三角形中边与角之间的不等关系

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人教版初中数学八年级上册实验与探究三角形中边与角之间的不等关系(全国一等奖)

《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计一．内容和内容解析1.内容：三角形中边与角之间的不等关系：大边对大角，大角对大边2.内容解析：本节内容是八年级上册数学教科书第十三章《轴对称》这一章章末的“实验与探究”材料。

它是在学生学习了三角形中“等边对等角”和“等角对等边”的性质后提出来的反思：如果三角形的边（角）不相等，那么它们所对的角（边）的大小关系怎样大边所对的角也大吗从“等角对等边”到“大角对大边”，从“等边对等角”到“大边对大角”，至此，教材将三角形中的“相等”与“不等”关系演绎的淋漓尽致。

针对学生的认知水平，课本利用了轴对称的方法来解决问题，借助于轴对称，解决了上述疑问，也获得了添加辅助线证明性质的方法。

在此探索与证明的过程中，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点，探索并证明三角形中边与角之间的不等关系。

二．目标与目标解析1.目标（1）探索并证明三角形中边与角的不等关系（2）能利用三角形中边与角的不等关系来比较边或角的大小（3）结合上述性子和探索的证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的桥梁作用，以及在此过程中作辅助线的方法。

2.目标解析达成目标（1）的标志是学生能借助实验探究发现在一个三角形中边与角之间的不等关系，并能推理论证出来，能正确理解其中的含义，能用数学语言准确表述性质的含义。

达成目标（2）的标志是：学生能解决相关应用问题。

达成目标（3）的标志是：学生获得添加辅助线证明几何题的方法。

三．教学重难点教学重点：三角形中边与角之间的不等关系的探究过程。

教学难点：折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合，即如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达。

教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。

四．教学过程一、课题引入我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等（等边对等角）。

在一个三角形中，如果两条边不相等，这两条边所对的角是否相等呢二、探究“大边对大角”（一）观察图形，提出猜想观察你手边的不等边三角形纸片，能得到你的猜想吗（在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想大边对大角）综上，我们提出猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）（二）小组讨论，验证猜想1量角器测量：通过几何画板演示验证2折纸活动：A B CED A B C 我们在探究“等边对等角”时，采用将三角形对折的方式，发现了“等边对等角”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。

《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计

人教版《数学》八年级上册《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计一、内容和内容解析1.内容“大边对大角”与“大角对大边”两个互逆命题。

2.内容解析在这节课是学生在学过等腰三角形的性质与判定之后，这个“实验与探究”进一步让学生探究了三角形中边与角的不等关系。

安排它的目的有两个：一是让学生探究三角形中边与角的不等关系，即教科书中给出的两个互逆命题；二是通过这两个问题的探究，介绍利用相等关系来解决不等关系的一种方法。

在一些问题中，有时会遇到三角形中的边角不等关系。

例如：在七年级下册中介绍过“垂线段最短”这个结论，是通过观察和探究得到的，应用边角不等关系的结论，可以证明，在直角三角形中，斜边最长，从而可以证明它。

两个互逆命题的探索是通过轴对称进行的，借助于轴对称发现了两个互逆命题，也获得了添加辅助线证明的方法。

两个互逆命题的证明是将欲证明的两个角（或两条边）置于一个三角形的外角和不相邻的一个内角（或一个三角形的三边）之中，这是证明两个角不等或两条边不等的基本策略之一。

命题的探索与证明体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：【教学重点】探索并证明两个互逆命题。

二、目标和目标解析1.目标（1）探究三角形中边与角的不等关系，即教科书中给出的两个互逆命题（2）能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的知识，解决边角之间的不等问题.2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过探究发现，在一个三角形中边角之间的不等关系。

达成目标（2）的标志是：通过探究和推理论证，结合图形，发展学生的分析问题和解决问题的能力，通过探索总结形成，利用图形的翻折等变换是解决几何问题的常见策略。

三、教学问题诊断分析学生通过前一段时间对三角形、等腰三角形相关知识的探究，已经具有一定的独立思考和探究问题的能力。

但学生由于添加辅助线的经验不足，对于何时添加辅助线，如何添加辅助线仍没有规律性了解，添加辅助线本身就是一种探究性数学活动，是获得证明所采取的一种尝试，既可能成功，也可能失败。

《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计5

学科数学教师年级八年级课题实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系教学目标教学重点三角形中边与角的不等关系的探究与证明教学难点如何添加辅助线证明“大边对大角”教具准备三角形纸片、剪刀、三角板、彩笔、磁石、几何画板课件等教学流程师生活动设计意图一、回顾思考1.等腰三角形有哪些性质？2.我们主要是通过什么方法，发现了等腰三角形的性质？又是通过什么方法进行证明的？二、提出问题1.当三角形的三条边都不相等时，还有“三线合一”的性质吗？2.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么，它们所对的角相等吗？3.如果不相等，是较大边所对的角大，还是较小边所对的角大？三、探究新知（一）观察图形，提出猜想1.教师提出问题，学生思考并回答；2.教师利用几何画板动画演示折纸过程，回顾证明方法。

