八年级数学上(人教版)实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系

证法4：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在 AC延长线上截取 AB' ，使 AB' =AB，连接 B' D .
∵AD为∠BAC的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠B'AD（角平分线定义）
在⊿B'AD和⊿BAD中
∵ AB' AB(作图）
B' AD BAD（已证）
B
AD
AD（公共边）
∴⊿B'AD≌⊿BAD（SAS） ∴∠B'=∠B（全等三角形的性质） 又∵∠ACD=∠B'+∠CDB' ∴∠ACD>∠B. ∴∠C>∠B（等量代换）.
B
C
如果AB>AC，那么∠B与∠C 大小关系如何？
如果∠C>∠B，那么AB与AC 大小关系如何？
已知：△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞ ∠B
A
BБайду номын сангаас
C
A
D ╮1
B
2 ╭C
证法1：在AB 上截取AD，使AD＝AC，连结DC.
∵AD＝AC（已知）
∴∠1＝ ∠2（等边对等角）
又∵ ∠ ACB ＞ ∠2
∴∠ACB ＞ ∠1 （等量代换）
A
DC B'
从上面的几种证明过程可以看
出，利用构造等腰三角形和折叠对 称，将角进行转移，是几何中研究 边与角不等问题时的常用方法。
归纳结论：在一个三角形中，如果两条边不等， 那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）.
∵AB>AC ∴∠C>∠B(大边对大角)
即AB>AC
在一个三角形中，如果两个角不相 等，那么它们所对的边也不相等，大角 所对的边较大。反之大边所对的角较大
A ∵∠C>∠B
∴AB>AC (大角对大边)
∵AB>AC
∴∠C>∠B (大边对大
B
C 角)
利用上面两个结论，回答下面的问题：
1.在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A ，∠ B ，
又∵ ∠1＞ ∠B （三角形外角定理）
∴∠ACB ＞ ∠B （不等式的基本性质）
A
B ╮1
C
2╭
E
证法2：在延长AC至E，使AE＝AB，连结BE.
∵AB＝AE∴∠1＝ ∠2（等边对等角）
又∵ ∠ ACB ＞ ∠2
∴∠ACB ＞ ∠1 （等量代换）
又∵ ∠1＞ ∠B （三角形外角定理）
∴∠ACB ＞ ∠B （不等式的基本性质）
实验与探究 三角形中边与角之间 的不等关系
等腰三角形的边角关系：
等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
如果一个三角形有两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等.（等角对等边）
∵AB=AC
A
∴∠B=∠C(等边对等 角)
∵∠ B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
B
C
A
在一个三角形中， 不相等的边（或 角）所对的角 （或边）之间的 大小关系又怎样 呢？大边所对的 角也大吗？
∠ C有怎样的大小关系？
2.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个
三角形一定是锐角三角形吗？为什么？
3.直角三角形的哪一条边最长？为什么？
巩固作业
如图, ⊿ABC中，AD是中线，如果AB>AC，判断 ∠BAD与∠DAC的大小关系， 并给予证明.
谢谢
A
思考：反之是否成立？
如果∠C>∠B，那么AB与AC 大小关系如何？
B
C
已知：△ABC中， ∠B<∠C
A
求证： AB＞AC
D
在△ABC中，如果∠B<∠C ， 那么我们可以将△ABC折叠， 使点B落在C上， ∠B落在∠C 内部，则有：
BD=CD
而AD+CD>AC 为什么？ B
E
C
所以AD+BD>AC
证法3：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在边AB上
截取AE，使AE=AC,连接DE.
∵AD为∠BAC的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）
A
在⊿EAD和⊿CAD中
∵ AE AC(作图）
E
BAD CAD（已证）
AD
AD（公共边）
B
D
C
∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS） ∴∠C=∠AED（全等三角形的性质） 又∵∠AED=∠B+∠BDE ∴∠AED>∠B. ∴∠C>∠B（等量代换）.