第三章 重积分及其应用 第四节 重积分的应用
重积分的积分应用和物理意义
重积分的积分应用和物理意义重积分是高等数学中一个重要的概念和工具。
它的出现是为了解决多元函数在空间区域内的积分问题。
在实际应用中，重积分有着广泛的应用，尤其是在物理学领域。
本文就对重积分的积分应用和物理意义进行分析。
一、重积分的积分应用1.体积和质量的计算在几何学和物理学中，体积和质量的计算都涉及到对空间中某个区域的积分。
例如，在三维空间中，某个具有规则形状的立体体积可以通过三重积分计算得出。
具体地，设空间中一个体积为V的区域为S，对其进行三重积分可以得到S的体积为：V = ∫∫∫ S dx dy dz同样的，如果在空间中某一点对应有一定质量，那么对该区域进行三重积分可以得到该区域的质量。
这时需要考虑到每个小立方体所包含的质量及其对应的体积，即：m = ∫∫∫ S ρ(x, y, z) dx dy dz其中，ρ(x, y, z)表示该点的密度。
2.力的计算在物理学中，重积分可用于计算某个物体所受的外力。
例如，平面上某个点的引力如果可以看成是均匀分布的，那么该点所受的外力可以通过对其周围区域进行二重积分得到。
具体地，如果某一点所受的引力函数的密度为ρ(x, y)，则该点所受的外力F可以表示为：F = ∫∫ D ρ(x, y) dS其中，D为该点周围的区域面积，dS为微小面积元素。
3.能量的计算在物理学中，重积分还可用于计算某个系统所具有的能量。
例如，某个三维物体所具有的动能可以通过对其质点进行积分计算得到。
具体地，设空间中某个物体的速度场为V(x, y, z)，则其动能可以表示为：E = 1/2 * m * ∫∫∫ S [V(x, y, z)]^2 dx dy dz其中，m为该物体的总质量。
二、重积分的物理意义重积分在物理学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解物理现象的本质和规律。
以下就以几个例子来说明重积分的物理意义。
1.空间电荷密度在电学中，空间电荷密度常常需要进行积分计算。
例如，在计算某一电场强度时，我们需要考虑到空间中每个点的电荷密度对该点电场强度的影响。
多重积分及其应用
多重积分及其应用多重积分是数学分析中的重要概念之一，它是对多个变量的函数在某个区域上进行积分的方法，常用于描述多变量问题的求解。
本文将介绍多重积分的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、多重积分的定义在单变量积分中，我们已经了解到积分是函数的反导数，表示曲线下的区域面积。
而在多重积分中，我们将积分的概念进行了推广，用于描述函数在二维或更高维空间中的区域上的累积效应。
对于二维空间中的函数，我们可以定义二重积分。
设函数f(x, y)在闭区域D上有界，如果存在极限∬D f(x, y)dxdy = A其中，D为区域D上的一组二重闭合区域，那么A就是函数f(x, y)在区域D上的二重积分。
其中，dxdy表示对x和y进行积分。
在实际计算中，我们可以将二重积分分解为两个单变量的积分，先对x进行积分，再对y进行积分。
类似地，我们可以推广到三维空间中的三重积分。
如果函数f(x, y, z)在闭区域V上有界，且以下极限存在∭V f(x, y, z)dxdydz = A其中，V为区域V上的一组三重闭合区域，那么A就是函数f(x, y, z)在区域V上的三重积分。
在实际计算中，我们可以按照积分次序的不同，先对x进行积分，再对y进行积分，最后对z进行积分。
二、多重积分的性质多重积分具有许多有用的性质，下面我们介绍其中的一些重要性质。
1. 线性性质：多重积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及两个函数f(x)和g(x)，有∬D (af(x) + bg(x))dxdy = a∬D f(x)dxdy + b∬D g(x)dxdy这个性质的重要性在于，我们可以将复杂的多重积分问题分解为多个简单的积分问题，从而更容易进行计算。
2. 积分区域可加性：设D为由两个区域D1和D2组成的闭区域，若函数f(x, y)在D上可积，则有∬D f(x, y)dxdy = ∬D1 f(x, y)dxdy + ∬D2 f(x, y)dxdy这个性质说明，对于复杂的积分区域，我们可以将其分解为多个简单的子区域，并分别计算积分，最后将结果相加。
重积分基本概念
重积分基本概念重积分是微积分中的一个重要概念，它主要应用于对三维空间中复杂体积的计算。
通过重积分，我们可以将曲线、曲面以及空间区域的某种量进行求和或者平均。
本文将介绍重积分的基本概念，包括重积分的定义、性质以及计算方法。
一、重积分的定义在三维空间中，如果将一个曲线、曲面或者空间区域划分成无数个微小的体积元素，每个微小体积元素的体积可以表示为dV，并且在每个体积元素上都定义了一个函数f(x, y, z)，那么重积分可以用下式表示：∬f(x, y, z)dV其中，∬代表重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示微小体积元素。
二、重积分的性质1.线性性质：如果f(x, y, z)和g(x, y, z)是可积函数，k是常数，那么以下性质成立：∬[kf(x, y, z) + g(x, y, z)]dV = k∬f(x, y, z)dV + ∬g(x, y, z)dV2.保号性质：如果在积分区域上，f(x, y, z) ≥ 0，那么∬f(x, y, z)dV ≥ 0；如果f(x, y, z) ≤ 0，那么∬f(x, y, z)dV ≤ 0。
3.单调性质：如果在积分区域上，f(x, y, z) ≤ g(x, y, z)，那么∬f(x, y, z)dV ≤ ∬g(x, y, z)dV。
三、重积分的计算方法1.直角坐标系的计算方法：在直角坐标系中，我们可以采用三重积分的方法来计算重积分。
具体而言，我们可以将积分区域划分成小的立体体积，然后通过求和的方式将每个小立体体积的贡献加起来，得到整体的重积分值。
2.柱坐标系的计算方法：在柱坐标系中，我们可以将被积函数和微小体积元素表示为f(r,θ,z)和r dθ dr dZ，其中r表示从原点到点(x,y)的距离。
通过应用柱坐标系的变量替换和雅可比行列式的计算，可以将立体体积的重积分转化为曲线和平面的二重积分。
