三角形中的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形的角关系:任意两条边的长度之和大于第三条边，任意两条边的长度之差小于第三条边。
斜边的平方等于两条直角边的平方和。
直角三角形的判断:有一个直角的三角形是直角三角形；两个锐角互补的三角形是直角三角形；如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质:1。
角的性质:直角三角形的两个锐角是互补的。
2.边的性质:直角三角形的三条边满足勾股定理，这是直角三角形最重要的性质。
3.斜边上的高度:直角三角形的斜边上的高度高于两个直角除以斜边的乘积，这是一种很常见的求高度线的方法。
4.斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于几何计算和证明。
5、一副直角三角形包含两个特殊的三角形，含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，在含有30°角的直角三角形中，30°角所对应的直角边是斜边的一半。
6、HL定理，判断两个直角三角形全等的特殊定理，本质是全等三角形的SSS定理，注意本定理只能在直角三角形中才能运用。
三角形的边角关系定理
三角形的边角关系定理三角形是初中数学中重要的几何形体之一，它的边角关系定理是我们学习三角形的基础。
在这篇文章中，我将为大家详细介绍三角形的边角关系定理，并通过实例和分析来说明其应用。
希望这些知识对中学生和他们的父母有所帮助。
1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数之和等于180度。
这个定理对于解决三角形的角度问题非常有用。
例如，我们可以用内角和定理来求解一个已知两个角度的三角形的第三个角度。
假设一个三角形的两个角度分别是60度和80度，那么第三个角度可以通过180度减去这两个角度的和来得到，即180度 - 60度 - 80度= 40度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角和定理是指三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
这个定理可以用来求解三角形的外角度数。
例如，如果一个三角形的两个内角分别是60度和80度，那么它的一个外角可以通过将这两个内角相加来得到，即60度 + 80度 = 140度。
3. 直角三角形的边角关系定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是90度。
直角三角形的边角关系定理包括勾股定理和正弦定理。
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用来求解直角三角形的边长。
例如，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度可以通过计算3的平方加上4的平方，再开平方根来得到，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。
正弦定理是指直角三角形中，正弦值与边长之间的关系。
根据正弦定理，直角三角形中一个锐角的正弦值等于与该角对应的直角边与斜边之间的比值。
这个定理可以用来求解直角三角形中的角度。
例如，如果一个直角三角形的斜边长度是5，而一个锐角的对边长度是3，那么这个锐角的正弦值可以通过计算3除以5来得到，即sinθ = 3/5。
4. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指三角形的内角的平分线相交于三角形的内心，且内心到三个顶点的距离相等。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。
即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。
三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。
四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。
五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。
2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。
3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。
4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。
5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。
六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。
2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。
3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。
以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。
通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。
同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。
三角形边角关系-第3讲的角与边学
第三讲三角形的角与边一、基础知识本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.1.边与边的关系(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.角与角的关系(1)三角形的内角和为180︒；(2)直角三角形中两锐角互余;(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.3.边和角的关系(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.4.不等式变形时常用的性质(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;(3)若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc;(4)若a>b>0,则11 a b <;(5)总量大于任何一个部分量.5.三角形中的不等关系根源:(1)两点之间线段最短;(2)垂线段最短.二、例题第一部分边的问题例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A.31 4k<<B.113k<<C.12k<< D.112k<<例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A.17cmB.5cmC.17cm或5cmD.无法确定例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,求证:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC++<++<++.例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形第二部分 角的问题例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求BDC ∠的度数.