骰子，4朝上的概率是_______三、合作交流1.掷得6的概率等于61表示什么意思？答 。
2.不是6（也就是1－5）的概率等于多少呢？这个概率值表示什么意思呢？ 答 。
3.以下说法合理的是-------------------------------------（ ）A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率分别是30%B ．抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现点数6的概率是61的意思是每6次就有1次掷得6C.某彩票的中奖率是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖D.在一次实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后，正面朝上的概率是0.48和0.514.气象台短期预报的准确率已达95%.现预报“明天本地阴转中雨”，那么说“明天下雨是必然事件”的是 的（填“对” 或“不对”），理由是 。
261概率的预测1课件
巩固练习 ——分析法
事件
关注的 结果
所有机会 均等的结果
关注结果 发生的概率
抛掷两枚硬币 出现两个正面
两个正面
两个正面；两个反面； 先正后反；先反后正
1 4
抛掷一枚六面 体骰子掷得６
掷得６
数字１、２、３、４、 ５、６
1 6
从一副没有大 小王的扑克牌 中随机地抽一 张抽中黑桃
抽中黑桃
巩固练习 ——分析法
事件
关注的 结果
所有机会 均等的结果
关注结果 发生的概率
抛掷两枚硬币 出现两个正面
两个正面
两个正面；两个反面； 先正后反；先反后正
1 4
抛掷一枚六面 体骰子掷得６
掷得６
数字１、２、３、４、 ５、６
1 6
从一副没有大 小王的扑克牌 中随机地抽一 张抽中黑桃
抽中黑桃
黑桃；红桃；梅花；方 块
1 4
巩固练习 ——实验法
26.1概率的预测（一）
回顾问题 以旧促新
你抛掷一枚硬币，出现正面的 可能性有多大？
学习新概念
概率的定义：表示一个事件发生的可能性大 小的数，叫做该事件的概率（probability）。
学习新概念
概率的定义：表示一个事件发生的可能性大 小的数，叫做该事件的概率（probability）。
例如，抛掷一枚硬币，“出现正面”的概率 为 1 ，记为：P（出现正面）＝ 1 ， 读作2 ：出现正面的概率等于 1 。2
从一副没有大 小王的扑克牌 中随机地抽一 张抽中黑桃
巩固练习 ——分析法
事件
关注的 结果
所有机会 均等的结果
关注结果 发生的概率
抛掷两枚硬币 出现两个正面
游戏中的概率
练一练
（1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列 可作为替代物的是 （ ） A.一颗均匀的骰子 B.瓶盖 C.图钉 D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）
有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜 子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两 种实验结果是不一样的。
（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和 6个白球进行实验，结果会怎样？
小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小
请分析
需要研究的问题
用替代物模拟实验的方法用什么实物一来自硬币一枚图钉0.6
0.6
0.4
黑球12只；白球8只
二、转盘游戏
例2 如图是配紫色（红蓝结合）游戏中的两个转盘，你能用列表的方法求出配成紫色的概率是多少？请利用A、B盘设计一个配色游戏，使自由转动的转盘停止时，使指针指向的区域概率为1/6,并说明设计理由？
A盘 B盘
A盘
B盘
三、扫雷游戏
例3、如图：计算机扫雷游戏，在9×9个小方格中，随机埋藏着10个地雷，每个小方格只有1个地雷，，小王开始随机踩一个小方格，标号为3，在3的周围的正方形中有3个地雷，我们把他的区域记为A区，A区外记为B区，，下一步小王应该踩在A区还是B区？
02
03
04
05
06
01
遇雷的概率为3/8，
解：A区有8格3个雷，
汇报日期
B区有9×9-9=72个小格，
所以第二步应踩B区
还有10-3=7个地雷，遇到地雷的概率为 7/72，
由于3/8大于7/72，
还有一些像纸牌游戏、骰子游戏等等
26.2 模拟实验
用替代物模拟实验 想一想:今年8月，小张和小王只买到一张雅典奥运会开幕式入场券，他们想到用抽签来决定这张入场券归谁，两张签上：一张写上“有”，另一张空白，折叠后放入暗箱中，若谁摸出有字的签，则开幕式入场券就归谁。但他们手边恰好没有笔和纸，你能不能帮他们想想办法？
26.1.1什么是概率
2 5
1 5
4 5
3 5
小试牛刀
填空：
1 1、投掷一枚正四面体骰子，掷得“3”的概率是 4
2、在一个装着白、红、黑三只除颜色之外没有任何 其他区别的小球的布袋中，闭上眼睛，取出红球的概率 1 是
1 3、投掷一枚正六面体骰子，掷得“6”的概率是 6
（ 3 ）点数小于5；
2 3
（ 4 ）点数小于7； 1
（ 5 ）点数大于6； 0
1 3
（ 6 ）点数为5或3．
学习小结：
通过今天的学习，结合学过的知识和经验， 可以清楚一个事件的概率 必然事件：P =1
确定事件
事件 不确定事件 不可能事件： P=0
关注的结果的个数 P 所有机会均等的结果个数
反思提高
1 读作：出现数字1的概率等于 6 6
感知理解
表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做 该事件的概率（probability）．
由定义可知:
