D9_4重积分的应用
模拟量和数字量的转换—D_A转换器(电子技术课件)
2 LSB
FSR
1
2
≤ 0.05%，即 ×
1
2 −1
≤ 0.05% ⇒
1
由于10位D/A转换器分辨率为 10
2 −1
的D/A转换器。
=
1
2 −1
1
1023
≤ 0.1%。
= 0.097%，故应取十位或十位以上
总结
DAC主要技术指标： VLSB 、 VFSR 、分辨率、转换速度、
转换精度
倒T形电阻网络D/A转换器
位数比较多时问题更突出。难以在极为宽广的阻值范围内保证每个电阻
都有很高的精度，对制作集成电路不利且影响转换器精度。
总结
权电阻网络DAC：结构比较简单，所用电阻元件数很少。
但各个电阻阻值相差较大，尤其在输入信号位数比较多时
问题更突出，影响转换器精度。
开关树型DAC
分压器型
双积分型ADC
间接ADC
权电容网络DAC
V-F变换型ADC
总结
1. DAC：数模转换器
ADC：模数转换器
2. DAC的分类、ADC的分类
D/A转换器的应用
以AD7520为例，介绍D/A转换器的应用。
AD7520是一种10位CMOS型的D/A转换集成
芯片，与微处理器完全兼容。该芯片以接口
1
对于n位D/A转换器，分辨率也可表示为：分辨率= 。如10位D/A转换器
2 −1
1
的分辨率为 10
2 −1
=
1
1023
≈ 0.001。DAC输入位数n越多，电路的分辨率越高。
分辨率体现D/A转换器对输入微小量变化的敏感程度。
4. 转换速度：指从输入数字量到转换成稳定的模拟输出电压所需要的时间。
交流力矩电机控制器的电路原理与检修
交流力矩电机控制器的电路原理与检修交流力矩电机控制器的电路原理与检修一、交流力矩电动机性能简述力矩电动机，又分为交流力矩电动机和直流力矩电动机，在电路结构上与一般的交、直流电动机相类似，但在性能上有所不同。
本文以交流力矩电机控制器的原理和检修内容为重点。
交流力矩电动机转子的电阻比变通交流电动机的转子电阻大，其机械特性比较软。
对力矩电机的使用所注重的技术参数主要是额定堵转电压、额定堵转电流和额定堵转电流下的堵转时间等。
力矩电动机是一种具有软机械特性和宽调速范围的特种电机，允许较大的转差率，电机轴不是像变通电机一样以恒功率输出动力而是近似以恒定力矩输出动力。
当负载增加时，电机转速能随之降低，而输出力矩增加；力矩电动机的堵转电流小，能承受一定时间的堵转运行。
配以晶闸管控制装置，可进行调压调速，调整范围达1：4；力矩电动机适用于纺织、电线电缆、金属加工、造纸、橡胶塑料以及印刷机械等工业领域，其机械特性特别适用于卷绕、开卷、堵转和调速等工艺流程。
早期对力矩电动机的调速和出力控制，是采用大功率三相自耦变压器，来调节力矩电机的电源电压，电力电子技术相对成熟后，逐步过渡到采用晶闸管调速（调压）电路和变频器调速（调频），实施对力矩电动机的调速控制。
交流力矩电动机的晶闸管调速控制器，与一般的三相晶闸管调压电路（主电路结构和控制电路）是相同的，只不过驱动负载有所不同而已。
有的设备在控制环节引入电流或电压负反馈闭环控制，改善了起动和运行性能，也提高了机械特性硬度。
2 、一款最简单的力矩电动机控制器_此主题相关图片如下，点击图片看大图：图1 HDY-2型力矩电机控制器这是一款适用于额定堵转电流12A以下小功率三相力矩电动机的控制器电路，整机电路安装于一个小型机壳内，机器留有6个接线端子，三个为电源进线端子，三个为电机接线端子。
主电路采用双向晶闸管BT139（三端塑封元件），工作电流16A，耐压600V，触发电流≤50mA。
考研数学二-400_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二-400(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中．只有一个选项是符合题目要求的．1.设，那么与对角矩阵相似的矩阵是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析] 矩阵A的特征值是1，3，5，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A～Λ．矩阵B的特征值是2，2，5，由于秩所以，λ=2只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵曰不能相似对角化．矩阵C是实对称矩阵，故必有C～Λ．矩阵D的特征值也是2，2，5，由于所以，λ=2有两个线性无关的特征向量，因而矩阵D可以相似对角化．故应选(B)．评注本题归纳了判断相似对角化的基本思路与方法．当A T=A或A有n个不同的特征值时，矩阵A必可相似对角化；而当特征值有重根时，要通过秩来判断．2.设可导函数x=x(t)由方程所确定，其中可导函数f(u)＞0，且f(0)=f'(0)=1，则x"(0)=SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[分析] 令t=0，由题设方程可得x(0)=0．在题设方程两边对t求导，得cost-f[x(t)]x'(t)+f(t)=0，(*)在(*)式中令t=0，可得x'(0)=2．在(*)两边再对t求导，得-sint-f'[x(t)][x'(t)]2-f[x(t)]x"(t)+f'(t)=0，(**)在(**)式中令t=0，可得x"(0)=-3．故选(C)．3.设函数F(x，y，z)具有连续偏导数，若从方程F(x，y，z)=0能分别解出函数x=f(y，z)，y=g(z，x)与z=h(x，y)，则未必有SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析一] 把F(x，y，z)=0看成关于(x，y)的恒等式，并将恒等式两边求微分，由一阶全微分形式不变性即得F'x dx+F'ydy+F'zdz=0．