苏科版八年级数学上册 勾股定理测试题
初中数学试卷
勾股定理测试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A ：4，5，6
B ：1，1
C ：6，8，11
D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）
A ：26
B ：18
C ：20
D ：21
3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）
A ：3
B ：4
C ：5
D ：7
4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ）
A ：5
B ：10
C ：25
D ：5 5、下列定理中,没有逆定理的是（ ）
A ：两直线平行，内错角相等
B ：直角三角形两锐角互余
C ：对顶角相等
D ：同位角相等，两直线平行
6、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正
确的是（ ）
A ：△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边
B ：△AB
C 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ：△ABC 的面积是60
D ：△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60° 7、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A ：：：3
8、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2
(6)10
0a c --=，则三角形的形状
是（ ）
A ：底与边不相等的等腰三角形
B ：等边三角形
S 3S 2
S 1
C B
A
D
C
B A
3
220
A
C ：钝角三角形
D ：直角三角形
9、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时
从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A ：36 海里 B ：48 海里 C ：60海里 D ：84海里 10、若ABC V 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 二、填空题（每小题4分，共40分）
11、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个
桌面 （填“合格”或“不合格”）；
12、如图所示，以Rt ABC V 的三边向 外作正方形，其面积分别
为123,,S S S ,且1234,8,S S S ===则 ；
13、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的
距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 ； 14、如图，90,4,3,12C ABD AC BC BD ︒
∠=∠====,则AD= ； 15、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 ； 16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高
为 ；
17、写出一组全是偶数的勾股数是 ； 18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ； 19、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地
面，此时，顶部距底部有 m ；
20、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，112海
里/时的速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。
三、解答题（每小题10分，共70分）
21、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天
凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？
C
B
A
D
C
A
B
D
22、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。
23、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面
积是多少?
24、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
C
B A D E
F
25、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的
C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？
26、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再
向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.
27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当
小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•
8km C
A
B 6km
10
40
20
40
出发点 70
终止点。
第三章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，则顶点C的坐标为（）A. B. C. D.2、如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，则两点之间距离为（）A.10B.12C.13D.3、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4、如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（）A. B. C. D.5、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A.13B.12C.11D.106、如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（）A. B. C. D.7、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m8、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y= B.y=C.y=D.y=9、以下列线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=6B.a=1，b= ，c=C.a=5，b=6，c=8 D.a= ，b=2，c=10、若为△ABC的三边，且，则△ABC的形状不可能是（）．A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形11、如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A. B. C. D.12、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形13、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.414、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A.3cmB.6cmC.3 cmD.6 cm15、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________．17、如图，为直角三角形，其中，则的长为________。
苏教版八年级数学上册勾股定理
勾股定理一、核心价值题：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）b=8，c=17，则S △ABC =_______.2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是 （ ）A 、5、4、3B 、13、12、5C 、10、8、6D 、26、24、103.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 要爬行的最短路程(π取3)是 ( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.4.一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为（ ） A 、13 B 、5 C 、13或5 D 、无法确定5.在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD ，∠︒=90DBC ，12,4,3===BC AB AD ，求CD .6. 如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？AB二、知识与技能演练题：7.在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积。
利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．16B ．12C ．16或12D ．24b ac cb a4．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x ＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x 和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k－1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理 含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A.BC=1，AC=2，AB=B.BC：AC：AB=12：13：5C.∠A+∠B=∠C D.∠A：∠B：∠C=3：4：53、如图，长方形 OABC 放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交数轴于 P 点，则 P 点表示的数为（）A.2﹣B.﹣C.D.4、如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（）A.1，2，3B.1，3，4C.2，3，5D.3，4，55、已知一个直角三角形的两边长分别3和4，则第三边长是( )A.5B.C.25D.5或6、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的有（）个①∠A：∠B：∠C=l：2：3；②三边长为a，b，c的值为1，2，；③三边长为a，b，c的值为，2，4；④.a2=（c+b）（c﹣b），A.0个B.1个C.2个D.3个7、如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（）A.y=1B.y≥1C.1≤y≤D.1≤y≤8、若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A.20B.24C.40D.489、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB=2，，则AE的长为（）A.1.5B.2C.2.5D.10、已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（）．