第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

3 3 − 3 3 |MN|≥2，则k的取值范围是________．
解析：圆心的坐标为(2,3)，由|MN|≥2
| 2k |2 2 4− ＝ 2 ( k 2 + 1) 解得k∈ − 3 3 . 3 3
4 k +1
2
3 ，得
3，
≥2
变式1－2 若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－ 2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取 (-∞，0)∪(10，+∞) 值范围是___________________.
|b| =3，即b=±3 2
2 ，易知b
，所以-3≤b≤3 2
. 2
经典例题
题型一 直线与圆的位置关系 【例1】 已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋ 10m2－2m－24＝0(m∈R)． (1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、 相切、相离？ 分析：(1)用配方法将圆的一般方程配成标准 方程，求圆心坐标，消去m. (2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小．
题型三 圆的切线及弦长问题 【例3】 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点， QA、QB分别切圆M于A，B两点． (1)若点Q的坐标为(1,0)，求切线QA、QB的方程； (2)求四边形QAMB的面积的最小值．
分析：(1)用待定系数法求切线方程；(2)用一个变量表示 四边形QAMB的面积．
| 3m − 3( m − 1) + b | |3+b | d＝ ＝ 10 10
.
∵圆的半径为r＝5， ∴当d<r，即－5 10－3<b<5 10 －3时， 直线与圆相交；当d＝r，即b＝±5 10 － 3时，直线与圆相切；当d>r，即b<－5 10 －3或b>5 10 －3时，直线与圆相离．
变式1－1 (2010·江西改编)直线y＝kx＋3与圆(x－ 2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若
变式4－1
求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1 ＝0的交点且面积最小的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y ＋4)＝0， 即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.① 当半径最小时，圆面积也最小，对①左边配方，得 [x＋(1＋λ)]2＋ 所以当λ＝
4 k，方法同错解，得k＝ ，即方程为 3 4x－3y＋3＝0； (2)若所求直线斜率不存在，则l的方程 为x＝3，经验证其与圆C相切． 综上，所求切线方程为x＝3或4x－3y＋3 ＝0.
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(2010·山东) 已知圆C过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截 得的弦长为2，则圆C的标准方程为 ________________．
知识准备：1. 设圆心坐标(a,0)； 2. 由圆的半径、弦心距、半弦长的关系列 方程来求a的值．
解析：设圆心为(a,0)，其中a＞0，则圆心到
| a − 1| 直线x－y－1＝0的距离d＝ 2
.
因为圆截直线所得的弦长为2 2 ，根据半弦长、 半径、弦心距之间的关系有 | a − 1| 2＋2＝
解析： 圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0 的距离小于1，即 是(-13,13)．
|c| 13＜1, 所以c的取值范围
4. (必修2P105练习第2题改编)若圆x2＋y2＝m(m＞ 0)与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0仅有两条公切线， (1,121) 则实数m的取值范围是________．
题型四 简单的圆系方程的应用
【例4】 求过直线2x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋2x －4y＋1＝0的交点，且过原点的圆的方程．
分析：可用待定系数法，由两交点坐标和过原点 的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过 两圆交点的圆的方程．
x2 + y 2 + 2 x − 4 y + 1 = 0 解：方法一：由 2 x + y + 4 = 0 交点坐标分别为A(－3,2)，B − 11 2 . 5 5
解析：由题意知两圆相交，两圆的圆心分别为(0,0)， (-3,4) (-3,4)，故圆心距为5；两圆的半径分别为 ，6.于 5 6. 是有| -6|＜5＜ m +6⇒1＜m＜121. ⇒ m m
5. 已知M＝{(x，y)|y＝x＋b}，N＝{(x，y)|y＝}， [－3,3 2] 若M∩N≠∅，则b的取值范围为________． 解析：集合M是斜率为1，在y轴上的截距为b 的一组平行线，集合N是以原点为圆心，半径 为3的圆在x轴上方的部分(包括与x轴的交 点)，作出图形可知，当直线y=x+b过点A(3,0) 时，b=-3；当直线与半圆相切时，由点到直线 的距离公式得 ＞0，故b=3
解析：圆心为(0,0)，半径为2 2 ， 圆心到直线x-2y+5=0的距离为 x-2y+5=0
|0−0+5|
2
d=
1 + (−2) 由 | AB | 2+( 2
2
=
5 . 5 )2=(2 2 )2，得|AB|=2 3 .