(*)从而不选(A)．由(*)式可得，从而计算可得从而也不选(C)与(D)．即应选(B)．[分析二] 用举例法即可选出正确选项．考虑函数F(x，y，z)=x+y+z，于是F'x =1，f'z=1，又由z=-(x+y)知z'x=-1．这表明F'x=F'z≠z'x．应选(B)．4.设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)A n x=0和(Ⅱ)A n+1x=0，则必有SSS_SINGLE_SELA (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[分析] 若α是(Ⅰ)的解，即A nα=0，显然A n+1α=A(A nα)=A0=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．若η是(Ⅱ)的解，即A n+1η=0．假若叼不是(Ⅰ)的解，即A nη≠0，那么对于向量组η，Aη，A2η，…，A nη，一方面这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knA nη=0，用A n左乘上式，并把A n+1η=0，A n+2η=0，…，代入，得kA nη=0．由于A nη≠0，必有k=0．对k 1Aη+k2A2η+…+knA nη=0，用A n-1左乘上式可推知k1=0．类似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量组η，Aη，A2η，…，A nη线性无关，两者矛盾．所以必有A nη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故应选(A)．5.以y1=e x cos2x，y2=e x sin2x与y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是SSS_SINGLE_SELA y'"+y"+3y'+5y=0．B y"'-y"+3y'+5y=0．C y'"+y"-3y'+5y=0．D y'"-y"-3y'+5y=0．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析] 线性无关特解y1=e x cos2x，y2=e x sin2x与y3=e-x对应于特征根λ1=1+2i，λ2=1-2i与λ3=-1，由此可得特征方程是(λ-1-2i)(λ-1+2i)(λ+1)=0λ3-λ2+3λ+5=0．由此即知以y1=e x eos2x，y2=e x sin2x与y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是y'"-y"+3y'+5y=0．应选(B)．6.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，则SSS_SINGLE_SELA 当时不是曲线y=f(x)的水平渐近线．B 当时x=0不是曲线y=f(x)的垂直渐近线．C 当时曲线y=f(x)必有斜渐近线．D 当且时y=kx+b一定是曲线y=f(x)的渐近线．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 用排除法．取f(x)=arctanx，则(A)不对．取则(B)不对．取f(x)=x+sinx，则(C)不对．由排除法可知，应选(D)．或直接证明(D)正确，留作考生自己练习．7.设函数f(x)在点x=0处二阶可导，当x≠0时f(x)≠0，且在点x=0处连续，则SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[分析] 由F(x)在点x=0处连续知，即．这表明f(x)与cosx-1当x→0时是等价无穷小量，从而当x→0时上式又可以表成其中o(x2)是当x→0时比x2高阶的无穷小量．与f(x)的二阶麦克劳林公式对比即知f(0)=f'(0)=0，f"(0)=-1．故应选(A)．8.设函数z=f(x，y)在点(x0，y)处有f'x(x，y)=a，f'y(x，y)=b，则SSS_SINGLE_SEL A极限一定存在，但f(x，y)在点(x0，y)处不连续．Bf(x，y)在点(x0，y)处必连续．Cdz|(x0，y0)=adx+bdy．D 及存在且相等．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 由f'x (x，y)存在即知一元函数f(x，y)在x=x处连续，故．类似由f'y (x，y)存在即知一元函数f(x，y)在y=y处连续，故．即(D)正确．或举反例用排除法．取，计算可得f'x(0，0)=f'y(0，0)=0，同时可证明存在，f(x，y)在点(0，0)处连续，f(x，y)在点(0，0)处不可微分，这样可排除(A)，(C)．取计算可得f'x (0，0)=f'y(0，0)=0，同时可证明f(x，y)在点(0，0)处不连续，这样可排除(B)．由排除法可知，应选(D)．二、填空题9.=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] 令被积函数，注意f(x)是偶函数，且当x2≤2时，有利用夹逼定理可得，当x2≤2时，有f(x)=2．类似可得当x2＞2时，有f(x)=x2．故10.设函数f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足f'(0)=1，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] 所求极限是“∞-∞”型未定式，可通分化为型未定式求极限．11.