例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的取值范围是( )A.003645β≤≤B.004560β≤≤C.006090β≤≤D.004572β≤≤例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠第三部分边角综合24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).则A例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.求证:(1)AB+AC>AD+BC;(2)AB+AC>AP+BP+CP.例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,求证:60 aA bB cCa b c︒++≥++三、练习题1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )** B.7 C.6 D.43.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )A.1个B.3个C.5个D.7个4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A.140︒B.80︒或100︒C.100︒或140︒D.80︒或140︒6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒∠=.则A ∠等于( )A.50︒B. 60︒C. 70︒D.80︒8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒∠=求4∠的大小.9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒∠=,求A ∠的度数.10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ课外小故事五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。
三角形的边角关系
隨堂練習
（3）已知有一個等腰三角形，其三邊長 分別為5、6、x，則 x ＝？
答：5，6
三角形任意兩邊差小於第三邊
c＋a＞b 移項 b－a＜c
a＋b＞c
c－b＜a
b＋c＞a
a－c＜b
A
c
b
B
C a
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、 5、6 的竹籤各一支，試問用這 些竹籤可排出幾種不同形狀的三 角形？
答：2、3、4；2、4、5；2、5、6； 3、4、5；3、4、6；3、5、6； 4、5、6 共 7 種
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10 的竹籤各一支， 試問用這些竹籤可排出幾種不同形狀 的三角形？
答：共 50 種
等腰三角形兩底角相等
【已知】等腰△ABC中，AB＝AC
§3-4三角形的邊角關係
重點：三角形邊角間的不等關係 （1）三角形任意兩邊和大於第三邊 （2）三角形任意兩邊差小於第三邊 （3）三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角，
小邊對小角 （4）等腰三角形兩底角相等 （5）三角形中若有兩邊不相等，則大角對大邊，
小角對小邊 （6）樞紐定理
三角形任意兩邊和大於第三邊
A
D
大
小
B 大 C E 小F
隨堂練習
已知△ABC與△DEF中，AB＝DE， AC＝DF （1）若∠A＝∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜） （2）若∠A＞∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜） 答：（1）＝
（2）＞
隨堂練習
直角三角形中，哪一邊最長？為什麼？
答：斜邊 因為直角為直角三角形的最大角， 所以直角所對的邊（斜邊）為最大邊。
三角形全等之边角对应关系
三角形全等之边角对应关系
介绍
在几何学中，当两个三角形的对应边和对应角都相等时，我们称这两个三角形是全等的。
全等三角形在几何学中具有重要的性质和应用。
边角对应关系
全等三角形的边和角之间存在着一一对应的关系。
下面是全等三角形的边角对应关系：
- 对应边：两个全等三角形的对应边相等，即分别相等的边互为对应边。
- 对应角：两个全等三角形的对应角相等，即分别相等的角互为对应角。
应用举例
全等三角形的边角对应关系在解决几何题目中通常具有重要的应用。
以下是一些应用举例：
1. 通过边角对应关系可以求解未知边长或角度的问题。
已知两个全等三角形，如果其中一个的边长或角度已知，可以通过对应边或对应角的相等关系来求解另一个三角形的边长或角度。
2. 边角对应关系也可以用来证明两个三角形全等。
如果已知两个三角形的对应边和对应角相等，可以利用边角对应关系来证明这两个三角形是全等的。
3. 通过边角对应关系可以推导出其他几何性质。
全等三角形的边角对应关系可以用来证明其他几何定理或性质，例如角平分线定理、相似三角形的性质等。
总结
全等三角形的边角对应关系是几何学中重要的概念，它可以帮助我们解决几何问题，证明定理和推导其他几何性质。
了解和应用边角对应关系可以提高我们在几何学中的解题能力和理解能力。
以上是关于三角形全等之边角对应关系的简要介绍。
希望对您有所帮助！。
三角形中的边角关系(一)2024
三角形中的边角关系（一）引言：在几何学中，三角形是最基本的平面图形之一。
研究三角形的边和角之间的关系对于解决各种与三角形相关的问题非常重要。
本文将介绍三角形中的边角关系，帮助读者更好地理解三角形的性质和特点。
正文：一、三角形的内部角度之和1.1 三角形的内部角度之和等于180度1.2 对等角三角形的内部角度之和相等1.3 直角三角形中，两个锐角的和等于90度1.4 等腰三角形中，底角相等，且底角之和等于顶角的两倍1.5 钝角三角形中，两个锐角的和小于90度二、角平分线与边的关系2.1 角平分线把一个角分成两个相等的角2.2 角平分线同时也是边的中垂线2.3 角平分线与边上的其他线段成比例2.4 在等腰三角形中，角平分线同时也是高的线段三、三角形的边长关系3.1 三角形两边之和大于第三边3.2 三角形两边之差小于第三边3.3 等边三角形的三条边相等3.4 等腰三角形的两边相等3.5 直角三角形中，斜边等于两个直角边的平方和的平方根四、三角形的角关系4.1 锐角三角形中，最大的角对应最长的边4.2 钝角三角形中，最小的角对应最长的边4.3 任意两个角的和小于第三个角4.4 垂直的两条直线与一直线的交角互补4.5 同位角、内错角、同旁内角等相关角的关系五、特殊三角形的性质5.1 等边三角形的三个角都是60度5.2 等腰三角形有一个角等于90度5.3 直角三角形中，斜边是最长的边5.4 锐角三角形的三个角都小于90度5.5 钝角三角形中，有一个角大于90度总结：通过了解三角形中的边角关系，我们可以更深入地理解和分析三角形的性质。
通过准确地运用这些关系，我们可以解决各种与三角形相关的问题，并推导出一些重要的结论。
因此，熟练掌握三角形中的边角关系对于学习和应用几何学都是非常重要的。
任意三角形边角关系公式
任意三角形边角关系公式在我们的数学世界里，三角形可是个超级重要的角色，特别是涉及到任意三角形的边角关系公式，那更是打开数学大门的一把关键钥匙。
先来说说正弦定理吧。
对于任意一个三角形，它的三条边 a、b、c和它们所对应的角 A、B、C 之间有着这样的关系：a/sinA = b/sinB =c/sinC 。
这个公式就像是一个神奇的魔法咒语，能帮助我们解决好多三角形的问题。
记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个定理的时候，有个调皮的小家伙举起手问我：“老师，这公式有啥用啊？”我笑了笑，决定给他举个例子。