3. (2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2 ＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的 (－13,13) 距离为1，则实数c的取值范围是________．
(2)当C1C2＝r1－r2， 即 ( m + 1)2 + ( m + 2)2 ＝1， 解得m＝－2或m＝－1， 故m＝－2或m＝－1时，两圆内切； (3)当r1－r2<C1C2<r1＋r2， 即－5<m<－2或－1<m<2时，两圆相交； (4)当C1C2>r1＋r2，即m<－5或m>2时，两圆外离； (5)当C1C2<r1－r2，即－2<m<－1时，两圆内含．
解得
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得
F = 0 9 + 4 − 3D + 2 E + F = 0 11 11 2 2 − 2 + 2 − D + E + F = 0 5 5 5 5
3 17 ∴所求圆的方程为x2＋y2＋ x－ y＝0. 2 4
直线与圆、 第四节 直线与圆、圆与圆的位置 关系
基础梳理
1. 直线与圆的位置关系 两个 (1)直线与圆相交，有________公共点； 一个 (2)直线与圆相切，只有________公共点； (3)直线与圆相离，________公共点． 没有
2. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关 系的判断方法有： (1)几何方法 设圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的 距离为d. d<r ⇔ ________⇔直线与圆相交； ________⇔直线与圆相切； d＝r ________⇔直线与圆相离． d>r
3 解得D＝ 2
17 ，E＝－ ，F＝0. 4
方法二：设所求圆的方程为 x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋＝0， 即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0. ∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，即λ＝－ ∴所求圆的方程为x2＋y2＋
3 17 x－ y＝0. 2 4
1 . 4
解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准 方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－ 2)，半径为1. 若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离 大于半径， 即d＝
| 3 ×1 + 4 × (−2 ) + m | 3 +4
2 2
＝ | m−5|
5
>1，
∴m<0或m>10.
题型二 圆与圆的位置关系 【例2】 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2 －5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0， 试就m的取值讨论两圆的位置关系． 分析：先把两圆的方程化为标准方程，再求两 圆的圆心距d，判断d与R＋r，R－r的关系． 解：圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， 圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. 两圆的圆心距C1C2＝ ( m + 1)2 + ( m + 2)2 ， r1＝3，r2＝2.(1)当C1C2＝r1＋r2， 即 ＝5， ( m + 1)2 + ( m + 2)2 解得m＝－5或m＝2， 故m＝－5或m＝2时，两圆外切；
2
8 5
λ − 42 ＝ 5 λ − 82＋ y+ 4 2 5
4 ≥ 5
4 . 5
时，此圆面积最小，
13
故满足条件的圆的方程为 x + 2＋ y − 6 2＝ 4 . 5 5 5
易错警示
【例】 求过A(3,5)且与圆C：x2＋y2－4x－ 4y＋7＝0相切的直线方程 错解 设所求直线l的斜率为k，方程为y－ 5＝k(x－3)， 即kx－y＋5－3k＝0.已知圆C的圆心(2,2)， r＝1， 则圆心到l的距离为 即|k－3|＝ 1 + k 2
变式3－1
如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直 线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M 外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两 点. 求圆M和圆N的方程.
.
解：由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA 及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平 分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上， 即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分 线． ∵M的坐标为( 3 ，1)， ∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1， 则⊙M的方程为(x－ 3 )2＋(y－1)2＝1. 设⊙N的半径为r，其与x轴的的切点为C，连接MA、 NC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知， 2 1 OM∶ON＝MA∶NC，即 ＝ 3+ r r ⇒r＝3 3 ， 则OC＝3，所以⊙N的方程为(x－3 3 )2＋(y－3)2 ＝9.