已知a，b满足，则曲线y=x2+ax与直线y=bx所围区域的最大面积与最小面积分别为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] 因为故常数a与b除满足a≤0≤b外还满足a2+b2=1．又曲线y=x2+ax与直线y=bx交于x=0与x=b-a，从而它们所围图形的面积为应用拉格朗日乘数法，令，则由解得驻点此时又弧a2+b2=1且a≤0≤b的两个端点处a分别为0与-1，当a=0时b=1，此时当a=-1时b=0，此时故所求面积的最大值为最小值为12.=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析]而于是原积分=13.微分方程的通解是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:x+e-(x+y)=C．[分析] 原方程可改写为令u=x+y，则有上式两边积分得-e-u=x-C，将u=x+y代入得通解为x+e-(x+y)=C．14.已知ABC=D．其中则B*=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] A、C都是初等矩阵，它们可逆，故B=A-1DC-1．我们可以求出B，然后按定义法求B*．这样计算量较大，若注意到D可逆，于是B可逆，而由因此亦可通过求B-1来达到求B*．易见，|B|=|A-1||D||C-1|=-6．又B-1=(A-1DC-1)-1=CD-1A故三、解答题确定常数A与B的值，使得函数当x→0时满足f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:改写函数f(x)可得其中．利用ln(1+x)的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式ln(1+x)=可得当x≠0时代入e g(x)的关于g(x)的二阶麦克劳林公式就有从而故所求常数16.设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y，(Ⅰ) 确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；(Ⅱ) 求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；(Ⅲ) 求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ) 方法1° 由得ay+y2=2y，解得y=0，y=2-a．由0＜y=2-a＜2可得，0＜a ＜2．方法2° C1，C2交于三点O，M，P的充要条件是a＞0，且抛物线C1在原点处的曲率K＞1(圆C2的曲率为1)．由于，所以C1在原点处的曲率为因此，当0＜a＜2时，C1，C2交于三点O，M，P．(Ⅱ) 两曲线x2=ay，x2+y2=2y的交点为O(0，0)，，由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大．由于S'(a)=2(2-a)2(1-2a)，f"(a)=-4(2-a)(1+a)＜0，令f'(a)=0，解得唯一驻点，所以点为最大值点，此时，所求面积的最大值为(Ⅲ) 由定积分的几何意义可得所求旋转体的体积(圆柱体的体积减去二倍抛物旋转体的体积，如图)为17.设x＞0时，，其中函数f(x)在区间(0，+∞)上连续且单调增加．试证：F(x)在(0，+∞)也单调增加．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:自然的想法是求F'(x)．由于F(x)中的第一项变限积分中被积函数除依赖于积分变量t外，还依赖于x，所以要通过变量替换把积分化为只有积分限含有x 的变限积分，然后再求导．于是，令，则由变限积分求导法得为比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得当0＜x＜1时，由得当时有当x＞1时，由得当时有代入即得F'(x)＞0(x＞0，x≠1)，此外还有F'(1)=0．因此，F(x)在(0，+∞)单调增加．18.设对任意的x和y，有，用变量代换将f(x，y)变换g(u，v)，试求满足中的常数a和b．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:由题意，两边分别对u，v求偏导数得因此有利用(f'1)2+(f'2)2=4，即(f'2)2=4-(f'1)2得(a+b)(v2-u2)(f'1)2+2(a+b)uvf'1·f'2+4au2-4bv2=u2+v2，由此得a+b=0，4a=1，-4b=1，故19.设计算二重积分，其中积分区域D=(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:用1-x2-y2=0把D分成D1与D2两部分，如图所示，则20.设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明：至少存在一点ξ∈[0，a]，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 9答案:[证明一] 利用f(x)=f(0)+f'(ξ1)(x-0)=f(0)+f'(ξ1)x可得因f'(x)在[0，a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在m和M，使m≤f'(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf'(ξ1)≤Mx，故即由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得即，于是[证明二]因为f'(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a])，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得于是[证明三] 令则F(x)可用麦克劳林公式表示为即令x=a得[分析] 所给问题为f(x)的定积分与f'(ξ)之间的关系．