s第04章晶格振动2019
固体物理第四章总结1
第四章总结成员及分工1：一维晶格以及三维晶格的振动2：晶格热容的量子理论3：简谐近似和简谐坐标4：晶格的状态方程和热膨胀5：离子晶体的长波近似4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络二、重点1.格波的概念和“格波”解的物理意义(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。
相邻原子之间的位相差为aq 。
(3) q 的取值范围：－(π/a)<q ≤(π／a)这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。
q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。
(4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Naq ⨯=π22.一维单原子链的色散关系22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。
3.一维单原子链的运动方程相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dvF ad v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程11()(2)n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙+--=+-=4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解（1）运动方程( equation))2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙（2）方程的解(solution)])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ5.声学波与光学波的概念与物理意义（1）声学波与光学波的定义}]sin )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω }]sin )(41[1{2/1222aq M m mMmM M m +--+=-βω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ）（2）两种格波的振幅比aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛++aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--（3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω其中aq a22ππ≤〈-6.对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：0)0()(min ==--ωω Maβπωω2)2()(max ==-- m aβπωω2)2()(min ==++ mMM m )(2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。
03_04_三维晶格的振动
对三维晶格，第l个原胞中第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第k个原子运动方程
将 方 程 解 代 回 3n 个 运 动 方 程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 一维原子链位移方程的解 三维原子位移方程的解
03_04 三维晶格的振动 4.1 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子
原子的质量
晶体的原胞数目 --沿基矢方向的原胞数 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置
原胞中有n个原子
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原胞中各原子的位置 各原子偏离格点的位移 对一维原子链，有
d n m 2 ( n1 n 1 2n ), (n 1, 2, 3, N ) dt
简写成：
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
4.5 二维布里渊区 —— 正方格子的布里渊区 正方格子的基矢
倒格子原胞基矢
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
—— 第一布里渊区 大小
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量 守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
晶格振动
左 0 受拉力 左 0受推力
向左 F左 0
向右 F左 0
F 左 左
同理 F右 右
(3)n原子受合力
F合 F左 F右
F
左
左
F合 右 左
F右 右
右 un1 un
左 un un1
2
2
4.方程的解
令 un
dt
Ae
i t kxn
k
2
un un 1 un 1
(5) 原子间相对位移
右 xn1 u n1 xn un a u n1 u n 左 xn u n xn1 un1 a u n u n1
(6) 速度、加速度
dx v dt
d x a 2 dt
第二十六章
第一节
晶格振动