(1)概率是表示一个事件发生的可能性大小的那个数. (2)一个事件发生机会的大小可以用频率的稳定值 来估计；于是概率也可以用频率的稳定值来表示.
(3)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；
想一想
问题1、 在我们班里有女同学23人，男同学17 人。把每位同学的名字分别写在一张小纸条上， 放入一个盒中搅匀。老师闭上眼睛从中随便的取 出一张纸条，如果抽到的是男同学，则带男同学 去郊游；如果抽到的是女同学，则带女同学去郊 游。你们同意吗？ 分析：全班40个学生名字被抽到的机会是均等的。 即所有等可能的结果为40种，抽到女生的可能结果 有23个。 P(抽到女同学名字）=？ P(抽到男同学名字）=？
概率计算方法总结
概率计算方法总结一、引言概率计算是数学中的一个重要分支，它广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、经济学等等。
概率计算方法的研究和应用，不仅可以帮助我们预测未来的可能性，还能帮助我们做出正确的决策。
在本文中，我们将总结一些常用的概率计算方法，并从实际应用的角度加以解析。
二、基本概念和公式在深入讨论概率计算方法之前，我们首先需要了解一些基本概念和公式。
概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数来表示，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
概率的公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A包含的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。
在实际计算中，我们通常将概率转换成百分比的形式，以更好地理解和应用。
三、事件概率的计算方法1. 经验概率法经验概率是通过观察实际现象得出的概率。
它通过频率或实验的方法进行计算。
我们通过重复实验并统计事件发生的次数，然后用事件发生的次数除以实验次数，即可得到经验概率。
这种方法适用于事件发生次数相对较多且可重复的情况。
2. 古典概率法古典概率是根据事件的可能结果数进行计算的。
它假设样本空间中的每个样本点出现的概率是相等的。
我们可以通过计算有利结果的数量与样本空间的数量之比，来得到古典概率。
这种方法适用于样本空间中的每个样本点出现的概率相等的情况。
3. 几何概率法几何概率是根据几何图形的面积或长度计算事件的概率。
它适用于连续变量的情况。
我们可以根据几何图形的性质和几何公式来计算事件的概率。
例如，计算某个事件发生在某个区间内的概率，我们可以通过计算区间所占的面积或长度与整个几何图形的面积或长度之比，来得到几何概率。
四、概率计算方法的实际应用概率计算方法在现实生活中有着广泛的应用。
下面我们将以几个例子来说明。
1. 投资决策在投资决策中，我们经常会根据历史数据和市场趋势来计算某个投资的概率。
通过计算投资成功的可能性，我们可以决定是否进行投资，以及投资的金额和期限。
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C． 1
6
D． 1
9
随堂练习
2、（安徽中考2016）．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，
每个小球上各标有一个数字，分别是1,4,7,8．现规定从袋中任取
一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放
回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位
数的十位数．
（1）写出按上述规定得到所有可= 能的两位数；
考点解读 考点2 概率的计算
列举法 求概率
如果在一次实验中，有n种可能的结果并且它 的发生的可能性相等，事件A包含其中的m中结 果，那么事件A发生的概率为____m ______。
n
用树状图或 表格求概率
当当一次实验涉及3个或更多因素，列举法就 不方便了，可采用树状图或表格法表示出所有 可能的结果，再根据_m ____计算概率。
数的十位数．
（1）写出按上述规定得到所有可= 能的两位数；
典例精析 典例2
在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜 色之外没有其他区别． （1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？ （2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你 用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出 相同颜色球的概率．
解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球， 它们除了颜色之外没有其他区别， ∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是： ； （2）画树状图得：
中考数学复习
概率与统计
考点解读 考点1 事件的分类
确定性 事件
必然 一定会发生的事件叫做_必_然__事_件___，它发 事件 生的概率为__1__。
不可能 事件
一定不会发生的事件叫做不__可_能__事_件__，它 发生的概率为_0___。
随机 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件， 事件 称为__随_机__事_件____，它发生的概率介于0与1之间。
A.事件M是不可能事件
B. 事件M是必然事件
C.事件M发生的概率为 1 D. 事件M发生的概率为 2
5
5
小试牛刀
命题点 列举法求概率