3.球坐标系的计算方法：在球坐标系中，我们可以将被积函数和微小体积元素表示为f(ρ,θ,φ)和ρ²sinφ dφ dθ dρ，其中ρ表示从原点到点(x,y,z)的距离，θ和φ分别表示极角和方位角。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
重积分应用案例
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
THANKS
感谢观看
其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
激发学习兴趣和动力
通过介绍有趣的重积分应用案例，激发读者对重积分学习的兴趣和动力，提高 学习效果。
重积分的应用
s
dA M dS
点 ( x , y ) d ,
o
( x, y) d
y
以 d 边界为准线 , 母线平行于z轴的小柱面, 截曲面 S为 dS;截切平面 为 dA, 则有
dA dS
重积分的应用
n ( f x , f y , 1)
d 为 dA 在 xOy 面上的投影
d dA cos
x
z
n
s
d M dSA
o
1 cos 2 2 1 fx f y
dA 1 f f d
2 x 2 y
( x, y) d
y
曲面S的面积元素 曲面S的面积公式
A 1 f x2 f y2 d
D
重积分的应用
A1: z a 2 x 2 则 x zx 2 , zy 0 2 a x
2 x 2 y
O
y
x
y
a 1 z z dxdy dxdy 2 2 a x
x2 y2 a2
O
a
x
重积分的应用
a dxdy dA1 1 z z dxdy 2 2 a x
2 x 2 y
2 由 z 2a x 2 y 2知 1 z x z 2 2 y
A
1 2 a 4 x 2 4 y 2 dxdy 2dxdy a D D
xy xy
d
0
2
a
0
6 Dxy : x 2 y 2 a 2
a 2
1 2 a 4 2 d 2a 2 a
(6 2 5 5 1)
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。
一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。
以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。
则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。
2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。
例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。
然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。
1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。
通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。
2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。
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56
- 16 -
第四节
重积分的应用
例6 解
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
2 2 设面密度函数为 ( x , y ) x y , 求由 y 0 ,
y x , x 1 围成的三角形簿片的质心。
y
M
D 1
( x y ) dxdy
2 2
x
y x
0 dx 0
2 2
x
M M
4 5
y
M M
x
- 17 -
第四节
重积分的应用
z
例7
求由 z 4 x 2 y 2 , z 0 所围均匀物体的
4
质心 解
设物体体密度为
z 4 x y
2
2
第 九 由对称性 x 0 , y 0 . 章 M dxdydz 重 o 积 2 y d d dz 分 x 及 2 4 2 2 其 dz 8 d d 应 0 0 0 2 用 4 2 2 zdz zdxdydz z d d dz d d 0
k 1
n
,
如果把质点组的质量集中在一点
使得质点组
对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对 相同的轴的静矩， 那么该点就称为该质点组的质心， 因此
- 11 -
第四节
重积分的应用
x
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
M M
y
n
m i xi y mi
i1 n
M M
x
n
m i yi mi
z
重 积 ( x , y , z ) . 该物体位于(x , y , z) 分 及 的微元 dv 对z 轴的转动惯量为 其 2 2 应 d I z ( x y ) ( x, y, z ) d v 用
处
dv
M ( x, y, z)
o x
y
因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
Iz
( x
x y ( z 1) 1
r 2 cos
4
0 r 2cos
重 : 0 积 4 分 0 2 及 其 则立体体积为 应 用 2 V dxdydz d
z
o x
x y
2
2
y
0
0
4
sin d
0
2 cos
z x z y
A
D
1 (
) (
2
)
2
d xd y
若光滑曲面方程为 x g( y , z ) , ( y , z ) D y z , 则有
若光滑曲面方程为 y h ( z , x ) , ( z , x ) Dz x , 则有
A
Dzx
1 (
y z
) (
2
z 4
2
0
0
64 3
- 18 -
z
8 3
第四节
重积分的应用
2 转动惯量 2 I l mr , 其 质量为m的质点M对定轴l的转动惯量为
中r为M到轴l的距离，质点组对轴l的转动惯量为各质点
第 九 章
的转动惯量的总和， 故连续体的转动惯量可用积分计算.
