不等边三角形中边与角之间的不等关系 优秀教案
最新人教版初中八年级上册数学【第十三章 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系】教学课件
实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系
学习目标：
1. 能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角之间的不等关系， 解决边角之间的不等问题；
2. 通过探索体会利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略．
学习重点：
添加辅助线，将三角形中边角之间的不等问题进行转化．
温故知新，总结经验
问题一：你还有哪些方法验证你的猜想？
已知：△ABC中，AB＞AC，
求证：∠C＞∠B.
A
B
C
问题一：你还有哪些方法验证你的猜想？
已知：△ABC中，AB＞AC， 求证：∠C＞∠B.
截长法
证明：在AB上截取AD，使AD＝AC，连结DC.
∵AD＝AC，
∴∠1＝∠2.
又∵ ∠ACB＞∠2，
D1
∴∠ACB＞∠1.
1. 作底边BC边上的中线AD
2. 将△ADC中沿中线AD翻折
方法一
问题三：用一张长方形的纸片如何折出一个 等边三角形?
1.准备一张长方形的纸； 2.将纸从中间对折，展开； 3.将其中一个角折到上一步折的对折线上；
4.然后再将纸按图：用一张长方形的纸片如何折出一个 等边三角形?
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE.
E
∴∠B=∠BCE.
∵∠ACB＞∠BCE，
∴∠ACB＞∠B.
D
探究二
推理认证，证明猜想
已知：△ABC中，AB＞AC，
求证：∠C＞∠B.
翻折三：沿过点A的垂线翻折 使点C落到BC边上
探究三
推理认证，证明猜想
已知：△ABC中，AB＞AC，
求证：∠C＞∠B.
证明：过点A作AD⊥BC于D， 在BD边上截取DE=DC，连结AE.
第13章《三角形中的边角关系》集体备课教案0001
13.1 三角形中的边角关系（第一课时）主备人：王大国教学目标1、了解三角形的概念，掌握分类思想2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值重、难点与关键重点：了解三角形分类思想，弄清三角形三边关系难点：对两边之差小于第三边的领悟关键：从观察、联想入手，应用连结两点之间的线中，线段最短这一原理进行迁移教学过程一、情境合一，探究新知1、投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片，运用投影仪播放，让学生对三角形有一个感性认识•如下图：教师活动：通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性•学生讨论教师归纳，由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形•教师活动：给出一个三角形，如图，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法，认识三角形的基本元素：边、角、顶点等学生活动：学会运用大小写字母来表示三角形的边与角，如图的三角形可记作" ABC三边可记作AB AC CA三个角可记作/ A、/ B、/ C,或可用三个字母表示为/ BAG / ABG / ACB.注意：表示边时要两个大写字母，或一个小写字母•注意小写字母标注的规律：通常顶点大写字母所对的变就是这个顶点的小写字母•2、教师给出不同类型的三角形，引导学生从边和角两种角度观察、分类(1 )从边的角度来分类有：不等边三角形等腰三角形(包括等边三角形)说明：对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边。
两腰所夹的角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角：而等边三角形的三边都相等，它是等腰三角形的特例(2 )从角的角度来分类有：锐角三角形(三个内角均为小于90°的角)直角三角形(有一个角是900)钝角三角形(有一个内角大于900)二、联系实际，合作探究1、问题牵引1.国庆节的晚上，小明从甲地到乙地后再往丙地走，并到达丙地，小红从甲地直接到丙地，如图所示，请你谈谈小明和小红谁走的路程长？依据是什么？学生活动：发现小红走的路程短，小明走的路程长。
角形中边与角之间的不等关系
边与角的基本性质
边的基本性质
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
角的基本性质
角形的内角和等于180°，外角和等于 360°。
角形的内角和与外角和
1 2
内角和定理
角形的内角和等于180°。
外角和定理
角形的外角和等于360°。
3
内外角关系
一个内角与其相邻的外角互补，即一个内角加其 相邻的外角等于180°。
05
边与角之间不等关系的应 用
在几何问题中的应用
01
利用边与角之间的不等关系，可 以解决一些几何问题，如判断三 角形的形状、证明角平分线的性 质等。
02
在解决几何问题时，边与角之间 的不等关系可以帮助我们找到一 些关键的突破口，从而简化问题 的求解过程。
在三角函数中的应用
边与角之间的不等关系在三角函数中也有广泛的应用，如 在求解三角函数的值域、判断三角函数的单调性等问题中 。
研究目的和意义
探究角形中边与角之间的不等关系的性质和特点 为解决几何问题提供有效的思路和方法
促进几何学的发展和应用
02
角形的基本概念和性质
角形的定义和分类
角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形叫 做角形。
角形的分类
根据角的大小可分为锐角角形、 直角角形和钝角角形；根据边的 长短可分为不等边角形和等腰角 形。
应用正弦、余弦定理
在三角形中，正弦定理和余弦定理是连接边和角的重要工具。通过灵活运用这 两个定理，可以推导出边与角之间的不等关系。
分析法证明
逐步推导
从已知条件出发，逐步推导出边与角 之间的不等关系。这种方法需要仔细 分析每一步的推导过程，确保逻辑严 密。
《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计5
学科数学教师年级八年级课题实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系教学目标教学重点三角形中边与角的不等关系的探究与证明教学难点如何添加辅助线证明“大边对大角”教具准备三角形纸片、剪刀、三角板、彩笔、磁石、几何画板课件等教学流程师生活动设计意图一、回顾思考1.等腰三角形有哪些性质？2.我们主要是通过什么方法，发现了等腰三角形的性质？又是通过什么方法进行证明的？二、提出问题1.当三角形的三条边都不相等时，还有“三线合一”的性质吗？2.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么，它们所对的角相等吗？3.如果不相等，是较大边所对的角大，还是较小边所对的角大？三、探究新知（一）观察图形，提出猜想1.教师提出问题，学生思考并回答；2.教师利用几何画板动画演示折纸过程，回顾证明方法。