1、甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲 没有站在中间的概率为_____2 3____。 2、（安徽中考）在“妙手推推推”的游戏中，主持 人出示了一个258396417的9位数，让参加者猜商品 价格。被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位中从 左到右连在一起的某4个数字。如果参与者不知道商 品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜 一个，则他猜中该商品价格的概率16为___________。
小试牛刀
命题点 画树状图或表格求概率
1、（安徽中考）某校决定从三名男生和两名女生中
选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，
则选出的恰为一男一女的概率是…………【B 】
A． 4
5
B． 3
5
C． 2
5
D． 1 5
小试牛刀 命题点 画树状图或表格求概率
2、（安徽中考）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则 是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人， 以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人 中的某一人． （1）求两次传球后，球恰在B手中的概率； （2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．
n
考点解读 考点3 利用频率估计概率
一般地，在大量重复实验中，如果事件A出
频率与概率 现的频率会稳定在某个常数
附近，我
们估计这个事件A的概率也是 ___.
方法技巧
计算事件的概率，关键是找出所有等可能性的结 果数，用列举法求概率时，经常用直接列举法， 会用到分类思想，分类时标准明确，分类结果不 重不漏，列举时每种结果出现的可能性是相等的 。
A．1
B．2
C． 3
D．4
典例精析 典例2
在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜 色之外没有其他区别． （1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？ （2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你 用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出 相同颜色球的概率．
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7
的概率．
=
随堂练习
2、（安徽中考2016）．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，
每个小球上各标有一个数字，分别是1,4,7,8．现规定从袋中任取
一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放
回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位
A B C, A ，B A,
A C B, A C A
1
∴两次传球后，球恰在B手中的概率为 4 .
（2）画树状图如下：
∵由树状图可知，三次传球的所有等可能结果有8种，球恰 在A手中的情况有和两种， ∴三次传球后，球恰在A手中的概率为 2 1.
84
典例精析 典例1
下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷 一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数， 其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能 围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ B ）．
小试牛刀 命题点 画树状图或表格求概率
2、（安徽中考）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则
是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，
以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人
中的某一人．
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．
（1）∵两次传球的所有等可能结果有4种 球恰在B手中的情况只有一种，
∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况， ∴两次取出相同颜色球的概率为： = ．
随堂练习
1、（安徽中考2012）如右上图，有三条绳
子穿过一片木板，姐妹两人分别站在木板的
左、右两边，各选该边的一条绳子。若每边
每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同
一条绳子的机率为（ B ）
1
1
A． 2 B． 3
小试牛刀
命题点 事件的分类
1、下列事件中是必然事件的是（A ）
A、早晨的太阳一定从东方升起
B、打开数学课本时刚好翻到第60页
C、从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上
D、今年14岁的小云一定是初中生
2、（安徽中考）从正五边形的五个顶点中，任取四
个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等
腰梯形”.下列推断正确的是B（ ）