高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...nnaaabbb，则有

1211...nnnababab (倒序积和)

1212...nrrnrababab（乱序积和）

1122 ...nnababab（顺序积和）

其中1,2,...,nrrr是实数组1,2,...,nbbb一个排列，等式当且仅当12...naaa或12...nbbb时成立. （说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...nrrnrSababab。

不等式 1212...nrrnrSababab的意义：当121,2,...,nrrrn时，S达到最大值1122 ...nnababab.因此，首先证明na必须和nb搭配，才能使S达到最大值.也即，设nrn且nb和某个

()kakn搭配时有

.nnknnrkrnnabababab （1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当nrn时，调换nb和nrb的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好na和nb后，再调整1na和1nb会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值1122 ...nnababab，这就证明了1212...nrrnrababab1122 ...nnababab. 再证不等式左端, 由1211...,...nnnaaabbb及已证明的不等式右端， 得 即 1211...nnnababab1212...nrrnrababab .

例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c是正数，求证：3()abcabcabcabc. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设abc，则有lglglgabc 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上 lglglgaabbcc 有 3(lglglg)()(lglglg)aabbccabccab 即 lglg3abcabcabcabc 故 3()abcabcabcabc . 例2 设a,b,cR，求证：222222333222abbccaabcabccabbccaab. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设abc，则 222abc且111cba 根据排序不等式，有 两式相加除以2，得 再考虑333abc，并且111bccaab 利用排序不等式， 两式相加并除以2，即得 综上所述，原不等式得证. 例3 设12120...,0...nnaaabbb，而1,2,...,niii与1,2,...,njjj是1,2,...,n的两个排列.

求证：1111rsnnnnijrsrsrsababrsrs. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式. 证明：令 1snjrsbdrs （r=1,2,...,n） 显然 12...nddd 因为 12...nbbb ， 且 111...(1)1rnrnr

由排序不等式 1nsrsbdrs 又因为 12...naaa 所以 11rnnrrirrradad且111nnnsrrrrsrbaadrs（注意到ra0）

故 11111rssrnnnnnijjirirrsrsrabbaadrsrs 故 原式得证. 2.均值不等式 定理2 设12,,...,naaa是n个正数，则()()()()HnGnAnQn称为均值不等式. 其中，

121()111...nHnaaa，

12()...nnGnaaa，

12...()naaaAnn， 分别称为12,,...,naaa的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()GnAn. 记 12...nncaaa，令 iiabc， 则 原不等式12...nbbbn

其中 12121...(...)1nnnbbbaaac 取 12,,...,nxxx使 11212123,,...,,nnnxxxbbbxxx 则 1.nnxbx 由排序不等式，易证 下证 ()()AnQn 因为 222212121...[(...)nnaaaaaan22212131()()...()naaaaaa 2222232421()()...()...()nnnaaaaaaaa]

所以 2221212......nnaaaaaann. 从上述证明知道，当且仅当12...naaa时，不等式取等号. 下面证明 ()()HnGn

对n个正数12111,,...,naaa，应用 ()()GnHn，得 即 ()()HnGn（等号成立的条件是显然的）. 例4已知2201,0axy，求证：1log()log28xyaaaa. 证明：由于 01a，0,0xyaa， 有 22xyxyxyaaaaa 从而 log()log(2)log22xyxyaaaxyaaaa 下证 128xy ， 即 14xy。 又因为 2111()244xyxxx，等号在x=12(这时y=14)时取得 所以 1log()log28xyaaaa . 例5（IMO）设a,b,c是正实数，且满足abc=1. 证明：111(1)(1)(1)1abcbca 证明：令 ,,yyzabcxzx，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为 ()()()xyzyzxzxyxyz （2-1） 记 ,,uxyzvyzxwzxy， 注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数，那么0uvwxyz，（2-1）式成立. 如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式 同理可证，vwy，wuz 于是 uvvwwuxyz 即 uvwxyz，（2-1）式得证. 例6 已知12,,...,0naaa，且12...1naaa.

求证：1223131211...1...1...21nnnnaaanaaaaaaaaan.

思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22nniiiiiaaa. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia可看为倒数形式，尝试用调和平均. 证明：不等式左边化为

112(1)22nniiiiiaaa



，

对12222,,...,222naaa，利用()()AnHn有 即 22211221122122niniiiannnnnna

所以 2111222(1)22221nnniiiiiiiaannnaan21nn . 3．柯西不等式 定理3 设ia，ibR（i=1,2,…n）,恒有不等式222111.()nnniiiiiiiabab，当且仅当1212...nnbbbaaa时，等式成立. 构造二次函数证明 当021naaa或021nbbb时，不等式显然成立

令niiaA12 niiibaB1 niibC12 ，当naaa,,,21中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数CBxAxxf222，展开得：02121222niiiniiiiibxabxbaxaxf 故xf的判别式0442ACB

移项得2BAC，得证。 向量法证明 令nnbbbaaa,,,,,,2121，.则对向量,有1,cos，由

nnbababa2211，niiniiba122122,，得.121221niiniiniiibaba当且

仅当1,cos，即,平行时等号成立。 数学归纳法证明 i ) 当n=1时，有2221211baba，不等式成立。

当n=2时，221122222121222112babababababa 因为2211212222212babababa，故有2221222122211bbaababa 当且仅当1221baba，即2211baba时等号成立。 ii）假设n=k时不等式成立，即 当且仅当kkbababa2211时等号成立。

那么当n=k+1时， 当且仅当1112121111,,,kkkkkkkkabbaabbaabba时等号成立，