1.教师改变三角形的状，并提出问题；2.学生结合图形思考并回答。
1.教师利用几何画板动画演示图形；回顾所学知识及探究方法，为新知的实验与探究做好铺垫。
类比等腰三角形的性质，提出问题，引出本节课的探究主题。
在△ABC 中，当改变边AB 和AC的长短时，它们所对的角∠C、∠B的大小也改变。
当AB＞AC时，通过肉眼观察，可以得到∠C＞∠B。
猜想：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大边所对的角也较大.（二）实验探究，验证猜想1.学生利用事先制作好的不等边三角形通过折纸验证猜想。
(为了教学方便，统一制作△ABC，规定AB＞AC)2.学生走上讲台，展示验证猜想的探究过程；3.几何画板动态演示各种折纸方法；4.师生归纳猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成：大边对大角）.（三）推理探究，证明猜想1.根据文字命题画出图形，写出已知、求证；已知：如图，在△ABC 中，AB>AC . 2.学生观察图形变化，提出猜想；3.教师板书猜想.1.学生进行分组实验探究，教师巡视指导；①叠合法：沿垂直平分线折叠：如图1，将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，发现∠C>∠B。
实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 (2)教学设计
5.教学过程设计一、温故知新思考1：等腰三角形中的两个底角有什么数量关系？思考2：如果在一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是什么三角形？思考3：在一个一般的三角形中，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？设计意图：通过问题导学，现场折叠等腰三角形，让学生回顾所学的知识，类比等腰三角形的边角关系进而猜想不等边三角形中的边角关系，自然地过渡到本节课的教学内容，培养学生不断思考问题的能力。
二、探究新知（一）观察图形，提出猜想1让学生课前自己动手制作不等边三角形（统一标上字母，规定：AB>AC）。
2如果AB>AC ,那么∠C与∠B有什么大小关系呢？3猜想大边对大角。
（二）实验探究，验证猜想1.几何画板验证：【资料展示】几何画板展示AB=AC，AB>AC，AB<AC三种情况。
教师提问： AB与AC在变化的过程中，∠C与∠B相应地有什么变化呢？同学们，大家能用自己的语言来归纳一下你的发现吗？学生回答：在一个三角形中，边越大对应的角也越大。
设计意图：通过几何画板的展示和层层设问引导学生一步步探究,进而培养学生总结归纳能力。
2.动手实验：教师提问：要证明“在一个三角形中，大边对大角”，我们已知什么，求证什么？学生回答：已知：在△ABC中，AB>AC，求证：∠C＞∠B.教师提问：在这个三角形中，我们要比较这两个角的大小，肯定要把这两个角联系起来。
请同学们回忆一下，以前我们更多地是证明两个角怎么样？学生回答：相等教师提问：在等腰三角形中，要验证两个角是否相等，我们刚刚是怎么做的？【资料展示】几何画板动画演示“等腰三角形的对折”.∴∠C=∠AED∵∠AED>∠B∴∠C>∠B【资料展示】4种方法都准备了微课，学生没有想到的方法可以通过微课进行展示，分享证明方法。
设计意图：选择其中一种方法进行严谨的证明，能够规范数学几何推理的过程，尤其是要注意折纸方法和辅助线的说明之间的对应，将无意识的操作变成有意识的添加辅助线，让学生体验从实验几何过渡到论证几何，学会文字语言、图形语言、符号语言之间的转化。
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
人教版八年级上册第十三章实验与探究《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计【教学目标】1.知识与技能：〔1〕通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；〔2〕能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题.2.过程与方法：通过实验探究和推理论证，开展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验.3.情感与态度：提供动手操作的时机，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.【教学重难点】重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.【学情分析】学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验根底.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力.在教学过程中直接表达出来的难点便是学生很难用几何语言去表达辅助线的做法.【教学内容分析】本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后而设置的.整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.【教学媒体与资源的选择与应用】根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、开展和形成的过程.【学具准备】三角形纸片数张、剪刀、三角板、圆规等.【课时安排】一课时【教学过程】活动一、温故知新，铺垫新知1、如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,那么∠3= °,∠1 ∠3〔填“>〞“<〞〕2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，那么∠C= °3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，那么BD CD，∠1 ∠2〔填“>〞“<〞“=〞〕第1题图第2题图第3题图【设计意图】复习三角形的外角和等腰三角形的性质，为探究三角形中边与角之间的不等关系做好知识和经验铺垫.活动二、创设情境，引入新知问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。
人教版八年级上册数学：实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系(公开课课件)
2. 尺规作图，验证猜想.