可以考虑成原函数与F"(ξ)之间的关系，从而可利用二阶泰勒公式来证明．如果认定为考察f(x)与f'(ξ)之间关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．也可以利用积分中值定理来证明．21.求微分方程满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，其中常数k＞0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:令p=y'，则y"=p'，故有两边积分得由上式得，所以由y'(0)=0得C1=1或C1=-1．由题意知x+1≥1，k＞0，故y"＞0y'单调增加，又y'(0)=0x＞0时y'＞0C1=1．于是当k=1时，，由y(0)=0得C2=，故所求特解为当k＞0，k≠1时，由y(0)=0得，故所求特解为22.已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求A n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值是1，1，2．因为A有3个线性无关的特征向量，所以秩r(E-A)=1．又故a=1．由(E-A)x=0，即得基础解系α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，0)T．由(2E-A)x=0，即得基础解系α3=(2，-1，3)T．那么令P=(α1，α2，α3)，有从而A=PΛP-1．于是A n=PΛn P-1评注要搞清相似对角化的充分必要条件，掌握相似对角化的应用求A n．23.已知三元二次型x T Ax的平方项系数均为0，并且α=(1，2，-1)T满足Aα=2α．(Ⅰ) 求该二次型表达式；(Ⅱ) 求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；(Ⅲ) 若A+kE正定，求k的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ) 据已知条件，有，即解出a12=2，a13=2，a23=-2，所以x T Ax=4x1x2+4x1x3-4x2x3．(Ⅱ) 由得矩阵A的特征值为2，2，-4．由(2E-A)x=0，得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；由(-4E-A)x=0，得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T．将α1，α2正交化．令β1=α1，则再对β1，β2，α3单位化，有那么令(Ⅲ) 因为A+kE的特征值为k+2，k+2，k-4，所以当k＞4时，矩阵A+kE 正定．1。
格林公式(公开教学用)
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成； （2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2） 条其实是可以修改的，应该改成什么？
江苏专转本高等数学 定积分 例题加习题
- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
核磁共振测井技术及应用
核磁共振测井资料应用
2、利用核磁共振测井划分有效储层
常用料在规常前 是 岩储测规车体在景层井测6含车评有，曲井60油6价效车线资6井气井沙性反料6沙6情在评三映0难三井况价沙段储以段是。识三的层准发在别段同发确现车和砂时育计油6岩砾，，算6层砂石岩兼但地1砾物勘探由层5体层理探沙于孔高3参获四砾隙5部数得段石度.9位发成，岩、m部挥功以性划，署了后向复分沙的很，西杂出四一大展扩，储段的口示大岩层钻作评该车石的遇用价区6骨有地6。井良井架效层，好区测性厚其的沙井。度钻河油值核43探街气难磁8目组勘以测.5的砾探确井m定，资，
4
∫ MCBW = T2min S(T2 )dT2
毛管束缚水含量：大于4ms小于T2截止值的T2分布 的积分面积。
∫ MBVI =
S (T )dT T2cutoff
4
22
T2谱分布，可直观显示储层的孔隙结构。 提供几乎与岩性无关的、准确的总孔隙度、有 效孔隙度、毛管束缚水体积、渗透率等。
注意！ 要获得更为准确的可动流体体积和渗透率
T2 截止值
4.00
4.00
T2 谱
3.00
3.00
2.00
CBW BVI BVM
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M骨a架trix
干D粘ry土
粘土水
毛管 束缚水
可动水
烃
核磁共振测井资料处理
核磁渗透率
毛管束缚流体孔隙度
自由流体 孔隙度
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T2 衰减
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T2 分布谱
无界闭区域上的积分中值定理
