10-4重积分的应用

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小块, 将 Ω 分成 n 小块 在第 k 块上任取一点 (ξk ,ηk ,ζk ), 的质点, 将第 k 块看作质量集中于点 (ξk ,ηk ,ζk ) 的质点 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标 例如
x≈
∑ξ ρ(ξ ,η ,ζ
Ω
o x
y
= ρ ∫∫∫ ( r2 sin2 φ cos2 θ + r2 sin2 φ sin2 θ)
Ω
⋅r2 sinϕdrd d ϕ θ
球体的质量 4 3 M = πa ρ 3
= ρ ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr
3 4 0 0 0
z
dIz = (x + y )ρ (x, y, z)dv
2 2
Ω
的转动惯量: 因此物体 对 z 轴 的转动惯量
o x
y
Iz = ∫∫∫ (x + y )ρ (x, y, z)dxdydz
2 2 Ω
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类似可得: 类似可得 对 x 轴的转动惯量
Ix = ∫∫∫ ( y + z ) ρ (x, y, z)dxdydz
A= ∫∫
= ∫∫
D
1+ zx2 + zy2 dxdy
1+ x2 + y2 dxdy
R 0
D
= ∫ dθ ∫
0
2π
1+ r r dr
2
3 2 2 2 = π [(1+ R ) −1)] 3
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的球的表面积. 例4. 计算半径为 a 的球的表面积 方法1 利用球坐标方程. 解: 方法 利用球坐标方程 设球面方程为 r = a 球面面积元素为
4
C2 D
o
2
x
1 π = ∫0 sinθ dθ 3π
56 π 4 ∫2sinθ r dr = 9π ∫0 sin θ dθ
4sinθ
π 56 56 3 1 π 7 2 4 = ⋅ 2∫ sin θ dθ = ⋅ 2⋅ ⋅ ⋅ = 0 9π 9π 4 2 2 3
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一个炼钢炉为旋转体形, 例6. 一个炼钢炉为旋转体形 剖面壁线 的方程为 9x2 = z(3 − z)2 , 0 ≤ z < 3, 若炉 的均质钢液, 内储有高为 h 的均质钢液 不计炉体的 自重, 求它的质心. 自重 求它的质心 轴上， 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 故 其坐标为
D D
∴Ix = ∫∫ µ y2 d xd y = µ ∫∫ r3 sin2 θ dr dθ
1 4 1 π = µ ∫ sin θ dθ ∫ r dr = µa ⋅ 2⋅ ⋅ 0 0 4 2 2 1 2 半圆薄片的质量 M = π a µ 2 1 = Ma2 4
π
2 Байду номын сангаас 3
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D
2 0
2 0
= ∫∫
[ 1−( (x − x0 ) D
2
+ ( y − y0 )
2
)] d xd y
4
2 1 = π − ∫∫ r2 ⋅ r dr dθ = π − π dθ r3 dr = π ∫0 ∫0 D 2 四川大学数学学院 邓瑾
令x − x0 = r cosθ , y − y0 = r sinθ
无限积累而成. 处小切平面的面积 d A 无限积累而成 设它在 D 上的投影为 dσ , 则 dσ y x dσ = cosγ ⋅ dA r z 1 n cosγ = 1+ fx2(x, y) + fy2(x, y) γ dA d A= 1+ fx2(x, y) + fy2(x, y) dσ M dσ (称为面积元素 称为面积元素) 称为面积元素
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dθ
Ω
2π
0
∫
α
0
sinϕdϕ
∫
2acosϕ
0
r2 dr
16π a3 α 3 4π a3 cos ϕsinϕdϕ = = (1− cos4 α ) 3 ∫0 3
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r z n γ 设光滑曲面 S : z = f (x, y) , (x, y)∈D M S 则面积 A 可看成曲面上各点 M(x, y, z)
求半径为a 例2. 求半径为 的球面与半顶角为α 的 内接锥面所围成的立体的体积. 内接锥面所围成的立体的体积
2a
z
M 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 0 ≤ r ≤ 2acosϕ α ϕr Ω: 0 ≤ϕ ≤α o y x 0 ≤θ ≤ 2π dv = r2 sinϕdθ dϕdr 则立体体积为
2 2 2 2 z = 2x0 x + 2y0 y +1− x0 − y0
它与曲面 z = x2 + y2 的交线在 xoy 面上的投影为