A.30°B.45°C.60°D.90°11、⊙O 的直径 AB 长为 10，弦 MN⊥AB，将⊙O 沿 MN 翻折，翻折后点 B 的对应点为点 B′，若 AB′＝2，MB′的长为（）A.2B.2 或 2C.2D.2 或 212、矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）A.6B.C.2（1+ ）D.1+13、如图，正方形的边长为，，，连接，则线段的长为（）A. B. C. D.14、△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A:∠B:∠C＝3:4:5；③a2＝（b＋c）（b－c）；④a:b:c＝5:12:13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如上图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 ，底面周长为10 ，在容器内壁离容器底部3 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A.13B.12C.15D.16二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为________．17、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝________．18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，D是AB的中点，E是直线BC上一点，把△BDE沿直线ED翻折后，点B落在点F处，当FD⊥BC时，线段BE的长为________.19、如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A 作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB= ，BD=2，则线段AE的长为________．20、如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=________21、在平面直角坐标系 xOy 中，点O 是坐标原点，点 B 的坐标是(3m, 4m- 4)，则OB 的最小值是________.22、如图，矩形纸片ABCD，，，点P在BC边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且，则AF的值为________.23、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为________ cm．24、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：________三角形．25、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。
(典型题)苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光( )A.3mB.4mC.5mD.7m2、三角形一边长为，另两边长是方程的两实根，则这是一个（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.任意三角形3、如图①, 已知正方体的棱长为4, E, F, G分别是AB, AA, AD的中点,1截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体, 如图②, 则图②中阴影部分(截面)的面积为（）A. B. C.2 D.34、如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（）.A. B. C. D.5、如图是由5个大小相等的正方形组成的图形，则tan∠BAC的值为（）A.1B.C.D.6、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C 的半径为（）A.2.3B.2.4C.2.5D.2.67、如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（）A. B. C. D.8、如图，分别以数轴的单位长度1和2为直角边长作Rt△OBC，然后以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交数轴于点A，那么点A所表示的数为A. B.1+ C. +2 D.3.29、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（）①AE=CF；②EC+CF=4 ；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．A.①②B.①③C.①②③D.①②③④10、如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2，3)，以点O为圆心，OP 的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（）A. B. C. D.11、以a、b、c为边，不能组成直角三角形的是（）A.a＝6，b＝8，c＝10B.a＝1，b＝，c＝2C.a＝24，b＝7，c ＝25D.a＝，b＝，c＝12、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A. +1B. ﹣1C.﹣+1D.﹣﹣113、如图，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（）A.4B.4C.8D.814、如图所示,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD 上任意一点,则PK＋QK的最小值为( )A.1B.C.2D. ＋115、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB的中垂线与BC交于点E，则BE的长等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________.17、如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D 也在格点位置（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D 的坐标是________．18、如图，为的边上的中线，沿将折叠，点的对应点为，已知，则点与点之间的距离是________19、△ABC中，AC=15，AB=13，BC=14，则BC边上的高AD=________．20、如图，中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为则线段的长为________.21、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是________.22、如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为________.23、若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边上的中线是________ cm.24、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为________．25、如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，若圆O的半径为4，则弦AB的长等于________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE=2，DF=1，∠EBF=60°，求平行四边形ABCD的面积．28、如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从A点出发沿AB以5cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从C点出发沿CD以3cm/s的速度向点D移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离为10cm？29、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= AD，请你判断△EFC的形状并说明理由．30、在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、C4、D5、A6、B7、D8、B10、C11、D12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、。
最新苏科版八年级数学上册《勾股定理》单元测试解析版-精品试题.docx
《第3章勾股定理》一、选择题1．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，172．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍3．下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形4．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形5．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空题7．若△ABC的三边长满足a2=b2+c2，则△ABC是三角形且∠=90°．8．在Rt△ABC中，已知两边长为6和8，则第三边长为．9．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为．10．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是cm2．12．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．三、解答题13．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，求另一条直角边的长．14．如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为、、，比较后得AG2最小为．即最短路线的长是．（2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21．15．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积．16．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．求正方形b的面积．17．如图，在△ABC中，AB=AC=25，点D在BC上，AD=24，BD=7，试问AD平分∠BAC吗？为什么？18．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．《第3章勾股定理》参考答案与试题解析一、选择题1．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，17【考点】勾股数．【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、62+122≠132，故错误；B、32+42≠72，故错误；C、7.5，8.5不是正整数，故错误；D、82+152=172，故正确．故选D．【点评】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．2．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．【解答】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．故选A．【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．3．下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为22.5°，67.5°，90°，所以是直角三角形；B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形；C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形；D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形．故选B．【点评】此题考查了利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理来判定直角三角形的方法．解题的关键是对知识熟练运用．4．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．5．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC 的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：BC+AC．