无界闭区域上的积分中值定理数学与应用数学 200410700102 张薇 指导老师 范江华【内容摘要】本文主要是将有界闭区域上的积分中值定理推广到无界闭区域上的积分中值定理.关于积分中值定理的文献和结论很多，但一般都是在Riemann 积分的意义下的一元函数的积分中值定理，且讨论的区域都是有界闭区域.本文证明了在一般的无界闭区域上，在Lebesgue 积分意义下，n 重积分中值定理同样成立，我们得到如下结论：设D 是n R 中的无界闭区域，R R D f D m n →⊂=∂:,0)(在D 上连续且有界，R R D g n →⊂:在D 上Lebesgue 可积，0)(≥P g a.e.，且()()f P g P ⋅在D 上也Lebesgue 可积，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0. 本文主要运用了区域的道路连通性证明了文中所得结论.因为︒D 是道路连通的，所以存在连续映射︒→D c ]1,0[:，又因为函数R R D f n →⊂:在D 上连续，故R c f →]1,0[: 连续.所以存在]1,0[0∈t ，使得00)(P t c =，故在︒D 内存在一点0P ，使得⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0. 【关键词】 积分中值定理；无界闭区域；Lebesgue 积分；道路连通性一 引言积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，其结果表现形式多样.文献[1]中的积分中值定理叙述为：设R b a f →],[:在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.文献[1]也给出了推广的积分中值定理的表述：定理1 若R b a f →],[:和R b a g →],[:都在],[b a 上连续，且R b a g →],[:在],[b a 上不变号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰⎰=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ.文献[6]给出了如下更强的结果：定理2 设R b a f →],[:在],[b a 上连续， R b a g →],[:在],[b a 上可积且不变号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ. 同样，二重积分中值定理通常有如下表述方式：定理3 设D 为平面上的有界闭区域，R R D f →⊂2:在D 上连续， RR D g →⊂2:在D 上可积且不变号，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使得⎰⎰⎰⎰=DD dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ.定理4 设D 为平面上的有界闭区域，R R D f →⊂2:在D 上连续， RR D g →⊂2:在D 上可积且不变号，则至少存在一点),(ηξ是D 的内点，使得⎰⎰⎰⎰=DD dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ.由于)(x f 在区域D 上Riemann 可积必定Lebesgue 可积，因此定理2和定理4可以推广到Lebesgue 积分上.定理5 设R b a f →],[:在],[b a 上连续，R b a g →],[:在],[b a 上Lebesgue 可积，且0)(≥x g a.e.，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ. 定理6 设D 为平面上的有界闭区域，R R D f →⊂2:在D 上连续， RR D g →⊂2:在D 上Lebesgue 可积，且0),(≥y x g a.e.，则至少存在一点),(ηξ是D 的内点，使得⎰⎰⎰⎰=DD dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ.文献[5]叙述的n 重积分中值定理为：定理7 设D 是n R 中的有界闭区域，0)(=∂D m ，R R D f n →⊂:在D 上连续，R R D g n →⊂:在D 上Lebesgue 可积， 且0)(≥P g a.e.，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0. 上述定理均是在有界闭区域上讨论的积分中值定理，但在一般的无界闭区域上，要求R R D f n →⊂:在D 上有界， R R D g n →⊂:在D 上Lebesgue 可积，且0),(≥y x g a.e.时，同时要求()()f P g P ⋅在D 上也Lebesgue 可积，那么，能否找到︒∈D P 0，有⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0 呢？以下将证明这种推广是成立的.二 符号、基本定义与定理为了证明本文所得结论还需要以下定义和引理：定义1[1] 具备下列性质的非空点集D 称为开区域：（1） D 为开集；（2） D 中任意两点可用全在D 中的折线连接.定义2[1] 开域D 加上它的边界C 称为闭域，记为C D D +=.定义3[4] 如果区域D (开的或闭的)能被一个中心在原点，半径适当大的圆包围在里面，则称区域D 是有界的，反之称为是无界的.在下文中，如不作特别说明，区域D 均是指无界闭区域.定义4[1] 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切S x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；(2) 对任何ηα<，存在S x ∈0，使得α>0x ，即η又是S 的最小上界，则称数η为数集S 的上确界，记作S sup =η.