二分法及迭代法求解非线性方程根
非线性方程求根
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
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y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
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Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
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Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
非线性方程求解方法的研究与比较分析
非线性方程求解方法的研究与比较分析非线性方程是数学中一类重要的方程，它们的求解对很多实际问题具有重要的意义。
然而，非线性方程由于其非线性特性，使得其求解更加困难和复杂。
本文旨在研究和比较非线性方程的求解方法，通过对不同求解方法的分析和比较，来评估它们的优缺点和适用范围。
首先，我们介绍一些常用的非线性方程求解方法。
目前常用的求解方法主要包括迭代法、牛顿法、二分法等。
迭代法是一种比较简单的求解非线性方程的方法。
其基本思想是通过不断迭代逼近方程的解。
具体的迭代公式可以选择不同的形式，如固定点迭代法、牛顿迭代法等。
迭代法的优点是简单易懂，但是其收敛速度较慢，而且在某些情况下可能无法收敛到解。
牛顿法是一种较为常用的非线性方程求解方法。
它利用函数的一阶导数和二阶导数信息，通过不断的迭代逼近方程的解。
牛顿法的优点是收敛速度快，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。
二分法是一种比较简单但是有效的非线性方程求解方法。
其基本思想是通过不断地缩小解的搜索范围，直到找到满足方程的解。
二分法的优点是简单易懂，而且收敛性和精度较好，但是其收敛速度相对较慢。
在对以上几种方法进行比较分析之前，我们需要明确一些评价指标。
首先是收敛性，即方法是否能够收敛到解。
其次是收敛速度，即方法迭代到解所需的时间。
还有精度，即方法得到的解与真实解之间的误差。
最后是稳定性，即方法对初始值的选择是否敏感。
通过对以上几种方法的比较分析，我们可以得出以下结论：首先，迭代法是一种简单但是不稳定的求解方法。
其收敛性和精度较差，而且对初始值的选择较为敏感。
因此，在实际应用中，迭代法通常只适用于简单的非线性方程求解。
其次，牛顿法是一种较为常用的求解方法。
它具有收敛速度快、精度高的优点，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。
此外，牛顿法对函数的一阶导数和二阶导数的计算要求较高，所以在某些情况下可能不适用。
最后，二分法是一种简单而有效的求解方法。
它具有收敛性好、精度高的优点，但是其收敛速度相对较慢。
计算方法—非线性方程求解
计算方法—非线性方程求解计算方法是数学中的一个重要分支，它研究如何利用计算机和数值方法解决各种数学问题。
在实际应用中，非线性方程是一个常见的问题。
非线性方程是指其表达式中包含一个或多个非线性项的方程。
与线性方程相比，非线性方程更加复杂，通常不能通过代数方法直接求解。
因此，我们需要借助计算方法来求解非线性方程。
常见的非线性方程求解方法包括迭代法、牛顿法和二分法等。
首先，迭代法是一种基本的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
迭代法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用迭代公式x_{n+1}=g(x_n)，计算下一个值x_{n+1}；3.不断重复步骤2，直到计算出满足精度要求的解为止。
其中，g(x)是一个逼近函数，通常是通过原方程进行变形得到的。
在实际应用中，迭代法的关键是选择适当的初始值x0和逼近函数g(x)。
如果选取的初始值离方程的根较远，可能会导致迭代结果不收敛；如果逼近函数不恰当，迭代结果也可能不收敛。
因此，在使用迭代法时需要注意这些问题。
其次，牛顿法是一种较为高效的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过线性近似来逼近方程的根。
牛顿法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用泰勒展开将原方程线性化，得到一个线性方程；3.解线性方程，计算下一个值x_{n+1}；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
在实际应用中，牛顿法的关键是计算线性方程的解。
通常可以通过直接求解或迭代方法求解线性方程。
此外，牛顿法还需要注意选择适当的初始值x0，特别是对于多根方程需要选择不同的初始值。
最后，二分法是一种简单但较为稳定的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过区间缩减来逼近方程的根。
二分法的一般步骤如下：1.选取一个包含根的初始区间[a,b]；2.计算区间的中点c=(a+b)/2；3.判断中点c的函数值与0的关系，从而确定下一个区间；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
求解非线性方程和方程组的一些新方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6function y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4tol =1.0e-5;endn =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0c =(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)a = c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b = c;c =(a+b)/2;elsey = c;tol =100;endn = n +1;endy = c;elseif feval(fun,a)==0y = a;elseif feval(fun,b)==0y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');endnfunction y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;function y =dfun(x)y =3* x^2-5;下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
