初中数学知识点精讲精析 一次函数的简单应用

5.5 一次函数的简单应用
学习目标
1.能从实际问题中抽象出函数的解析式和图像，并能运用函数解决有关实际问题，了解分段函数的概念及其应用。

2.在解决问题的过程中，进一步体会函数来自于实际又服务于实际，增强数学的应用意识。

知识详解
1．确定一次函数表达式
（1）借助图象确定函数的表达式
先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式．
（2）确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件
①由于正比例函数y＝kx（k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y 的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式．
②一次函数y＝kx＋b（k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值．
用待定系数法求直线解析式
由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b（k≠0）的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式．
2．待定系数法
（1）定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．
（2）用待定系数法求解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．
3．一次函数的实际应用
（1）通过图象获取信息
通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．
函数图象中的特殊点
观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮
助．
（2）一次函数图象的应用
一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．
函数y＝kx＋b图象的变化形式：在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b（k≠0）的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．
函数图象交点规律：两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．
【典型例题】
例1：一次函数图象如图所示，求其解析式．
【答案】设一次函数解析式为y＝kx＋b，
∵一次函数图象过点(0，－2)，
∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.
∵一次函数图象过点(1,0)，
∴0＝k×1＋b，
∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.
【解析】利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式．
例2：如图所示，将直线OA向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是__________．
【答案】y＝2x＋1
【解析】由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为y＝kx(k≠0)．因为直线经过点(2,4)，所以直线的解析式为y＝2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y＝2x＋1.
例3：已知一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，且a≠0)．x与y的部分对应值如下表：
那么方程ax＋b＝0的解是__________，不等式ax＋b＞0的解集是__________．
【答案】x＝1 x＜1
【解析】本题先以表格的形式向我们提供了一次函数y＝ax＋b的信息．按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式，
于是得解．果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意．事实上，本题是想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况．由三者之间的关系可知，求方程ax＋b＝0的解，实质上就是求一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x＝1；同理，求不等式ax＋b＞0的解集，实质上就是求当一次函数y＝ax＋b的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x＜1.
【误区警示】
易错点1：直线的表达式
1.直线y＝kx＋b经过点A(－3,0)和点B(0,2)，求这条直线的表达式．
【答案】把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，得0＝－3k＋b,2
＝b，得出k＝2
3，b＝2，从而得出这条直线的表达式为y＝
2
3x＋2.
【解析】把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，求出k，b即可．易错点2：函数应用
2.将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是( )．
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝2(x－2)
D．y＝2(x＋2)
【答案】A
【解析】由于直线y＝kx＋b可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)，所以将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是y＝2x＋2.
【综合提升】
针对训练
1.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）
A．①②③
B．仅有①②
C．仅有①③
D．仅有②③
2.已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是（）
A．
B．
C．
D．
3.某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（）
A．0.6元
B．0.7元
C．0.8元
D．0.9元
1.【答案】A
【解析】甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；b=5×100-4×（100+2）=92（米）；5a-4×（a+2）=0，解得a=8，c=100+92÷4=123（秒），∴正确的有
①②③．
2.【答案】D
【解析】利用周长的定义得到y+2x=20，变形为y=-2x+20，然后利用三角形三边的关系得到y＞0且2x＞y，解不等式组可得5＜x＜10，于是得到底边长y关于腰长x的函数关系为
y=-2x+20（5＜x＜10），所以其图象为线段（除端点），并且y随x的增大而减小．
3.【答案】B
【解析】由已知通过分析可得：根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少，即先打3分钟，挂断后再打3分钟，再挂断打10-3-3=4分钟，则费用为：0.2+0.2+0.2+0.1=0.7．
【中考链接】
（2014年邵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a 与b的大小关系是（）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．以上都不对
【答案】A
【解析】∵k=﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵1＜2，∴a＞b．
课外拓展
瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。