我在黑板上画了一个三角形，标上了三条边的长度和两个角的度数，然后问他们：“如果我们只知道其中两条边和一个角，能不能求出其他的边和角呢？”同学们都皱起了眉头，开始思考。
我接着说：“咱们就用这个正弦定理来试试。
”我一步一步地带着他们运用公式进行计算，当最终得出答案的时候，那个调皮的小家伙眼睛都亮了，大声说道：“哇，原来这么神奇！”看着他们恍然大悟的表情，我心里别提多有成就感了。
再说说余弦定理。
它的表达式是 a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² + c²- 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。
这几个公式看起来有点复杂，但其实用起来可顺手啦。
有一回，学校组织数学兴趣小组活动，我们一起去测量校园里一个三角形花坛的边长和角度。
同学们拿着尺子、量角器，忙得不亦乐乎。
可是到了计算的时候，大家都有点犯愁。
这时候，我提醒他们可以试试余弦定理。
于是，大家纷纷动手，按照公式认真计算起来。
最后，当我们算出结果，发现和实际测量的误差很小的时候，同学们都兴奋地欢呼起来。
在实际生活中，三角形的边角关系公式也大有用处呢。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，需要计算三角形结构的稳定性；建筑师在设计房屋的时候，也会用到这些公式来确保结构的合理性。
三角形中的边角关系
全等三角形的判定
边角边(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两三角 形全等 角边角(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两三角 形全等 边边边(SSS)：三边对应相等的两三角形全等 角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的 两个三角形全等 斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等
定理：
三角形的三个内角和等于180 ° 推论1：直角三角形的两个锐角互余 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何边：全等三角形的对应边相等 对应角：全等三角形的对应角相等 对应顶点： 表示方法：△ABC≌ △DEF 要把对应顶点写在相同的位置
角平分线：三角形中，一个角的平分与这个 角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三 角形的角平分线 中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中 点的线段叫做三角形的中线 高：从三角形的一个顶点到它对边所在直线 的垂线段叫做三角形的高 (线段)
14.2 命题与证明
命题（真命题、假命题） 命题的组成：条件(题设)、结论(题断) 原命题、逆命题 证明假命题的方法（反例） 公理 定理 证明
第14章:三角形中的边角关系
按边分
不等边三角形 等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形) 性质： 三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任何两边的差小于第三边
按角分
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形和钝角三角形又称为斜三角形 性质： 三角形的三个内角和等于180°
三角形中的一些重要线段
沪教版第十三章 三角形中的边角关系
第十三章三角形中的边角关系一、三角形的分类1、按边分类：2、按角分类：不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形二、三角形的边角性质1、三角形的三边关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3、三角形的外角性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）四、命题1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类真命题：正确的命题命题假命题：错误的命题3、互逆命题4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。
原命题：如果p，那么q；逆命题：如果q，那么p。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）《三角形中的边角关系》测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．1，1，2 B．3，7，11 C．6，8，9 D．3，3，62、下列语句中，不是命题的是（）3、A．两点之间线段最短 B．对顶角相等C．不是对顶角不相等 D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线3、下列命题中，假命题是（）A．如果|a|=a，则a≥0 B．如果，那么a=b或a=-bC．如果ab>0，则a>0，b>0 D．若，则a是一个负数4、若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（）A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定6、下列命题中正确的是（）A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）A．3：2：1 B．5：4：3 C．3：4：5 D．1：2：38、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）A．－6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5或a>29、如图9,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC=4cm2,则S阴影等于（） A.2cm2 B.1cm2 C.12cm2 D.14cm2图9 图1010、已知：如图10，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边的高，则∠DBC=（）A．10° B．18° C．20° D．30°二、填空题（每小题4分，共20分）11、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是．12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．13、如下图，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．14、如上图，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．15、如上图，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．16、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．17、如图，已知∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，求证AB∥OE∥CD.18、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．19、已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，求证∠P=90°＋∠A；。