【解答】解：连接AE，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC==10，∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE=BE，∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16．故选A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．6．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】勾股定理；三角形中位线定理．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，∴斜边==10cm，∴连接这两条直角边中点的线段长为×10=5cm．故选D．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．二、填空题7．若△ABC的三边长满足a2=b2+c2，则△ABC是直角三角形且∠ A =90°．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行解答即可．【解答】解：∵△ABC的三边长满足a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形且∠A=90°．故答案为：直角，A．【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．8．在Rt△ABC中，已知两边长为6和8，则第三边长为10或2．【考点】勾股定理．【分析】由于斜边没有明确的规定，所以要分情况求解．【解答】解：当8是斜边时，第三边是==2；当8是直角边时，第三边是10．【点评】此类题一定要注意两种情况，熟练运用勾股定理．9．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为2．【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的性质列式求出x2、y2，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x2﹣4=0，y2﹣16=0，所以，x2=4，y2=16，由勾股定理得，斜边的平方=x2+y2=4+16=20，所以，斜边==2．故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出方程是解题的关键．10．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是108 ．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定给三角形的形状，求拼成的四边形的面积就是这样两个三角形的面积和，由此列式解答即可．【解答】解：∵92+122=225，152=225，∴92+122=152，这个三角形为直角三角形，且9和12是两条直角边；∴拼成的四边形的面积=×9×12×2=108．故答案为：108．【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是17 cm2．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．【解答】解：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49﹣8﹣10﹣14=17（cm2）；故答案为：17．【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．12．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．【考点】勾股定理的应用．【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即=10cm，∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10=2cm，故答案为2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．三、解答题13．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，求另一条直角边的长．【考点】勾股定理．【分析】设另一条直角边的长为x，根据三角形的周长的定义表示出斜边，再利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设另一条直角边的长为x，则斜边为：30﹣5﹣x=25﹣x，由勾股定理得，x2+52=（25﹣x）2，解得x=12．答：另一条直角边的长12．【点评】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，利用勾股定理列出方程是解题的关键．14．如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为37 、25 、29 ，比较后得AG2最小为25 ．即最短路线的长是 5 ．（2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】（1）蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后利用勾股定理求其对角线，比较大小即可求得最短的途径；（2）根据勾股定理，知长方体盒子内能容下的最长木棒的平方等于长方体的长、宽、高的平方和．【解答】解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为（4+2）2+12=37、42+（1+2）2=25、22+（4+1）2=29，比较后得AG2最小为25．即最短路线的长是5．（2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21．故答案为37，25，29，5．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意：长方体中最长的对角线的平方等于长方体的长、宽、高的平方和．15．（2009秋•福鼎市校级月考）一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据周长求得直角三角形的两条直角边，从而求得其面积．【解答】解：设该三角形的三边是5k，12k，13k．因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．根据题意，得5k+12k+13k=60，解得k=2，则5k=10，12k=24，则该直角三角形的面积是120．故答案为：120cm2．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，同时熟悉直角三角形的面积公式．16．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．求正方形b的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质得出∠ACB=∠DEB=90°，AB=DB，∠ABD=90°，求出∠CAB=∠DBE，根据AAS推出△ACB≌△BED，根据全等得出AC=BE，DE=BC，根据勾股定理得出即可．【解答】解：∵根据正方形的性质得：∠ACB=∠DEB=90°，AB=DB，∠ABD=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠DBE，在△ACB和△BED中∴△ACB≌△BED，∴AC=BE，DE=BC，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=AC2+DE2=5+11=16，即正方形b的面积是16．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出△ACB≌△BED，题目比较好．17．如图，在△ABC中，AB=AC=25，点D在BC上，AD=24，BD=7，试问AD平分∠BAC吗？为什么？【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质．【分析】先根据勾股定理的逆定理可得AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论．【解答】解：AD平分∠BAC，理由为：∵在△ABC中，AB=AC=25，AD=24，BD=7，∴252=242+72，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∴AD平分∠BAC．【点评】考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是得到AD⊥BC．18．（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB=AD时，求出CD即可；（2）当AB=BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x﹣6，求出即可．【解答】解：如图1，在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，（1）如图1，当AB=AD时，CD=6m，△ABD的周长为10m+10m+6m+6m=32m；（2）如图2，当AB=BD时，CD=4m，AD=4m△ABD的周长是10m+10m+4m=（20+4）m；（3）如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x﹣6，则x2=（x﹣6）2+82，∴x=，∴△ABD的周长是10m+m+m=m，答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20+4m或m．【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．。
2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期末综合复习题（附答案）一．选择题1．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4B．7，24，25C．8，12，20D．5，13，15 2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．±53．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5B．C．D．5或4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（10，0）B．（0，4）C．（4，0）D．（2，0）5．已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距（）A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里6．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE 的长是（）A．3B．4C．5D．67．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．B．+2C．﹣2D．28．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤139．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米10．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校六号楼前有一块长方形花圃（如图所示），有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，请你计算，他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．14．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．15．如图所示，圆柱的高AB＝15cm，底面周长为40cm，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是．16．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要元．