用Matlab编写二分法和Newton迭代法求解非线性函数
⽤Matlab编写⼆分法和Newton迭代法求解⾮线性函数1、⼆分法原理：若f的值在C[a, b]中，且f (a) · f (b) < 0，则f在 (a, b) 上必有⼀根。
实现算法流程：2、Newton迭代法迭代公式：⼏何意义：3、求解问题⽤Newton法和⼆分法求的解。
4、代码实现1 clear;close;clc2 a=0;b=1;%根区间3 e=10^(-6);%根的容许误差4 [X , N]=dichotomy(e,a,b);%⼆分法5 p0=0.5;%初始值6 N=15;%迭代次数7 [X1]=Newdon(p0,e,N);%Newton迭代法89 function [X , N]=dichotomy(deta,a,b)10 % 函数dichotomy:⼆分法11 %输⼊值：12 %fun:⽅程函数13 %deta:根的容许误差14 %有根区间：[a,b]15 %输出值16 %X:求解到的⽅程的根17 %N:总的迭代次数18 N=1+fix(log2((b-a)/deta));%由公式7.2求得,取整数|X_N-X*|<=(b-a)/2^N<deta,求N19 n=1;20 f1=myfunction(a);21 f2=myfunction(b);22if (f1*f2>0)23 disp('根不在输⼊的区间⾥，请重新输⼊区间');24else25while n <= N26 x=(a+b)/2;27if myfunction(a)*myfunction(x)>028 a=x;29else30 b=x;31 end32 n=n+1;33 end34 X=x;35 fprintf('第%d次⼆分法求出的⽅程的根:\n',N);36 fprintf('X=\n');37 disp(X);38 end39 end4041 function [P]=Newdon(p0,TOL,N)42 %求⽅程组的解43 %输⼊参数44 %初始值：p045 %误差容限:TOL46 %最⼤迭代次数:N47 %输出参数：48 %⽅程近似解：p49 %或失败信息“Method failed”50 format long;51 n=1;%初始迭代次数52 syms x;53while n<=N54if abs(subs(diff(myfunction(x)),x,p0))<TOL55 P=p0;56break;57else58if subs(diff(myfunction(x),2),x,p0)==059 disp('Method failed');60break;61else62 p=p0-myfunction(p0)/subs(diff(myfunction(x)),x,p0);63 p=eval(p);%将exp的值转为⼩数值64if(abs(p-p0)<TOL)65 P=p;66break;67else68 p0=p;69 end70 end71 end72 n=n+1;73 end74 % P=vpa(P,10);%将分数转为⼩数并保留8位⼩数75 fprintf('第%d次NeWton迭代法求出的⽅程的根:\n',N);76 fprintf('P=\n');77 disp(P);78 end7980 function f=myfunction(x)81 f=x*exp(x)-1;82 end5、求解结果。
非线性方程组求解
非线性方程组求解非线性方程组在科学、经济等领域中应用广泛，然而，由于非线性方程组的求解困难性，这使得许多问题存在困扰。
非线性方程组求解是一个复杂的过程，在此过程中需要对多种数学技术和算法有深入的了解。
本文就非线性方程组求解这个话题进行了探讨。
一、非线性方程组的定义非线性方程组是指一组包含至少一个非线性方程的方程组。
非线性方程组是一种数据的数学模型，它描述了在特定条件下各个因素之间的相互依赖关系。
非线性方程组的解通常用来预测一个系统的行为，并且是许多数学和科学领域的重要工具。
二、非线性方程组求解的困难性非线性方程组求解的困难性是因为它们存在着多个未知数和多个方程之间的相互依赖关系。
这使得非线性方程组的求解无法通过简单的代数运算来获得，而且通常需要更高级的数学知识和算法。
在许多情况下，非线性方程组可能无法解析地求解，这时需要采用数值方法来求解。
三、非线性方程组求解的方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是最常用的求解非线性方程组的方法之一。
它将非线性方程组看作一组关于未知量的函数，并利用泰勒公式将其逼近为线性表达式。
由于直接求解非线性方程组比较难，牛顿迭代法通常将其转化为求解一系列线性方程组的问题。
2. 非线性迭代法非线性迭代法是一种通过递推计算的方式求解非线性方程组的方法。
具体地说，非线性迭代法会将非线性方程组转化为一组迭代公式，然后通过不断迭代来逼近方程组的解。
3. 二分法二分法是一种通过对非线性方程组的解进行区间逼近来求解的方法。
二分法的基本思路是通过每次将原来的区间对半分来寻找解所在的范围。
四、结语非线性方程组求解是一个重要的数学问题，应用广泛且具有挑战性。
本文主要介绍了三种很常用的求解方法，即牛顿迭代法、非线性迭代法和二分法。
在实际运用中，这些方法可以单独或者联合使用，以求得更准确的解。
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二分法及迭代法求解非线性方程根
班级：姓名：方学号：日期：
一、实验目的
1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；
2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问
题及其加速方法；
二、基本理论及背景
1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。
这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。