晶体的热学性质
晶格振动？粒子热振动(绕平衡位置)
第二节
一. 物理模型
1. 一维晶格
一维晶格振动
2. 一维无限长弹性振子链 最近邻作用
弹性作用
微振动
二 .原子振动的运动学描述
1. 类比谐振动
取坐标轴x (原点) 质点位置（位移） 受力分析
F kx
2
d x m 2 kx 0 dt x t A cos t
简谐振子模型
2. 原子振动的描述
(1) 一维坐标系 原点 (2)选第n个原子
平衡位置（坐标）
n:
n 1: n 1:
xn1 n 1a
xn na
xn1 n 1a
(3) 原子偏离平衡位置位移
(4) 瞬时位置 xn
固态电子-第四章节(1)资料
方程成立要求： eiNaq 1
所以
结论：满足波恩-卡曼边界条
件，要求q在第一布里渊区取分立
值，当h取N个不同整数时，对应
有N个不同的波矢q，所以晶格振
动包含N个不同的波矢状态。
图4.5
一维无限长原子链
五、色散关系
在晶格振动理论中，把ω与q的关系称为色散关系。
将第n-1、n和n+1原子的振动μn-1、μn、μn+1代 入运动方程中：
fn
m
d 2n
dt 2
(2n
n1 n1)
整理后得到：
m 2 (2 eiqa eiqa ) （4.1.10）
利用
cos 1 (ei ei )
2
整理后得到：
2
2
m
[1
cos(qa)]
4
m
sin
2
(
qa 2
)（4.1.11）
vp
q
波速和相速之间的关系可表示为：
sin qa
vp v0
2 qa
2
3.长波近似和短波近似
长波近似：当q→0，即波长λ>>a（λ→∞）时， 色散关系如图4.7中蓝线所示。在长波极限下一维单 原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色 散关系一致，因此在长波极限下，对于一维单原子 晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续 介质。
§4.1 一维单原子链的振动
一、晶格振动——格波
模型建立：一维单原子链含N个原子，每个原子都具 有相同的质量m，平衡时原子间距——晶格常数a。 研究思路：把原子的振动看作是简谐振动，先计算 原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出 原子的微分运动方程，最后求解方程。
晶格振动
二、波恩-奥本海默近似的物理基础与物理意义：
1、对近似条件的数学分析：
近似条件：
2 2 N (r , R) 2 (r , R) ( R)] 0 [ne ( R) R e Ri e Ri ne i 2 M i 1 2 就是要求： (r , R) 0 和 (r , R) 0 Ri e Ri e e (r , R) 是用来描写电子运动情况的波函数。 表示的是对原子核的坐标求导。 R i
2 2M
i 1
N
2 2 ( r , R) ( r , R) ( R) [ne ( R) R e e Ri ne i ( r , R) ( R)] 2 R e Ri ne i U nn ( R) e (r , R)ne ( R)
这个研究对象是一个 1024个/cm3 量级的非常复杂多体问题。 不做简化处理是根本不可能求解。 体系的定态薛定谔方程为：
ˆ (r , R)(r , R) E(r , R) H
这里已使用： 定义：
r {ri }U H e e en ee
ij
e Zi 1 e 1 Ri rj 8 0 i j ri rj 8 0 i j
2
2
e2 Zi Z j Ri R j
ˆ T ˆ T ˆ U U U H n e en ee nn
哈密顿量中有 5 部分组成，前两项为NZ电子和N个原子核 的的动能，第三项为电子与离子实之间的相互作用能。第四项是 电子之间的库仑相互作用能，第五项为N个原子核间的库仑相互 作用能。
晶格振动的研究始于对固体热容的研究：由杜隆-珀替定 律知道：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现。到20世 纪初Einstein 用量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低 而下降的现象（1905年），从而推动了固体原子振动的研究。
晶格振动知识点总结
晶格振动知识点总结一、晶格振动的基本概念晶体是由离子、原子或分子按一定的周期性排列而成的，因此在晶体中存在着晶格振动。
晶格振动是晶体结构中原子或离子在平衡位置附近作微小振动的一种运动形式。
晶格振动可以分为纵波和横波，纵波是振动方向与传播方向相同的波，而横波是振动方向与传播方向垂直的波。
晶格振动的频率与波数有关，它的频率与相邻的格点的质量和弹性常数有关。
二、晶格振动的特性1. 波数和频率关系对于有限晶格系统，其振动频率与波数之间存在一定的关系。
波数是振幅不同节点之间的间距，而频率是振动的快慢。
在晶体中，振动频率与波数之间存在的关系叫做色散关系。
晶格振动的色散关系可以通过简正坐标的福利叶动力学理论来描述。
2. 声子声子是描述晶体中原子或分子的振动状态的一种粒子状态，它是晶格振动的量子，可以理解为晶格振动的激发态。
声子的能量和动量取决于晶体的结构和材料的属性。
声子的性质对于理解固体材料的热力学性质和电子输运等具有重要意义。
3. 热容晶体的热容是指在单位温度变化下单位质量的物质所吸收或释放的热量。
热容受到晶格振动的影响，由于晶格振动的激发使得晶体中的振动能量增加，从而导致热容的增加。
晶格振动的频率和振幅都会影响晶体的热容。
三、晶格振动的热力学性质1. 声子态密度声子态密度是描述声子激发的集中程度的参数，它是声子频率与波数的函数。
声子态密度与物质的热容、传热系数、热导率等热力学性质有密切关系。
2. 热导率热导率是描述物质传热能力的物理量，它受到晶格振动的影响。
