随机过程2-4傅里叶变换(简介)
(4.6)
下面举一些计算平稳序列谱密度的例子。
第2章 平稳过程
第10页
例1 在§1 例1 中离散白噪声的相关函数是
2 m0
RX
(m)
0,
m0
试求其谱密度。
解 由(4.6) 式 SX() eimRX(m) m 2,
结果表明，离散白噪声的谱密度在区间 [ , ] 中是
常数。
第2章 平稳过程
特征函数，可表示为
RX()
eidF()
其中F ( ) 是概率分布函数；亦即
改写为
R RX X((0))21
eid(2F())
RX()21
eidF()
其中 F()2R X(0)F()，而F ( ) 符合定理要求。 证毕。
第2章 平稳过程
R X ()2 1 eid F (),
第6页
(4.1)
|
RX()|d，那么
F / ( ) 可微，故有 F/()SX() ，此时(4.1)式可变成
RX()21 eiSX()d
(4.2)
利用傅里叶变换理论，将（4．2）式反演可得
S X () e iR X ()d,
由此可见 S X ( )是R X ( ) 的傅里叶变换，而 R X ( ) 是 S X ( )
的反傅里叶变换。
相关函数<->谱密度
Fourier变换对
对于平稳序列也有类似于上面的结论。
第2章 平稳过程
第8页
定理 设平稳序列{X (n ),n0 , 1 , 2 ,...}的相关函数是
R X (m ) 2 1 e im d F (), m 0 , 1 , 2 ,... (4.4)
其中F ( ) 是 [ , ]上有界非降函数，且
函数是 R z(m ) akam k2,m 0,1,2,... k
求 Z ( nei(mk) mk
k
m
2 akeik ajeij
k
j
2 | akeik |2 k
第2章 平稳过程
第15页
二、谱密度的物理意义
谱密度的名称来自无线电技术，在物理中它表示功率 谱密度. 下面我们利用频谱分析方法介绍平稳过程{ X ( t ) , t }的功率谱密度。
（4.1）式中F ( ) 称为平稳过程 X ( t ) 的（自）谱函数。
如果存在非负函数 S X ( ) 使
F () S X ()d ,
那么称 S X ( ) 为平稳过程 X ( t ) 的（自）谱密度。它的物理 意义将在后面解释。
第2章 平稳过程
第7页
如果自相关函数 R X ( ) 满足条件
第2章 平稳过程
第1页
傅里叶变换（简介）
f(x) 傅里叶变换为 F(t) 1 f(x)eitxdx
2
反演公式
f(x) 1 F(t)eitxdt
2
傅里叶变换存在的条件
f(x) 傅里叶变换及反演公式在满足下面两个条件下有 意义：
(1) | f(x)|dx,
(2) f(x) 在 (, ) 上满足狄里赫勒条件：只有有限
个极值点，只有有限个第一类间断点。
第2章 平稳过程
第2页
第2章 平稳过程
第3页
第2章 平稳过程
第4页
维纳-辛钦（wiener－Khintchine）定理
设连续平稳过程 {X(t),t }的相关函数是 R X ( ) ， 则 R X ( ) 可以表示为
R X ()2 1 eid F (), (4.1)
函数是 R z(m ) akam k2,m 0,1,2,... k
求 Z ( n ) 的谱密度。
解：由(4.6)式，Z ( n ) 的谱密度
SZ() eim R Z(m ) m
eim
akamk 2
m
k
2
akamkeikei(mk)
km
第2章 平稳过程
第14页
例3 在§1例2 中离散白噪声的无限滑动和 Z ( n ) 的相关
eimakamk
k0m
第2章 平稳过程
N
RY(m)
akamk2
k0
0mkN
N Nk
2
eimakamk
k0mk
令lmk
NN
2
ei(lk)akal
k0l0
N
N
2 akeik aleil
k0
l0
N
2 | akeik |2 k0
第12页
第2章 平稳过程
第13页
例3 在§1例2 中离散白噪声的无限滑动和 Z ( n ) 的相关
分三步讨论： 1）确定性信号的功率谱密度； 2）平稳随机信号的功率谱密度； 3）讨论平稳随机信号功率谱密度与相关函数之间的 傅里叶变换关系，从而说明谱密度和功率谱密度 是一致的。
第2章 平稳过程
第16页
1．确定性信号的功率谱密度
对确定性信号 x(t),t作频谱分析。x ( t ) 可
表示 t 时刻的电流强度或电压。根据电学中电功率公式
WI2RU2/R如果取电阻 R 为 1欧姆，那么 x 2 ( t ) 表
示信号在 t 时刻功率。
下面利用 Fourier 分析中的定理对信号 X(t) 作谱分解.
其中 F ( ) 是有界非降函数，且
F ( ) 0 ,F ( ) 2R X (0 )
证 令R X()R X()/R X(0)。则易知 R X ( ) 满足：
(1) RX(0)1；(2) 在 上连续；(3) 具有非负定性.