1.教师改变三角形的状，并提出问题；2.学生结合图形思考并回答。

1.教师利用几何画板动画演示图形；回顾所学知识及探究方法，为新知的实验与探究做好铺垫。

类比等腰三角形的性质，提出问题，引出本节课的探究主题。

在△ABC 中，当改变边AB 和AC的长短时，它们所对的角∠C、∠B的大小也改变。

当AB＞AC时，通过肉眼观察，可以得到∠C＞∠B。

猜想：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大边所对的角也较大.（二）实验探究，验证猜想1.学生利用事先制作好的不等边三角形通过折纸验证猜想。

(为了教学方便，统一制作△ABC，规定AB＞AC)2.学生走上讲台，展示验证猜想的探究过程；3.几何画板动态演示各种折纸方法；4.师生归纳猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成：大边对大角）.（三）推理探究，证明猜想1.根据文字命题画出图形，写出已知、求证；已知：如图，在△ABC 中，AB>AC . 2.学生观察图形变化，提出猜想；3.教师板书猜想.1.学生进行分组实验探究，教师巡视指导；①叠合法：沿垂直平分线折叠：如图1，将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，发现∠C>∠B。

不等边三角形中边与角之间的不等关系优秀教案

《三角形中边与角之间的不等关系》教课方案科目数学指导教师讲课教师时间课题三角形中边与角之间的不等关系课型实验研究课【知识与技术】（ 1）经过实验研究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；教（2）能利用轴对称的性质进行研究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的问题来转变解决边角之间的不等问题。

学【过程与方法】经过实验研究和推理论证，发展学生的剖析问题和解决问题的能力；目经过研究、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常有的标策略；获取利用截长补短等方法来结构全等三角形的经验。

【感情与态度】供给着手操作的时机，让学生体验数学活动中充满着研究与创新，激发学生学习几何的兴趣，获取解决问题的成功体验。

教课要点三角形中边与角之间的不等关系及其研究过程。

教课难点如何从实验操作中获取启迪，写成几何证明的表达。

教课过程教课过程设计企图一、知识回首经过知识回首为本次1.1. 等腰三角形拥有什么性质？在研究过程中我们用了什么样的方法？研究做好知识和经验2. 三角形的一个外角与随意一个不相邻的内角之间有什么大小关系？铺垫。

二、课题引入经过类比猜想，引出我们知道，在一个三角形中，假如有两条边相等，那么它们所对的角课题，点明本次研究也相等 . 假如两条边不相等，那么这两条边所对的角又会有什么关系呢？的主题。

三、实验研究经过察看等腰三角形( 一) 温故知新，总结经验的折纸过程，类比寻同学们先往返首我们是如何用折纸来研究“等边平等角”的。

找不等边三角形比较几何画板演示等腰三角形折纸过程角大小的折纸方法。

发现：经过对折使点 B 与点 C 重合，发现∠ B 与∠C 重合，最后得到∠ B 与∠C相等。

让学生从折纸实验中（二）类比研究，猜想性质找寻比较∠ B 与∠ C 方法一：大小的方法，从中受让学生自己着手制作不等边三角形（为了教课方便一致制作△ ABC，到启迪，找到证明的且 AB＞AC），类比等腰三角形性质研究过程中折纸的经验，我们能否能够方法。

《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计

人教版八年级上册第十三章实验与探究《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计【教学目标】1.知识与技能：〔1〕通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；〔2〕能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题.2.过程与方法：通过实验探究和推理论证，开展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验.3.情感与态度：提供动手操作的时机，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.【教学重难点】重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.【学情分析】学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验根底.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力.在教学过程中直接表达出来的难点便是学生很难用几何语言去表达辅助线的做法.【教学内容分析】本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后而设置的.整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.【教学媒体与资源的选择与应用】根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、开展和形成的过程.【学具准备】三角形纸片数张、剪刀、三角板、圆规等.【课时安排】一课时【教学过程】活动一、温故知新，铺垫新知1、如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,那么∠3= °,∠1 ∠3〔填“>〞“<〞〕2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，那么∠C= °3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，那么BD CD，∠1 ∠2〔填“>〞“<〞“=〞〕第1题图第2题图第3题图【设计意图】复习三角形的外角和等腰三角形的性质，为探究三角形中边与角之间的不等关系做好知识和经验铺垫.活动二、创设情境，引入新知问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。