晶体中的声子态密度和振动频率都会影响热导率，声子散射和声子声波会对热导率产生影响。
3. 热膨胀系数热膨胀系数描述了物质在温度变化下的线膨胀率。
晶格振动会对物质的热膨胀系数产生一定的影响，特别在低温下，晶格振动会对热膨胀系数的温度依赖性产生较大的影响。
四、晶体中的声子散射声子与声子之间的相互作用会导致声子的散射，导致声子输运的阻尼。
声子之间的散射包括晶格常数的不均匀性引起的声子散射、声子与晶格缺陷相互作用引起的声子散射以及声子与声子之间的散射等。
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分布密度＝
1
b1 N1
b2 N2
b3 N3
N v0 (2 )3
V (2
)3
V 为晶体 的体积
从原子振动考查, q 的作用只在于确定不同原胞之间 振动位相的联系, 具体表现在格波解中的位相因子
ei R(l )q
如果 q 改变一个倒格子矢量 G n n 1 b 1 n 2 b 2 n 3 b 3 ,
由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2π)³, 因此不同 q 的总数应当是
(倒 格 子 原 胞 体 积 ） V /(2)3 N
和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个
声学波, (3n－3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是
N(33n3) 3nN
正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明, 上述的格波已概括了晶体的全部振动模
边界条件表示, 沿着 ai 方向, 原胞的标 数增加 Ni , 振动情况必须相同 (i=1,2,3)
边界条件要求
q N 1 a 1 h1 2 ,
x1
h1 N1
q N 2 a 2 h2 2 ,
x2
h2 N2
q N 3 a 3 h3 2 ,
q
指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面 波的形式, q 是其波数矢量
A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), …可以是复数, 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别
上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式
同样可证明, 代回运动方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , …, Anx , Any , Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动晶格振动是固体物理学中一个重要的研究课题，涉及到材料的结构、热力学性质以及电子传输等多个方面。
晶格振动指的是晶体中原子的振动行为，这种振动是由原子间的相互作用引起的，形成了固体的稳定结构。
晶格振动的研究与材料的热传导性能密切相关。
晶格结构中的原子通过弹性束缚力相互作用，形成了周期性的振动。
这些振动可以看作是一连串的微小位移，沿着晶格的方向传播。
振动的传播速度和强度影响了材料的导热性能。
热导率是材料导热性能的一个重要指标，与晶格振动密切相关。
因此，研究晶格振动对于理解热传导机制以及开发高效热电材料具有重要意义。
晶格振动还涉及到材料的光学性质。
尤其是在光电子学和半导体器件中，晶格振动的研究对于理解材料的光学响应和能带结构具有重要意义。
晶格振动可以通过散射实验来研究，如X射线散射和中子散射等技术。
借助于这些实验手段，研究人员可以探测晶格振动的频率、强度以及耦合效应。
晶格振动的理论基础是固体物理学中的晶格动力学理论。
根据这个理论，晶格振动可以视为离散的荷质点在周期势场中的运动。
通过数学方法可以得到晶格振动的频率和振动模式等信息。
晶格动力学理论也可以用来解释晶格振动的热力学性质，如热容和热膨胀等。
从实际研究的角度来看，现代固体物理学中涌现了许多晶格振动的相关研究领域。
一个重要的研究方向是声子学，它研究的是固体中的声子，即晶格振动的量子态。
声子学的实验技术既包括晶格振动的散射实验，也包括通过激光和超导器件等手段产生和探测声子的方法。
另一个研究领域是热声学，它研究的是晶格振动和热传导之间的相互作用。
热声学研究的对象是晶体中热激励所引起的声学振动，从而揭示了热力学和声学性质之间的联系。
此外，也有一些新颖的研究方向在固体的晶格振动领域获得了突破性的进展。
例如，超导态材料中的相场调控、拓扑绝缘体中的表面声子等。
这些研究不仅提供了新的理论认识，也为应用领域的发展提供了基础。
总的来说，固体物理学中的晶格振动是一个广泛而具有深度的研究领域。
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A、B有非零解的条件 是上面方程组的系数 行列式等于零：
M12 2 2 cosqa
2
2 cosqa
2 0
M22 2
2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 2 M 2 2 2 M 1 M 2 c q o a s
2、色散关系
max
2
光学波
min
2 M2
2 a a
max
称为原子间恢复力常数
在简谐近似下相邻两个原子间的作用力： fd d (un 1un) →弹性力
一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接 起来的一串质量为m的球
第n个原子受到的作用力为：
f p(unpun)
p
p1， 2， 3，
2、一维单原子链的运动方程