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三角形中的边角关系
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A ．1，1，2
B ．3，7，11
C ．6，8，9
D ．3，3，6
2、下列语句中，不是命题的是（ ）
A ．两点之间线段最短
B ．对顶角相等
C ．不是对顶角不相等
D ．过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线
3、下列命题中，假命题是（ ）
A ．如果|a|=a ，则a ≥0
B ．如果
，那么a=b 或a=-b C ．如果ab>0，则a>0，b>0 D ．若，则a 是一个负数
4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（ ）
A ．一定有一个内角为45°
B ．一定有一个内角为60°
C ．一定是直角三角形
D ．一定是钝角三角形
5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
6、下列命题中正确的是（ ）
A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形
B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角
C ．三角形外角一定是钝角
D ．△ABC 中，如果∠A>∠B>∠C ，那么∠A>60°，∠C<60°
7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（ ）
A ．3：2：1
B ．5：4：3
C ．3：4：5
D ．1：2：3
8、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a ，则a 的取值范围为（ ）
A ．－6<a<－3
B ．－5<a<－2
C ．－2<a<5
D ．a<－5或a>2
9、如图9,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于（ ）
A.2cm 2
B.1cm 2
C.12cm 2
D.14
cm 2
图9 图10
10、已知：如图10，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=（ ）
A ．10°
B ．18°
C ．20°
D ．30° F E
C A
二、填空题（每小题4分，共20分）
11、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是．
12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．
13、如图13，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．
图13 图14 图15
14、如图14，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．
15、如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．
三、解答题（第16题6分，第17题8分，第18-21题每题9分，共50分）
16、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
（1）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．（2）等角的余角相等．
（3）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．
17、完成以下证明，并在括号内填写理由：
已知：如图所示，∠1=∠2，∠A=∠3.
求证：AC∥DE.
证明：因为∠1=∠2（），所以AB∥___（）.
所以∠A=∠4（）.
又因为∠A=∠3（），所以∠3=_ _（）.
所以AC∥DE（）.
18、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm 的两个部分，求三角形各边的长．
19、如图，已知∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，求证AB∥OE∥CD.
20、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．
21、已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
求证∠P=90°＋∠A；
三角形中的边角关系答案
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.A
5.D
6.D
7. B
8.B
9.B 10.B
二、填空题
11．3cm； 12．20°或120°； 13. 120°； 14. 20°； 15．24°；
三、解答题
16、（1）逆命题：如果a=0，b=0，那么a＋b=0；真命题
（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是等角的余角；假命题
（3）如果一个数是3，那么这个数的平方是9.真命题
17、已知；EC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠4；等量代换；内错角相等，两直线平行
18、因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．
解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x，
（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，
∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm，20cm，14cm．
（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24
∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：16cm，16cm，22cm．
19、证明一：∵∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠2（等式性质）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
又∵∠1＋∠3＝180°（已知），
∴OE∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥OE（平行于同一直线的两直线平行），
∴AB∥OE∥CD．
证明二：∵∠1＋∠3＝180°（已知），
∴CD∥OE（同旁内角互补，两直线平行）．
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
而∠BOE＋∠3＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠BOE（等式性质）．
∴AB∥OE（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．
∴AB∥OE∥CD．
20、证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠EDC＝∠DCG（两直线平行，内错角相等）．
又∵FG∥CD（已知），
∴∠DCG＝∠FGB（两直线平行，同位角相等）．
∴∠CDE＝∠BGF（等量代换）．。