C
B
结论：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对
的边也不等，大角所对的边 大 （简称“ 大角 对 大边 ）.
知识应用：
（1）如图，在△ABC中，如果 BC=20cm，AC=16cm，AB=15cm， 则∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
（2）如图，在△ABC中，如果
C
∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°， 则. BC ＞ AC ＞ AB.
能力提升：
已知如图，AB=AC，D在BC上，求证：AD < AB.
A
B
DC
课堂小结：
你在本节课的学习中有哪些收获？
1. 等腰三角形： （1）等边对等角； （2）等角对等边.
2.不等边三角形： （1）大边对大角；（2）大角对大边
思考：
1.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角 形是锐角三角形吗？为什么？ 2.如果一个三角形中最大的边所对的角是钝角，这个三角 形是钝角三角形吗？为什么？ 3.直角三角形中，哪一条边最长？为什么？
探究一：大边对大角
（一）观察图形，提出猜想. 在△ABC中，如果BC=15cm，AC=12cm， AB=10cm，同学们通过肉眼观察可得 C 到∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
猜想： 大边 对 大角 .
A B
（二）验证猜想
1. 用量角器测量，猜想结果是否真确？
2. 叠合法：（发现结论是否正确？）
（1）使∠A与∠B的顶点重合，判定BC所对 角∠A与AC所对角∠B的大小关系？
４.如图，在等腰三角形中，AC = AB ，
A
则 ∠B = ∠C ，（简称：等边 对等角 ）
５.如图，在等腰三角形中， ∠C=∠B，
三角形中边与角之间的不等关系
三角形中边与角之间的不等关系《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。
教学重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。
教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达。
教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。
教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。
二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究“等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。
现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。
三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。
由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。
（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。
）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。
思考：是否还有不同的方法来证明这个结论？实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。
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《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
折叠实现了∠B的转化，那么我们
∴AE=AC
∴∠AEC=∠C （等边对等角）
又∵∠AEC=∠B+∠BAE ∴∠AEC>∠B. ∴∠C>∠B （等量代换）.
2.方法三：沿过点A 的直线翻折使点C 落到AB 边上 思考：同学们体会一下折痕AD 实际上就是∠BAC 的什么线？ 如何确定点E 的位置？
试着将折纸过程转化为几何证明过程？ 学生上台展示证明过程，其他学生点评。
证明：作∠A 的平分线，与边BC 交于点D.在边AB 上截取AE ，使AE=AC,连接DE.
∵AD 为∠BAC 的角平分线（已知） ∴∠BAD=∠CAD （角平分线定义） 在⊿EAD 和⊿CAD 中
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已证）作图）AD AD CAD BAD AC AE ( ∴⊿EAD ≌⊿CAD （SAS ）
∴∠C=∠AED （全等三角形的性质） 又∵∠AED=∠B+∠BDE ∴∠AED>∠B. ∴∠C>∠B （等量代换）. 学生展示讲解方法四和方法五
3.方法四：在长边AB 上截取AE,使AE=AC
4.方法五：延长AC 至E 点,使AE=AB
会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换.
-1
通过讲解，提高学生语言表达能力和归纳能力.
会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换.
培养学生语言表达能力和归纳能力
开拓学生思维的广度和深度
B，∠C有怎样的大小关系？如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐
直角三角形的哪一条边最长？为什么？。