f p(xnpxn)
p
只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力：
xn
q 2a
q 5 2a
为了保证xn的单
值性，把q限制
在
q
a
a
4a 格波q的不唯一性的图示
6、周期性边界条件
波恩－卡门边界条件：将许多完全相同的原子链首 尾连接成无穷长链，从而第N+1个原子就是第1个原 子，第N＋2个原子就是第2个原子……
un uNn
A i(qe n t)a A i(q (N e n )a t)
平衡时原子位于Bravais格点上
原子围绕平衡位置作微振动 un a
此时，两原子间的相互作用势能可表示为：
(x ) a a d d x a 1 2 d d 2 x 2 a2
简谐近似：原子间的相互 作用势能只考虑到平方项
(x)a12
2
d 2 ( dx2 )a
第四章 晶格振动和晶体热学性质
晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动 如何处理晶体中原子的振动？
晶格动力学（经典理论）：原子的振动以 波的形式（称为格波）在晶体中传播 ➢ 有多少个基本的振动频率（模式数量）、 波动的频率和波数的关系（色散关系）
晶格振动的量子理论：原子振动的粒子形 式（声子）
应用：晶体的热容量
4.1 一维单原子链的振动
原子链共有N个原胞，每个原胞只有一个原子,每个
原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常
数a,原子沿链方向运动,第n个原子离开平衡位置的
位移用un表示,第n个原子和第n+1个原子间的相对位
移为 unun1Байду номын сангаас
a
一维单原子链
原子振动时，相邻两个原子之间的间距 xa
1、基本假设
波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：
un qAn q ei(q n aqt)
所有格波在第n个原子处产生的总位移量：
un
Aei(qnaqt) nq
q
4.2 一维双原子链的振动
晶格常数a ，共有N个原胞，每个原胞有两个原子， 质量分别为M1、M2，交替放置形成一维周期结构。 链上的原子由其所属的原胞数n及在基元中的序号 p＝1，2来标记。
2un,1)
M2
d2un,2 dt2
(un1,1 un,1 2un,2)
共有2N个
设方程组有如下的格波解：
un,1Aiqe n ta
u Be n,2
i q(n1 2)a t
不同类原子的振幅不同，但以相同的频率振动
把试探解带入运动方程，有：
2M1co2sq22aAAM22c2 o2sq2aBB00
q 2 Na
一个布里渊区包含的波矢数目 2 q N
a
即对于一维单原子链，晶格振动波矢的数目等于 晶体的原胞数
7、一维单原子链色散关系的特点
4 sinq(a)
m2
max 2
m
q
2 a a
0
a
2 a
ω是q的周期函数：
(q2h)(q)
a
(q)(q)
q 0 时，0 （具有该特点的格波称为声学波）
2 M1
声学波
0
a
2 a
q
每个波矢对应两个不同的频率，当q变化时，给出两条色 散关系，称为两支，频率低的一支（取负号）称为称为声 学波，频率高的一支（取正号）称为光学波。
4 sinq(a) un(t)Aeiteiqna
m2
振动频率与n无关，色散关系对所有原子都相同
原子的振动以波的形式在晶体中传播，这种波称为 格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共 同振动。在简谐近似下，格波为平面波。
5、波矢q的取值范围
波矢q和
q'q 2
a
h
描述同样的振动状态：
u 'nAi[q (e 2 a h )n at]Ai(qe n ta ) u n
u0 (t) : t时刻原点处原子相对于平衡点的偏移
特解具有波动形式（用波矢为q、频率为ω的简谐 波来描述原子离开平衡位置的振动）
q：波矢,大小等于 2 ，方向为波传播的方向
qna：第n个原子相对于参考点的位相差 qa：相邻原子的位相差
4、一维单原子链的色散关系
ω和q之间的关系称为色散关系 为了确定色散关系，把试探解带入运动方程得：
8、格波的波速和群速
波速（相速度） q
群速 d dq
布里渊区的中心附近，
(q) a
q
m
波速
l a
m
为常数，此时格波为弹性波
根据弹性波的理论 l
E
Ea
在布里渊区的边界上，一维单原子链格波的群
速度为零：
g(qa)0
波是一个驻波。
一个格波表示整个晶体所有原子都参与的振动，体系 所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。
eiqNa 1
q 2 h
Na
式中h为整数，q取分立值
把波矢q表示为倒空间中的一个矢量：qh b
N
b
2
i
a
波矢的取值范围为 ( ~ )
aa
而 ( ~ ) 为一维晶格的第一布里渊区
aa
独立波矢的取值范围在第一布里渊区 相差一个或几个倒格矢的波矢描述同样的振动状态
在FBZ，q取分立值，相邻两个波矢的间隔
u n 1 u n u n 1 x n u n 1 u n 1 2 u n
第n个原子的运动方程为 mdd2u2n t un1un12un
运动方程为二阶常微分方程
对于N个原子有N个完全类似的运动方程
3、运动方程的解
设方程的特解为：
un(t)u0(t)eiqn A a i e teiqna
M1 M2 n1, 1 n1, 2 n ,1
a
a
2
n,2
n1, 1 n1, 2
一维双原子链的结构
如图所示，设A、B两种原子组成一无限的 一维周期晶体，画出其晶格的原胞。
cd
AB
acd
a
基元
1、运动方程和格波解
仍然采用简谐近似和最近邻近似，原子的运动方程
为：
M1
d2un,1 dt2
(un,2
un1,2