(x − x0 ) + ( y − y0 ) = 1 (记所围域为D ) (记所围域为 记所围域为D
2 2
2 2 ∴ V = ∫∫ [ 2x0 x + 2y0 y +1− x − y −x − y ] d xd y
例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量 8.求均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球 取球心为原点 所占域为 Ω: x2 + y2 + z2 ≤ a2 , 则
l
z
Iz = 用球坐标) 用球坐标 (x2 + y2 )ρ dxdydz (用球坐标 ∫∫∫
2 2
Ω
对 y 轴的转动惯量
Iy = ∫∫∫ (x2 + z2 ) ρ (x, y, z)dxdydz
Ω
对原点的转动惯量
Io = ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 ) ρ (x, y, z)dxdydz
Ω
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如果物体是平面薄片, 如果物体是平面薄片 面密度为 µ(x, y), (x, y)∈D 则转动惯量的表达式是二重积分. 则转动惯量的表达式是二重积分
k=1 n k k k
n
k
)∆vk
∑ρ(ξ ,η ,ζ
k=1 k k
k
)∆vk
令各小区域的最大直径 λ →0,即得
∫∫∫ xρ(x, y, z)d xd ydz x= ∫∫∫ ρ(x, y, z)d xd ydz
Ω Ω
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同理可得
∫∫∫ yρ(x, y, z)d xd ydz y= ∫∫∫ ρ(x, y, z)d xd ydz ∫∫∫ zρ(x, y, z)d xd ydz z= ∫∫∫ ρ(x, y, z)d xd ydz
z
asinϕdθ
dθ
asinϕ
d A= a2 sinϕdϕdθ
∴ A= a2 ∫ dθ ∫ sinϕdϕ
0 0 2π
ϕ
o θ x
a
adϕ
y
π
= 4π a2
方法2 利用直角坐标方程. 见书 方法 利用直角坐标方程 (见书 P109)
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三、物体的质心
设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 m ( k = 1, 2, L n ) ,由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知, , k
z
o
x
x = y = 0,
∫∫∫ z=
h
Ω
z dxdydz V
2 2
h
采用柱坐标, 采用柱坐标 则炉壁方程为 9r = z(3 − z) , 因此
V = ∫∫∫ dxdydz= ∫0 dz∫∫D d xd y= ∫
Ω
z
π
0
9
z(3 − z)2dz
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9 1 2 V = h ( − 2h+ h ) 9 2 4
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一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 z = f (x, y),(x, y)∈D, 则其体积为
V = ∫∫ f (x, y)dxdy
D
• 占有空间有界域 Ω 的立体的体积为
V = ∫∫∫ dxdydz
Ω
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例1. 求曲面 S1 : z = x + y +1 任一点的切平面与曲面 S2 : z = x2 + y2所围立体的体积 V . 解: 曲面 S1在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为
§9.4 重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积 三、质心 四、转动惯量 五、引力
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1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法 元素法) 元素法 • 从定积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、 定出积分限、计算要简便
Fy F ∂z ∂z x =− , =− , F ∂y F ∂x z z
(x, y)∈Dx y
∴ A= ∫∫ Dy x
F 2 + Fy2 + F 2 x z F z
dxd y
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例3. 计算双曲抛物面 z = xy 被柱面 x2 + y2 = R2 所截 出的面积 A . 解: 曲面在 xoy 面上投影为 D: x2 + y2 ≤ R2 , 则