设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
2
y ) ( x , y , z ) d xd ydz
2
- 19 -
第四节
重积分的应用
类似可得: 对 x 轴的转动惯量
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
Ix
( y z ) ( x , y , z ) d xd ydz
2 2
对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量
Io
D
4
1
yd xd y
2
C
2
D
1 3
sin d d
D
o
x
1 3 56 9
0
sin d
2
2 sin d
2
4 sin
56 9
0
sin d
4
2
0
3 1 7 sin d 2 9 4 2 2 3
( x y ) dy
2 2
1 3
o
1 x
1
x
M M
y
D
x ( x y ) dxdy
2 2
0 dx 0
1
x ( x y ) dy
2 2
4 15 3 20
x
D
y
y ( x y ) dxdy
2 2
0 dx 0
9 20
x
y ( x y ) dy
z ( x , y , z ) dxdydz
2
分别称为对 yoz , zox , xoy 面的转动惯量。则
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
I x I zx I xy ;
I y I yz I xy ;
I z I zx I yz
r dr
2
16 3
0
4
cos sin d
3
-4-
第四节
重积分的应用
z
n
一 曲面面积
设光滑曲面
第 则面积 A 可看成曲面上各点 M 九 章 处小切平面的面积 d A 无限积累 重而成. 设它在 D 上的投影为 d , 积 x 分则 及 其 d cos d A 应 1 用 cos 2 2 1 f x ( x, y) f y ( x, y)
( x , y ) dxdy
D
dxdydz
( x , y , z ) dxdydz
-3-
第四节
重积分的应用
2 2 2
例1
求物体 : x y ( z 1 ) 1 , z
z
2
2
x y
2
2
2
的体积。 解 在球坐标系下空间立体 第 九 所占区域为
章
z
M ( x, y, z ) dA
T
o
y
P d z
n
dA
d
d A
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) d2 2ຫໍສະໝຸດ (称为面积元素)-5-
第四节
重积分的应用
2 2
故有曲面面积公式
A
第 九即 章 重 积 分 及 其 应 用
D
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) d
x ( x , y , z ) d x d y d z
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
x
( x , y , z ) d x d y d z
y ( x , y , z ) d x d y d z
y
( x , y , z ) d x d y d z
a a
R x y
2 2
y
y R x y
2 2 2
0
2
d
0
a
R d R
2 2
2 R ( R
-9-
R a )
2 2
第四节
a R a R
重积分的应用
A 2 lim A a 2 lim 2 R ( R
R a ) 4 R
x
D
( x , y )d xd y
D
( x , y )d xd y
D
重 积 1时, 得D 的形心坐标: 分 及 x d xd y 其 应 x D , 用 A
yd xd y
y
D
A
其中A 为 D 的面积
- 13 -
第四节
重积分的应用
同理可得体密度为 ( x , y , z ) 的空间物体 的质心
x ( x , y )d x d y
M
x
D
y ( x , y )d x d y
薄片D的总质量为 M
( x , y )d x d y
- 12 D
第四节
重积分的应用
质心坐标为
x ( x , y )d xd y
第 九 章
y ( x , y )d xd y
y
D
, V
yd x d y d z
y
, V
zd x d y d z
z
V
V d x d y d z 为的体积
- 15 -
第四节
重积分的应用
例5 求位于两圆
和
的形心.
y
解: 利用对称性可知 x 0
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
而
y A
I yz I zx
(x z )
2 2
( x y z ) ( x , y , z ) d xd ydz
2 2 2
2 x ( x , y , z ) dxdydz
y ( x , y , z ) dxdydz
2
- 20 -