定义5[1] 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：(1) 对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界；(2) 对任何ξβ>，存在S x ∈0，使得β<0x ，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作S inf =ξ.定义6[2] 设X 是一个拓扑空间，从单位闭区间[0，1]到X 的每一个连续映射X f →]1,0[:叫做X 中的一条道路，并且此时)0(f 和)1(f 分别称为道路f 的起点和终点.当)0(f x =和)1(f y =时，称f 是X 中从x 到y 的一条道路.起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点(也是它的终点)称为闭路的基点.如果f 是X 中的一条道路，则道路f 的象集])1,0([f 称为X 中的一条曲线或弧，并且这时道路f 的起点和终点也分别称为曲线])1,0([f 的起点和终点.定义7[2]设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x ，y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路(或曲线)，我们则称X 是一个道路连通空间. X 中的一个子集Y 称为X 中的一个道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间.推论1 区域是道路连通的.证明 根据道路连通的定义，结论显然成立.推论2 无界闭区域是道路连通的.证明 无界闭区域是区域，从而是道路连通的.定理8[2] 设X 和Y 是两个拓扑空间，其中X 是道路连通的，Y X f →:是一个连续映射，则)(x f 是道路连通的.定义8[1] 设函数f 在)(0x U 上有定义，若对任意0>ε，存在0>δ，使得当δ<-x x 0时，有ε<-)()(0x f x f ，则称f 在点0x 连续.定义9[1] 若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上连续函数.定理9[1]（介值性定理） 设函数f 在闭区间],[b a 上连续，且)()(b f a f ≠.若μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数()()(b f a f <<μ或)()(b f a f >>μ)，则至少存在一点),(0b a x ∈，使得μ=)(0x f .定义10[3] 如果存在0P 的某一邻域)(0P U ，使得D P U ⊂)(0，则称0P 为D 的内点.定义11[3] 设E 是n R 中一点集， 0P 为n R 中一定点，如果0P 的任一邻域内都含有无穷多个属于E 的点，则称0P 为E 的一个聚点.定义12[3] 设E 是n R 中一个点集，有(1) E 的全体内点所成的集合，称为E 的开核，记为︒E ；(2) E 的全体界点所成的集合，称为E 的边界，记为E ∂；(3) E 的全体聚点所成的集合，称为E 的导集，记为'E ；(4) 'E E ⋃称为E 的闭包，记为E .定理10[3] 凡开集、闭集皆可测.为证明本文结论还需要如下几个引理.引理1 设D 为n R 上的无界闭区域，R R D g n →⊂:在D 上可积，0)(≥P g 且⎰=D d P g 0)(σ，则0)(=P g a.e.于D .证明 D 可表示为]0)([]1)([1=⋃≥=∞=P g D n P g D D n . 令]1)([nP g D D n ≥=，则n D 为可测集(闭集均可测).因为 10()()()(),n n nn D D D D D g P d g P d g P d g P d mD n σσσσ-==+≥≥⋅⎰⎰⎰⎰ 所以0.n mD =即0]0)([]0)([)]1)([(1=>=≠=≥∞=P g mD P g mD n P g D m n . 所以0)(=P g a.e.于D .引理2 设D 为n R 上的无界闭区域，R R D f n →⊂:是D 上的连续函数，m 是它的下确界，实数μ满足：m >μ，则存在︒∈D P 0，使得m Pf ≥>)(0μ. 证明 ①若存在D P ∈1，有m P f =)(1.有以下两种情况：︒1 若︒∈D P 1，取10P P =即可.︒2 若D P ∂∈1，则1P D ∈︒ð，对于任意0>r ，使1P 的邻域1(,)B P r D ⋂︒≠∅.因为R D f →:是D 上的连续函数，则对任意0>ε，存在01>r ，使对任意︒⋂∈D r P B P ),(110，有ε<-)()(10P f P f .取0>-=m με，则有m P f P f -<-μ)()(10，所以μμ=+-<)()(10P f m P f .命题得证.②若对任意D P ∈，有m P f >)(，由于m 为)(P f 在D 上的下确界，令0>-=m με，则m m >+2ε，由下确界的定义知，存在D P ∈1，使2)(1ε+<m P f . 由)(P f 在D 上连续，存在01>r ，使对任意︒⋂∈D r P B P ),(110，有2)()(10ε<-P f P f ，所以有 μεεεε=+=++<+<m m P f P f 222)()(10. 即存在︒∈D P 0，有m Pf >>)(0μ. 综合①②知存在︒∈D P 0，使得m Pf ≥>)(0μ. 引理3 若R R D f n →⊂:是D 上的连续函数，其中D 为无界闭区域， M 是它的上确界，实数μ满足：M <μ，则存在︒∈D P 0，使得M Pf ≤<)(0μ.证明 ①若存在D P ∈1，有M P f =)(1.有以下两种情况：︒1 若︒∈D P 1，取10P P =即可.︒2 若D P ∂∈1，则1P D ∈︒ð，对于任意0>r ，使1P的邻域 1(,)B P r D ⋂︒≠∅.