17．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝16km，CB＝11km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．23．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米．（1）求梯子顶端A与地面的距离AC的长；（2）若梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得BD＝0.5米，求梯子顶端A 下滑了多少米？24．如图，正方形网格中有△ABC．若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求△ABC中BC边上的高．25．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案一．选择题1．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；B、∵72+242＝252，∴能构成直角三角形；C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．故选：B．2．解：∵点P（3，4），∴点P到原点的距离是＝5．故选：C．3．解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选：D．4．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10，∴AC＝AB＝10，∴OC＝10﹣6＝4，∴点C的坐标为（4，0），故选：C．5．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根据勾股定理得：＝50（海里）．故选：D．6．解：根据翻折的性质得，AE＝CE，设BE＝x，∵长方形ABCD的长为8，∴AE＝CE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2＝AB2+BE2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，所以，BE的长为3．故选：A．7．解：由题意可得，AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，∴AC＝＝＝，∴AD＝．∴点D表示数为﹣2．故选：C．8．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．9．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故选：B．10．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，∴BC＝8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，∴CE＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，故选：D．二．填空题11．解：根据勾股定理可得斜边长是＝5m．则少走的距离是3+4﹣5＝2m，∵2步为1米，∴少走了4步，故答案为：4．12．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．故答案为：49cm2．13．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝8π．故答案为：8π．14．解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．15．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝15，AD为底面半圆弧长，AD＝40＝20，所以AC＝＝＝25，故答案为：25cm．16．解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m＝7m，则面积是14m2，价格是14×20＝280（元）．17．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．三．解答题18．解：设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得x2+162＝112+（25﹣x）2，解得x＝9.8，∴E站应建在离A站9.8 km处．19．解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，则x+1＝13，答：水深12尺，芦苇长13尺．20．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．21．解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝1200米，AC＝500米，所以，根据勾股定理有AB＝＝1300（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝（米）．由于400米＜米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．22．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．23．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°根据勾股定理，得：AC＝＝＝2（米）∴梯子顶端A与地面的距离AC为2米；（2）依题意，得：CD＝BC+BD＝1.5+0.5＝2（米）在Rt△CDE中，∠C＝90°，根据勾股定理，得：∴AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5（米）∴梯子顶端A下滑了0.5米．24．解：（1）∵由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB＝，AC＝2，BC＝5，设△ABC的边BC上的高为h，则AB×AC＝×h，∴×2＝5h，h＝2，即△ABC中BC边上的高是2．25．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120（千米），则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．。
最新苏科版八年级数学上册勾股定理(含解析)
勾股定理一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE 的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．72 4．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（）A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．C．D．36．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF 平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．18 7．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 8．2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A．2 B．0.5 C．13 D．1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为．10．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC 三边为直径作半圆，则阴影部分面积为．14．如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为．15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．16．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为．三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE ＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．18．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．19．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．21．【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为、（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是（等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．22．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC ＝15，DB＝9．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•江苏省沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．【解析】根据题意得：S（a+b）（a+b），S ab ab c2，（a+b）（a+b）ab ab c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选：D．2．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据勾股定理和角平分线的性质解答即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB，AB=10∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴CE＝ED，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．3．（2019秋•江苏省常州期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC ＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．72【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形面积求法得出即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB，则正方形ABDE的面积为：AB＝65．故选：C．4．（2019秋•江苏省新吴区期中）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．【解析】在直角三角形中，根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，设斜边为c∴c²10²，c=1故选：D．5．（2019秋•江苏省沭阳县期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．C．D．3【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，设AE=EC=a，CF=BC=b，AD=BD=c，则AC²=2a²，BC²=2b²，AB²=2c²，S阴影＝S△AEC+S△BFC+S△ADB22c2（AC2+BC2+AB2）AB232．故选：B．6．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．18【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF 然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2∠ACB，∠3＝∠4∠ACD，∴∠2+∠3（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∵EM＝3，∴EF＝3+3＝6，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．故选：A．7．