2018高三数学全国二模汇编(理科)专题07圆锥曲线

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、单选题1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知F是抛物线2x4y=的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为() 0,1-，则PFPA的最小值是（）A.14 B. 12C. 22D. 3【答案】C设切点()2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a⋅==. ∴1a =，则()2,1P . ∴2PM =， 22PA =∴2sin 2PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 52 【答案】A【点睛】当抛物线方程为22(p>0)y px =，，过焦点的直线l 与抛物线交于,P Q ，则有112F PF Q P+=，抛物线的极坐标方程为1cos p ρθ=-，所以1PF ρ== 1cos pθ-，()21cos 1cos p p QF ρθπθ===-++，所以112F PF Q P+=，即证。

4．【2018陕西咸阳高三二模】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则它的离心率为（ ） A.5 B.52C. 3D.32【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为： b y x a =±，其斜率为： b a±，其中一条渐近线与直线210x y -+=平行，则：2ba=， 则双曲线的离心率： 21145b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．【2018湖南衡阳高三二模】已知双曲线的两个焦点为()()12100100F F M -，、，，是此双曲线上的一点，且满足12120,2MF MF MF MF ==，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A. 3B. 13C. 12D. 1 【答案】D6．【2018陕西高三二模】已知点12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P 点的横坐标043x a =时，有12F P F P ⊥，则该双曲线的离心率e 为( ) A.322 B. 32 C. 2 D. 92【答案】A7．【2018陕西高三二模】已知22C :4630x y x y +---=,点()M 2,0-是C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )A. 20724140x x y +=+=，－B. 20724140y x y +=++=，C. 20724140x x y +=++=，D. 20724140y x y +=+=，－ 【答案】C【解析】22C :4630x y x y +---=，即（222316x y -+-=）（）， 故圆心是23（，），半径是4，点 点 ()M 2,0-是C 外一点，显然20x += 是过点M 的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P a b （，），则MP 的斜率是2ba +，直线MP 的方程是： 220bx a yb -++=（），故()22232242{ 3122b a bb a b ba a -++++-⋅--+＝，＝解得： 26{? ,7a b -＝＝ 故切线方程是724140x y ++=，故选C ．【点睛】本题考查了圆的切线方程问题，考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离，解题时应注意切线斜率不存在的情况.8．【2018河南商丘高三二模】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线的右支上存在点，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．【2018四川德阳高三二诊】如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】设，则由过抛物线的焦点的直线的性质可得又，可得分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，则同理可得，故选B.10．【2018河南商丘高三二模】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相切，记到直线的距离分别为，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B11．【2018四川德阳高三二诊】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）A. 3B. 1C.D. 2【答案】D【解析】双曲线的离心率为，则故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D ．12．【2018重庆高三4月二诊】已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左右焦点分别为1F ， 2F ，点P 在双曲线的左支上， 2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A.2 B. 2 C. 5 D. 7【答案】D点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．13．【2018甘肃兰州高三二模】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点， ,PA l A ⊥为垂足，若直线AF 的斜率3k =-，则线段PF 的长为 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C14．【2018安徽马鞍山高三二模】已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】设,由题得，所以，故选C.点睛：本题的难点在于计算出要观察变形,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.15．【2018安徽马鞍山高三二模】如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C16．【2018广东茂名高三二模】以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可得，，∴，即，∴故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17．【2018河北唐山高三二模】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF ∆为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = （ ） A.22B. 21-C. 51-D.12【答案】B18．【2018河北邯郸高三一模】设双曲线Ω： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与右焦点分别为A ， F ，以线段AF 为底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF =.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（ ） A. 存在唯一的e ，且3,22e ⎛⎫∈⎪⎝⎭B. 存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭内 C. 存在唯一的e ，且31,2e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D. 存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个在区间52,2⎛⎫⎪⎝⎭内 【答案】A【解析】由题意可设()(),0,,0,,2c a A a F c B c a -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，可得AFB ∆的垂心H ,24c a c a -+⎛⎫⎪⎝⎭，因为AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，所以()()32=4110c a b f e e e c a a+∴=---=- ()()()()23310,0,201211022f f f x f x x ⎛⎫=--> ⎪⎭'⎝；时，所以存在唯一的e ，且3,22e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当312x <<时()0f x <无零点，选A. 点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． (2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．19．【2018安徽合肥高三质检二】已知双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点分别为1F ， 2F ， A ， B 是双曲线C 上的两点，且113AF F B =， 23cos 5AF B ∠=，则该双曲线的离心率为（ ） A.10 B.102 C. 52D. 5【答案】B【解析】如图，设A ， B 是双曲线C 左支上的两点，点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．20．【2018湖南郴州高三二模】如图， F 是抛物线2:2C y px = (0p >)的焦点，直线l 过点F 且与抛物线及其准线交于A , B , C 三点，若3BC BF =,9AB =，则抛物线C 的标准方程是（ ）A. 22y x = B. 24y x = C. 28y x = D. 216y x =【答案】C【解析】分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF|=a ，则|BC|=3a ，|BD|=a ， ∴DB1BC 3=， 在直角三角形ACE 中，∵|AB|=9，|AC|=9+3a ， ∴3|AE|=|AC|，∴()39a -=9+3a ，即a=3， ∵BD ∥FG ，∴DB BC FGFC=，即3912p =，解得p=4， ∴抛物线的方程为y 2=8x ． 故选：C ． 二、填空题21．【2018黑龙江大庆高三质检二】已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则__________．【答案】.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．22．【2018河南郑州高三二模】已知椭圆()2222r:10x ya ba b+=>>的右焦点为()1,0F,且离心率为12，ABC 的三个顶点都在椭圆r上，设ABC三条边AB BC AC、、的中点分别为D E M、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k、、，且123k k k、、均不为0.O为坐标原点，若直线OD OE OM、、的斜率之和为 1.则123111k k k++=__________．【答案】43-【点睛】点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。