因为R D f →:是D 上的连续函数，对任意0>ε，存在01>r ，使对任意︒⋂∈D r P B P ),(110，有ε<-)()(10P f P f ，取0>-=μεM ，则有μ-<-M P f P f )()(10，所以μμ=-+>M P f P f )()(10.命题得证.②若对任意D P ∈，有M P f <)(，由于M 为)(P f 在D 上的上确界，令0>-=μεM ，则M M <-2ε，由上确界的定义知，存在D P ∈1，使2)(1ε->M P f . 由)(P f 在D 上连续，存在01>r ，使对任意︒⋂∈D r P B P ),(110，有2)()(10ε<-P f P f ，所以有 μεεεε=-=-->->M M P f P f 222)()(10. 即存在︒∈D P 0，有M P f <<)(0μ.综合①②知存在︒∈D P 0，使得M P f ≤<)(0μ.引理4 设D 为n R 上的无界闭区域， R R D f n →⊂:在D 上连续， m 和M 分别为它的下确界和上确界，对任意实数μ，满足M m <<μ，则存在︒∈D P 0，使得μ=)(0P f .证明 因为函数R R D f n →⊂:在D 上连续，由引理2、引理3知，存在︒∈D P 1，满足μ<)(1P f ；存在︒∈D P 2，满足μ>)(2P f .又因为︒D 是道路连通的，则存在连续映射︒→D c ]1,0[:，有1)0(P c =，2)1(P c =.因为函数R R D f n →⊂:连续，所以R c f →]1,0[: 也连续，且有μ<=)()0(1P f c f ，μ>=)()1(2P f c f ，由连续函数的介值性定理知，存在]1,0[0∈t ，有μ==)]([)(00t c f t c f .取00)(P t c =，则︒∈D P 0，从而有μ=)(0Pf .三 定理的证明下面给出无界闭区域上积分中值定理的证明.定理 设D 是n R 中的无界闭区域，R R D f D m n →⊂=∂:,0)(在D 上连续且有界， R R D g n →⊂:在D 上Lebesgue 可积，0)(≥P g a.e.，且()()f P g P ⋅在D 上也Lebesgue 可积，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0. 证明 设f 在D 上的上确界为M ，下确界为m .因为0)(≥P g a.e.于D ，所以⎰≥D d P g 0)(σ.① 若⎰=D d P g 0)(σ，由引理1知0)(=P g a.e.于D .因为m 和M 分别为f 在D 上的下确界和上确界，所以由不等式)()()()(P Mg P g P f P mg ≤≤可得⎰⎰⎰≤≤D D Dd P g M d P g P f d P g m σσσ)()()()( . （1）所以0)()(=⎰D d P g P f σ.此时任取︒∈D P 0，有⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0. ②若⎰>D d P g 0)(σ，设⎰⎰=DDd P g d P g P f σσμ)()()(， 则只需证存在︒∈D P 0，有μ=)(0P f 即可.由（1）知M m ≤≤μ.下面分两种情况来论证：︒1 若M m <<μ，则由引理6知存在︒∈D P 0，使得μ=)(0P f ，此时定理成立.︒2 若m =μ或M =μ，不妨先设m =μ.因为⎰⎰=DDd P g d P g P f σσμ)()()(， 所以0)()()(=-⎰⎰D Dd P g d P g P f σμσ， 即0)(])([=-⎰D d P g P f σμ.因为0)(])([≥-P g P f μ a.e.于D ，则存在δ使得0])([>≥δP g mD . 反之，若对任一N n ∈，有0]1)([=≥nP g mD ， 令]1)([nP g D D n ≥=，则 ]0)([]0)([]1)([1<⋃=⋃≥=∞=P g D P g D n P g D D n ， 所以因为D P g D ⊂=]0)([，所以mD P g mD ≤=]0)([.从而有mD P g mD ==]0)([.又由⎰>D d P g 0)(σ得⎰⎰>==-D P g D D d P g d P g 0)()(]0)([σσ，从而0]0)([])0)([(>=-==-P g mD mD P g D D m ，即]0)([=>P g mD mD ，矛盾.令1])([E P g D =≥δ，则D E ⊂1且1E 可测，且对任意，有0)(>P g ， 0)(])([=⋅-P g P f μ a.e.于1E .所以有μ=)(P f a.e.于1E .因为0)(=∂D m ，所以11)(mE D E m =∂-.从而对任意︒⋂∈D E P 1，使得0)(=-μP f a.e.，111([()])[()0][()0]1[()][()0][()0].n n mD m D g P mD g P mD g P n mD g P mD g P mD g P n ∞=∞==≥+=+<≤≥+===所以存在︒⋂∈D E P 10，使得μ=)(0P f .同理可证当M =μ时，存在︒∈D P 0，有μ=)(0P f .综上所述，至少存在一点︒∈D P 0，使得⎰⎰=DDd P g d P g P f P f σσ)()()()(0， 即⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第三版，北京：高等教育出版社，2001.6.[2] 熊金城.点集拓扑讲义[M].第三版，北京：高等教育出版社，2003.12.[3] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].第二版，北京：高等教育出版社，2003.12.