第2章 平稳过程
第5页
利用附录 g 2中的波赫纳尔-辛钦定理，得到 R X ( ) 是一个
第9页
如果 R X ( m ) 满足条件 | RX (m)| ，可以证明 F ( ) m
可微，故有 F /()S X (), 。
此时，（4.4）式可变成
R X (m ) 2 1 e im S X ()d,m 0 , 1 , 2 ,...(4.5)
它的反演公式是
SX() eim R X(m ), m
第11页
例2 在§1 例2 中离散白噪声的有限滑动和 Y(n) 的相关函数
N
是 RY(m)
akamk2 , 求Y(n) 的谱密度。
k0
0mkN
解：为方便起见规定：当 l0或 lN时 a l 0 ，
由(4.6)式 SY() eim R Y(m ) m
N
eim akamk 2
m
k0
N
2
F ( ) 0 ,F () 2 R X (0 )
此定理可以用附录§2中赫尔格洛兹定理进行证明。
（4．4）式中 F(),[,] 称为平稳序列的（自）谱函
数。如果存在非负函数 S X ( ) 使
F () S X ()d,
那么称 SX(), [,]为平稳序列 X(n) 的(自)谱密度。
第2章 平稳过程
《傅里叶变换经典》PPT课件
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
fourier transform的原理
fourier transform的原理Fourier Transform的原理Fourier Transform（傅里叶变换）是一种数学工具，用于将一个函数或信号从时间域转换到频率域。
它是由法国数学家Jean-Baptiste Joseph Fourier 在19世纪提出的。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶级数在介绍傅里叶变换之前，我们首先了解一下傅里叶级数。
傅里叶级数是傅里叶变换的基础，用于将周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：f(x)=a0+∑[a n cos(2πnxT)+b n sin(2πnxT)]∞n=1其中，a n和b n是函数f(x)的傅里叶系数，T是函数f(x)的周期。
连续傅里叶变换傅里叶级数适用于周期性函数，但对于非周期性函数，我们需要使用连续傅里叶变换。
连续傅里叶变换将一个非周期性函数f(t)转换为一个连续的频谱F(ω)，其公式如下：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−iωt dt连续傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，其中ω表示角频率。
离散傅里叶变换在实际应用中，我们通常处理的是离散的数字信号。
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的一种离散形式，将一个离散的信号序列x(n)转换为离散的频谱X(k)，其公式如下：X(k)=∑xN−1n=0(n)e−i2πknN其中，k表示频率索引，N表示信号的长度。
快速傅里叶变换离散傅里叶变换的计算复杂度为O(N2)，当N较大时，计算时间将会变得非常长。
为了提高计算效率，我们引入了快速傅里叶变换（FFT）。
FFT 是一种高效的算法，能够将离散傅里叶变换的计算复杂度降低到O(NlogN)，使得大规模的信号处理成为可能。
傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理和频谱分析中有着广泛的应用。
它可以用于图像压缩、音频处理、信号滤波、图像恢复等领域。
例如，在音频处理中，我们可以使用傅里叶变换将时域的声音信号转换为频域的频谱，以便对声音进行频谱分析和滤波处理。
数学物理方法5傅里叶变换
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
傅里叶变换详解
若函数
以 为周期，即为
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 函数族
，则可取三角 (7.1.2)
作为基本函数族，将 级数）
展开为傅里叶级数（即下式右端 (7.1.3)
式（7.1.3）称为周期函数
的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简
称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
7.3.3 傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：
1.第一种定义式
2.第二种定义式
3.第三种定义式 三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换对形式描述
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
这些数值时，相应有不同的频率
和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化 的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 称为函数
的振幅频谱（简称频谱）.
若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅 ，把点
用图形表示出来，这样的图
形就是频谱图. 由于
,所以频谱 的图形是
不连续的，称之为离散频谱．
利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为
（7.1.4）
其中
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（ Dirichlet）定理 7.1.1 若函数
满足条件：
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
傅里叶变换的原理以及应用
傅里叶变换的原理以及应用1. 傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种数学变换，将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦波的线性组合。
它可以将一个时域的函数转换为频域的函数，揭示了信号在频域上的组成成分。
傅里叶变换的数学表达式为：F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w)表示函数在频域上的表示，f(t)表示函数在时域上的表示，e^(-jwt)是复指数函数。
傅里叶变换的原理可以简单总结为以下几点： - 任何连续周期函数都可以由一组正弦和余弦函数构成。
- 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，将函数分解为不同频率的成分。
- 傅里叶变换可以用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
2. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
2.1 信号处理傅里叶变换在信号处理领域有着重要的作用，可以将时域信号转换为频域信号，从而提取出信号的频率特征。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，如频率分布、幅度和相位信息等。
这对于音频信号处理、图像处理等都有重要的应用。
例如，在音频处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，进而实现音频的滤波、降噪、音频识别等功能。
2.2 图像处理傅里叶变换在图像处理领域也有广泛的应用。
通过将图像进行傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，在频域上进行操作，如去除图像中的噪声、增强图像的细节等。
傅里叶变换在图像压缩、图像识别、图像恢复等方面也有重要的应用。
2.3 通信系统傅里叶变换在通信系统中也起到了重要的作用。
在通信系统中，我们需要传输不同频率的信号，而傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的成分，从而实现信号的调制和解调。
在调制过程中，我们可以通过选择不同的频率成分来实现不同的调制方式，如调幅、调频、调相等。
在解调过程中，我们可以通过傅里叶变换将信号从频域转换到时域，恢复出原始信号。
2.4 音频与视频压缩傅里叶变换在音频和视频压缩中也有着重要的应用。
傅里叶变换
其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为
，而快速傅里叶变换
（FFT）可以将复杂度改进为
。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展
使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一
问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅
变换
注释
10
矩形脉冲和归一化的sinc函数
11
变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函 数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12
tri 是三角形函数
13
变换12的频域对应
14
高斯函数exp( − αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0 时，这是可积的。
15
光学领域应用较多
若函数 及 都在 傅里叶变换存在，且
自的傅里叶逆变换的卷积。 帕塞瓦尔定理
上绝对可积，则卷积函数
的
。卷积性质的逆形式为 ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各
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2009-11-27
傅里叶变换 - 维基百科，自由的百科全书
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里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（Pontryagin duality）中的介绍。