江苏省淮阴中学2020年第一学期高二数学期中考试试卷

江苏省淮阴中学2020年第一学期高二数学期中考试试卷
命题：蒋行彪 审校：朱益明
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知函数yf(x)在0xx处的导数为'0f(x)，若0f(x)为函数f(x)的极大值，则必
有 （ C ）
A．'0f(x)0 B．'0f(x)0 C．'0f(x)0 D．'0f(x)0或'0f(x)0

2．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是 （ D ）
A．直方图的高表示取某数的频率
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值
D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
3．若样本123a,a,a的方差是2，则样本1232a3,2a3,2a3的标准差为（ C ）

A．2 B．4 C．22 D．8
4．函数1yxcosx,x[,]222的最大值为 （ A ）

A．4 B．3 C．32 D．2

5．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，至少有1名女
生当选的概率为 （ C ）
A．34 B．14 C．57 D．27
6．双曲线的渐近线方程为3yx4，则双曲线的离心率为 （ D ）
A．53 B．54 C．52或153 D．5534或
7．在等腰三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于
点M，则AM < AC的概率为 （ B ）

A．14 B．34 C．22 D．32

8．过双曲线22yx12的右焦点F作直线L交双曲线于A、B两点，若|AB| = 4，则这样
的直线有 （ C ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．国家机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现了30 min长的磁带上，从开始30s
处起，有10s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工
作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都
被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为（ D ）
A．1180 B．160 C．190 D．145

10．椭圆22xy1259上点P到右焦点距离为3.6，则点P到左准线距离为 （ B ）
A．4.5 B．8 C．4 D．12.5
11．抛物线2y4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为 （ B ）
A．1716 B．1516 C．78 D．0
12．已知命题P：若ab，则c>d，命题Q：若ef，则ab。若P为真且Q的否命
题为真，则“cd”是“ef的” （ A ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题（每题5分，共30分）
13．已知曲线C：32yx2xx3，则曲线C在点P（2，a）处的切线方程为
5xy110

14．函数2xyxe的单调增区间为 1(,)2

15．已知点A（1，2），F（2，0），点P为椭圆22xy11612上一点，则 |PA| + 2|PF| 的
最小值为 7

16．已知命题P：方程2xmx10有两个不等的负实根。命题Q：方程
2
4x4(m2)x+1=0

无实根。若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围

是 1m2m3或

17．已知12F,F为椭圆2222xy1(ab0)ab的两个焦点，过2F作椭圆的弦AB，若△
1

AFB

的周长为16，椭圆的离心率为3e2，则椭圆的方程为 22xy1164
18．已知抛物线2yax(a0)，焦点为F，过F作直线L交抛物线于A、B两点，则
11
AFBF

－4a

三、解答题（共70分）

19．（本题满分12分）
已知长、宽分别为16，10的矩形纸板，在其四个角处分别截去相同的小正方形做出一个
无盖的盒子，求盒子的最大容积。
解：设小正方形边长为x，则
32
V=(16-2x)10-2xx4x52x160x()=

'2
x(0,5),V12x104x160

令 212x104x1600 得 20x2x3或
而 20(0,5)3
又 'x(0,2)V0Q当时， V02在（，）上单调增
'
x(25)V<0Q当，时，
V2,5在（）上单调减

V当x＝2时，取最大值为144
答： 盒子的最大容积为 144 。
20．（本题满分14分）
一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为及格。
（1）现有某位考生会答8道题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50％，则他最多只会几道题？
解：（1）8道题中任抽2道题的方法有28种，其中两道题都在不会答的3道题中抽出的方
法有3种，故及格的概率为 32512828－＝ 。
（2）如果他会3道题，则两题都不会答的方法有10种，及格概率仍 > 50%，当他只会2
道题时，抽到2题都不会的方法数为15种。此时他及格的概率为1328 < 50%，即他最多会
2题。

21．（本题满分14分）
已知两定点A、B距离为6，动点M满足MBA2MAB，求动点M的轨迹方程。
解：直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则 A（－3，0），B（3，0），设M（x,y）
则tan,tan33MAyyMABKMBAxx

依题意得： 22331()3yyxyxx 化简得：
22
0,(33)3690yxxyx或

所以动点M的轨迹方程为220,(33)3690yxxyx或
22．（本题满分14分）
一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2xy40所得的弦长为35，求
抛物线的方程。
解：设抛物线方程为 22(0)ypxp
将直线方程24yx代入抛物线方程，并整理得：22(8)80xpx
设方程的两个根为 12,xx， 则根据韦达定理有12128,42pxxxx
由弦长公式得： 2221212(35)12[()4]xxxx
即：289()162p
2
16360218pppp得：或

故所求抛物线的方程 22436yxyx或

23．（本题满分16分）
椭圆222xy1(b0)4b的焦点在x轴上，其右顶点关于直线xy40的对称点在椭
圆的左准线上。
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于C点，设O为坐标原

点，且OAOC2OBuuuruuuruuur，求△OAB的面积。

解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），设（2，0）关于直线40xy的对称点为00(,)xy
则 0000024022412xyxyx解得：
所以 22244,1,3acbaccc则
213y2
x

所求椭圆方程为

4

（2） 设 11223(,),(,),(4,)AxyBxyCy

由 223412(1)xyykx得：2222(34)84120kxkxk

所以 21228(1)34kxxk 2122412(2)34kxxk
由 2OAOCOBuuuruuuruuur11322得：(x,y)+(-4,y)=2(x,y)2124(3)xx
由（1）（3）得：21222448,3434kxxkk，代入（2）得：
22
222
484412343434kkkkk




整理得：42450kk

2
12

517
,,424kxx故
由于对称性，只需求出 52kOAB时，的面积，此时123535,48yy
12195||||216OABSOFyy