人教版八年级数学上册13.3《实验与探究三角形中边与角之间的不等关系》教学设计

5.写作反思题：要求学生撰写学习心得，反思本节课所学内容，以及自己在学习过程中的收获和不足。通过写作反思，学生可以更好地了解自己的学习状态，培养自我反思的习惯。
1.完成教材第13.3节后的习题1、2、3。
2.结合生活实例，举例说明三角形边与角之间不等关系在生活中的应用，并拍照或绘制图形，配以文字说明。
5.课堂小结，总结提升
-引导学生总结本节课所学内容，强化对边与角之间不等关系的认识。
-鼓励学生分享学习心得，互相交流学习方法和技巧，提高学生的自我反思能力。
6.课后作业，拓展提高
-布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
-鼓励学生探索与三角形边角关系相关的拓展问题，培养学生的创新思维。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。每个小组的任务是：
1.利用几何画板或实物模型，探究不同类型的三角形中边与角之间的关系。
2.小组内分享探究成果，讨论并总结三角形边与角之间的不等关系。
3.选出一名代表汇报小组讨论成果，与其他小组进行交流。
在这个环节中，我会巡回指导，关注每个小组的讨论情况，适时给予指导和鼓励。通过小组讨论，学生不仅能加深对知识的理解，还能培养团队协作和沟通能力。
3.小组合作，探讨三角形内角和与外角之间的关系，并撰写探究报告。
4.写一篇关于本节课学习心得的反思文章，不少于300字。
考虑到学生的个体差异，部分学生可能在探究过程中遇到困难，需要教师在教学过程中关注学生的需求，适时给予指导和支持。通过本章节的学习，学生将进一步提升几何素养，培养探究精神和创新意识，为后续学习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.掌握三角形中边与角之间的不等关系，并能够运用这些关系解决实际问题。

沪科版八年级数学上册13.1《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计

3.教师将根据学生的作业完成情况，给予评价和反馈，鼓励学生持续进步。
2.教师给出三角形内角和定理，并通过几何证明来解释这个定理。同时，讲解三角形外角与相邻内角的关系，以及外角和等于360度的性质。
3.教师结合课本例题，讲解如何运用三角形的边角关系解决实际问题，如求三角形的未知边.教师将学生分成小组，每组选择一个实际问题进行讨论，如测量小河对岸两点之间的距离。
2.学生在规定时间内完成练习，教师对学生的答案进行批改，并及时反馈，纠正学生的错误。
3.教师针对共性问题进行讲解，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，用自己的话总结三角形边与角之间的关系、内角和定理以及实际应用。
2.学生分享学习心得，教师给予肯定和鼓励，并强调掌握三角形边角关系对于解决几何问题的重要性。
2.运用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究三角形的内角和定理，培养学生的逻辑推理能力。
-教师可以提出问题，如“三角形的内角和是多少度？”“如何证明三角形的内角和为180度？”等，引导学生通过讨论和实验来解决问题。
3.创设丰富的教学情境，将三角形边角关系与生活实际相结合，提高学生的应用能力。
-例如，设计实际测量问题，如测量小河对岸两点之间的距离，让学生运用三角形知识解决问题。
2.将三角形的边角关系应用于解决复杂的几何问题，如计算未知边长、证明线段平行等。
3.学生在小组合作中，如何平衡独立思考与团队合作，避免过分依赖或孤立无援。
（三）教学设想
1.利用直观教具和实际案例导入新课，让学生在观察和操作中感知三角形的边角关系，从而激发学生的学习兴趣。
-例如，通过让学生测量不同三角形的三边长度，引导学生发现边与边之间的关系。

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三角形中边与角之间的不等关系
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过
实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。

教学重点：三角形中边与角之间的不等关
系及其探究过程。

教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几
何证明的表达。

教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。

教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同
一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。

二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究
“等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。

现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。

三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。

由上面的操作过程得到启示，
请写出证明过程。

（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。

）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。

思考：是否还
有不同的方法来证明这个结论？
实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。

形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边
也不等，大角所对的边较大。

四．练习与应用利用上述的两个结论，回答下面问题：（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？（3）直角三角形的哪一条边最大？为什么？五．例题解析例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在斜边AB上，MN垂直平分AC. 求证：MC= AB. 分析：由线段垂直平分线性质易知MA=MC,因此，只要证明MC=MB 即可。

例2.在△ABC中，D是BC中点。

求证：AB+AC>2AD. 分析：用实验方式探究，将△ABC沿中线AD剪开，再拼成如下图的△ABA’，就很快发现AB+AC>2AD. 由操作过程得到启示，请写出证明过程。

六．课堂小结 1.本节课通过实验探究的方式得到两个结论：（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。

（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。

2.从实验探究的过程可以发现：利用图形的翻折、旋转等方法来研究几何图形中的边和角的大小关系是一种常用的方法。

七．布置作业用一张长方形的纸片折出一个等边三角形。

（要求：简要说明步骤和理由）。