（2019秋•江苏省金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长的平方5，或直角三角形的第三边长的平方，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．8．（2019秋•江苏省吴中区期中）2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A．2 B．0.5 C．13 D．1【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝49，大正方形的面积为25，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解析】∵（a+b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝49，∵大正方形的面积为25，∴2ab＝49﹣25＝24，∴小正方形的面积为25﹣24＝1．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020春•泰兴市校级期中）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为98°．【分析】根据邻补角得出∠3，进而利用等腰直角三角形得出∠4，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．【解析】如图所示：由题意可得：∠4＝45°，∵∠1＝53°，∴∠3＝127°，∴∠5＝360°﹣90°﹣45°﹣127°＝98°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠5＝98°，故答案为：98°10．（2019秋•江苏省宿豫区期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝ 5 ．【分析】在△ABC中，∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2，根据题目给出的BC＝12，AB＝13，根据勾股定理可以求AC的长．【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，∴AC5．AC=5故答案为：5．11．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为 6 ．【分析】由正方形的面积和勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，可求BC的长，再根据三角形面积公式即可求解．【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴9+BC2＝25，∴BC2＝25﹣9＝16，∴BC＝4，∴Rt△ABC的面积＝42＝6．故答案为：6．12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出AB•AC BC•AD，即可求出AD．【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，∴AB144，AB=12∵S△ABC AB•AC BC•AD，∴12×1620AD，∴AD．故答案为：．13．（2019秋•江苏省亭湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．【解析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，则有：S1π（）2，同理，S2，S3，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，在直角△ABC中，BC9，BC=3则S阴影＝S△ABC AC•BC4×3＝6．故答案为6．14．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为 4 ．【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得到正方形S1，S2的面积和是斜边AB的平方．【解析】∵以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，∴正方形S1的面积是AC2，正方形S2的面积是BC2，AC2+BC2＝AB2，∴正方形S1，S2的面积和为：AC2+BC2＝AB2＝22＝4．故答案是：4．15．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，∴4ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案是：316．（2019秋•江苏省常州期中）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为 6 ．【分析】过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长即可．【解析】过A作AD⊥BC于D，则BD＝8，在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，则AD6．AD=6所以BC边上高的长的高为6．故答案为：6．三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）如图，已知△ABC和△BDE 是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE BD，∵△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，∴AD2+CD2＝2．18．（2019秋•江苏省新北区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD ＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．【分析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．【解析】（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE DB，∵∠DCB＝90°，∴CE BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝10，CF＝8，∵EF⊥AC．∴EF6．EF=619．（2019秋•江苏省大丰区期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9 ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为28 ；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，故故答案为5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28．故答案为28．[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a+b）×k（a+b）＝3b×ka c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．20．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【解析】（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+ab b2，也利用表示为ab c2ab，∴a2+ab b2ab c2ab，即a2+b2＝c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为3×45×h，∴h，故答案为；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：21．（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a）；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为c2﹣2ab 、（b﹣a）2（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为13 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；（3）根据（1）的结果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．【解析】（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），故答案为：（b﹣a）；（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案为：13；（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）∴43＝a3+b3+3×2×4，解得：a3+b3＝40．22．（2019秋•江苏省宜兴市期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长即可；（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，继而求出△ABC的面积．【解析】（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即CD2+92＝152，解得CD＝12；（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴AD2+122＝202，解得AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∴S△ABC AB•CD25×12＝150．。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理 含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB ⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（）A.（，）B.（3，3）C.（，）D.（，）2、如图，己知等腰，以为直径的圆交于点，过点的⊙的切线交于点，若，则⊙的半径是（）A. B.5 C.6 D.3、如图，一棵大树在离地面3 ，5 两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6 处，则大树折断前的高度是（）A. B. C. D.4、如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过B点作BF⊥CE于点F，则BF的长为（）A. B. C. D.5、下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4cmB.5cmC.D.6、以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是（）A.2，3，4B.1，2，C.5，12，17D.6，8，127、七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2的“风车”造型（内部有一块空心），连结最外围的风车顶点M、N、P、Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为（）A.5：8B.3：5C.8：13D.25：498、在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）A.108cm 2B.90cm 2C.180cm 2D.54cm 29、如图，已知正方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点A爬行到相对顶点B的最短路程为（）A.3B. +1C.D.10、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A.5mB.12mC.13mD.18m11、正方形网格中，如图放置，则=（）A. B. C. D.12、如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q 地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（）A. B. C. D.13、如图，O为矩形ABCD内一点，满足OD＝OC，若点O到边AB的距离为d，到边DC的距离为3d，且OB＝2d，则矩形ABCD的对角线的长为（）A.2dB. dC.3dD. d14、如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别经过A、D、C三点，且．