[4] 郭大钧等.数学分析[M].第一版，济南：山东科学技术出版社，1982.6.[5] 范江华，杨斌妮.多重积分中值定理[J].数学实践与认识.2007，37（12）：197—200.[6] 杨彩萍.二重积分中值定理中间点的进一步讨论[J].中国民航学院学报.2000，18（2）：57—61.Integral Mean Value Theorem of Unbounded Closed Domain【Abstract 】This article mainly promotes the integral mean value theorem of bounded closed domain to the integral mean value theorem of unbounded closed domain. There are lots of literatures and results about the integral mean value theorem, but all are the integral mean value theorems in function of a single variable generally, establishes in the Riemann integral and bounded closed domain. Here we prove that the integral mean value theorem of n-tuple had been established similarly in unbounded closed domain, also under the Lebesgue integral significance. So we obtain the following conclusion: We suppose D is the unbounded closed domain of n R , R R D f D m n →⊂=∂:,0)( is continuous and bounded in D , R R D g n →⊂: is Lebesgue integrable in D , 0)(≥P g a.e., and ()()f P g P ⋅ is also Lebesgue integrable in D , then there will be one point 0P which is the D inner point at least, and cause:⎰⎰=DD d P g P f d P g P f σσ)()()()(0. Here we mainly utilize the path connectivity to prove the obtained conclusion in the article. We know it exists ︒→D c ]1,0[: because it is path-connected on ︒D , and the function R R D f n →⊂: is continuous on D , so R c f →]1,0[: is continuous, and that the existence of ]1,0[0∈t makes 00)(P t c =, therefore, we get the conclusion : there is one point 0P in ︒D , which causes the conclusion of this article to come into existence.【Key words 】Integral mean value theorem; Unbounded closed domain; Lebesgue integral; Path connectedness。
PID参数的整定方法
1 PID参数的整定方法 第一节：PID的含义 一． 控制论的发展，PID的产生。 1. 自动控制，又称自动调节，自十九世纪产生以来，其历史也就短短的一百多年。一百年来，尤其在工程控制领域，自动控制得到了极其普遍的应用，取得了辉煌的效果。毫不夸张地说：如果没有自动控制，我们的社会就不可能发展到现在这个地步。而大学中增加自动控制专业的历史也非常短，是有数学专业转化而来。（本人就是自动控制专业毕业的） 2．负反馈： 在自动控制的研究过程中，提出了一个重要概念：负反馈。咱们搞自动控制的都知道，一个控制系统中，负反馈回路可以使得系统稳定，正反馈使得系统发散。
负反馈理论应用非常广泛。不只工业控制使用负反馈，大到国家宏观调控，中到商业管理，小到个人的行为，角角落落，无不出现负反馈的身影。
负反馈过量，就是控制过度，会使得系统发生震荡。控制过度其实就是比例带过小。负反馈是不是过量，也跟比例带的设置有关系。 3．稳定性：
负反馈的方法有了，但是怎样界定震荡与不震荡，是否控制过度呢，1932年美国通信工程师H.奈奎斯特发现电子电路中负反馈放大器的稳定性条件，即著名的奈奎斯特稳定判据。从此有了判断设计的控制系统是否稳定的手段。
4. 中国人在自动控制领域的贡献 《工程控制论》，作者钱学森。他在闲暇时（因新中国建立，他想回国，美国人就不准其接触核心科学）写出的在工程控制领域具有里程碑式的一本书。 2
二．PID是什么？ 1． 调节器：执行机构好比人手脚，本控制量好比人的眼睛和感知器官，而调节器就是人的大脑，它是一个控制系统的核心。基本的调节器具有两个输入量：被调量和设定值。被调量就是反映被调节对象的实际波动的量值。比如水位温度压力等等；设定值顾名思义，是人们设定的值，也就是人们期望被调量需要达到的值。
基本的调节器至少有一个模拟量输出。大脑根据情况运算之后要发布命令了，它发布一个精确的命令让执行机构去按照它的要求动作。