若 a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（）A.68B.70C.72D.7415、一张等腰直角三角形彩色纸如图放置，已知AC=BC=cm，∠ACB=90°现要沿AB边向上依次截取宽度均为2cm的长方形纸条,如图所示.已知截得的长方形纸片中有一块是正方形,则这块正方形纸片是（）A.第五块B.第六块C.第七块D.第八块二、填空题(共10题，共计30分)16、在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…，按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为________．17、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=________cm．18、如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于________．19、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC 上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．20、如图，点E在矩形ABCD的边DC上，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F 正好落在BC边上，点M、N分别是线段AE、AF上的两个动点，若BC＝l0，tan ∠FAE＝，则AE＝________，FM+MN的最小值为________.21、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________22、如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为________.23、如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为________ m．24、如下图，点是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为________．25、正方形的边长为4, 为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD，求AC的长和cos∠ADC的值．27、如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，求的面积．28、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,CE=1,且AE：BC =5：13，求菱形ABCD 的周长.29、教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为.（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．30、如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点 A沿棱柱的表面到顶点C′处吃食物．那么它需要爬行的最短路程的长是多少？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、D4、C5、D6、B7、C8、D9、D10、D11、A12、D13、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、。
2020年苏科版初二数学上册第三章《勾股定理》单元测试题及答案
苏科版八年级数学上册第三章《勾股定理》单元测试卷一、选择题：1、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能判断2、一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为625B ．三角形的周长为84C ．斜边长为25D ．三角形的面积为1683、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤134、若直角三角形的两边长分别为a ，b ﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（ ）A. 5B. √7C. 4D. 5或√75、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．536B ．2512C ．49 D ．以上均不正确 6、如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A 、B 都是格点，则线段AB的长为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．257、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为 （ ）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米8、如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝3cm，BC＝4cm．现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．2cm B．2. 5cm C．3cm D．5cm9、如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A. 3 +2 D. 410、如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，两船相距（）A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里11、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．若线段AD的长为正整数，则点D共有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个12、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (n m <)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都为等腰三角形，则 （ ）A ．0222=++n mn mB ．0222=+-n mn mC ．0222=-+n mn mD ．0222=--n mn m二、填空题：13、已知在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=15，BC=20，则AB 的长等于________．14、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm ，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距 .15、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，则边AC 上的高是______________．16、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果(a-9)2+|b-15|+(12+c)2=0，那么△ABC （填是或不是）直角三角形17、如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移 .18、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，这里水深是 米。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理含答案(研优卷)
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、以下列哪组数为边，可以得到直角三角形的是（）A.9，16，25B.8，15，17C.6，8，14D.10，12，132、如图，在菱形中，是菱形的高，若对角线、的长分别是6、8，则的长是A. B. C. D.53、图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A. B. C. D.4、下列不能组成直角三角形三边长的是（）A.5，12，13B.6，8，10C.9，16，21D.8，15，175、如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A.－4和－3之间B.3和4之间C.－5和－4之间D.4和5之间6、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=10cm，c=8cm，则Rt△ABC的面积为( )A.9cm 2B.18cm 2C.24cm²D.36cm 27、下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )A.2，3，4B.5，3，4C.4，6，9D.5，11，138、下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（）A. ，，B. ，，C.D. ，，9、如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE= ，CE=1．则的长是（）A. B. C. D.10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（）A.2B.C.3D.11、如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（）A.800mB.1000mC.1200mD.1500m12、如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB，y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（）A.3B.3C.2D.213、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载，如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和14、如图，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于N，则线段的长为（）A. B.4 C.5 D.15、如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=5，则图中阴影部分的面积为（）A.6B.C.D.25二、填空题(共10题，共计30分)16、菱形ABCD的边长为4cm,∠A=120°，则菱形ABCD的面积为________.17、如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为________.18、如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是________．19、如图，正方形 ABCD 的边长为2，△ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为________.20、如图，将矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，已知，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD的面积为________．21、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为________22、如图，在中，，点D, E分别在上，且，将沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，如果，，那么CD的长为________．23、等边三角形的边长为2，则它的高是________，面积是________．24、如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。