因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。
2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =
f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－
f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值；
3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：
求方程○1的根，精度至少达到10-6；
比较迭代下列迭代法求解○1中方程根的收敛性：
○2,；
用牛顿法设计迭代函数求解○1中方程的根（精度至少达到10-6），并与○2中收敛的迭代法比较收敛的速度。
三、算法设计及实现
1、设计：方程○1function f=fun1(x)
f=exp(x)-x-3;；
○2function y=Exp2(x)
y=exp(x)-3;
function y=Exp3(x)
y=log(x+3);
牛顿迭代：
function df=Exp4(x)
df=exp(x)-1。
四、实验步骤
1、○1打开matlab软件，新建ErFen_Root.m文件,在窗口中编辑二分法数值积分函数程序代码,并保存在指定的文件夹下,在Current Directory窗口右边点击《Browse For Folder》按钮指向ErFen_Root.m文件；
○2在Command Window中编辑相应要计算的题目的数值函数及相应的题目的表达式。
2、输出结果和初步分析说明（见附件一）。
五、使用说明实验结果分析
1、在Command Window窗口中编辑要调用的函数名与指定的函数名字不同导致出现错误，通过改正与函数名相同即可；在调用函数时要用单引号引用。
六、算法的改进和实验总结
在用二分法迭代求解的过程中，被调用的函数需要清楚的描述所要执行的问题的求解过程，在matlab函数调用时，执行函数一定要与函数同名。
七、源程序（见附件二）
附件一：
>> [val,n]=ErFen_Root('fun1',[0 3],1e-6)
0 1.5000 3.0000 -2.0000 -0.0183 14.0855
1.5000
2.2500
3.0000 -0.0183
4.2377 14.0855
1.5000 1.8750
2.2500 -0.0183 1.6458 4.2377
1.5000 1.6875 1.8750 -0.0183 0.7184 1.6458
1.5000 1.5938 1.6875 -0.0183 0.3284 0.7184
1.5000 1.5469 1.5938 -0.0183 0.1499 0.3284
1.5000 1.5234 1.5469 -0.0183 0.0645 0.1499
1.5000 1.5117 1.5234 -0.0183 0.0228 0.0645
1.5000 1.5059 1.5117 -0.0183 0.0022 0.0228
1.5000 1.5029 1.5059 -0.0183 -0.0081 0.0022
1.5029 1.5044 1.5059 -0.0081 -0.0030 0.0022
1.5044 1.5051 1.5059 -0.0030 -0.0004 0.0022
1.5051 1.5055 1.5059 -0.0004 0.0009 0.0022
1.5051 1.5053 1.5055 -0.0004 0.0002 0.0009
1.5051 1.5052 1.5053 -0.0004 -0.0001 0.0002
1.5052 1.5053 1.5053 -0.0001 0.0001 0.0002
1.5052 1.5052 1.5053 -0.0001 -0.0000 0.0001
1.5052 1.5053 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0001
1.5052 1.5052 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0000
1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000
1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000
1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000
1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000
1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000
val =
1.5052
n =
24
>> val=DieDai('Exp2',1,1e-6)
跌代次数8
val =
-2.9475
>> val=DieDai('Exp3',1,1e-6)
跌代次数10
val =
1.5052
>> val=DieDai('Exp4',1,1e-6)
跌代次数
6
val =
Inf
>> NewtonDieDai('fun1','Exp4',1,1e-6) x1 =
1.5377
n =
2
x1 =
1.5059
n =
3
x1 =
1.5052
n =
4
x1 =
1.5052
n =
5
跌代次数
5
ans =
1.5052
>>
function [val,n]=ErFen_Root(f,x,dalt)
% [val,n]=ErFen_root(f,x,dalt)
% f 要求根函数名
% x 初试有根区间
% dalt 精度,默认为10-5
% val 返回所得根
% n 跌代次数
if nargin<3
dalt=1e-5;
end
ab=x;i=0;x0=sum(ab)/2;
fa=feval(f,ab(1));
fb=feval(f,ab(2));
fx0=feval(f,x0);
while abs(fa-fb)>=dalt
i=1+i;
disp([ab(1) x0 ab(2) fa fx0 fb ]);% 显示跌代过程 if fx0*fa<0
ab(2)=x0;
fb=fx0;
else
ab(1)=x0;
fa=fx0;
end
x0=sum(ab)/2;
fx0=feval(f,x0);
if (ab(2)-ab(1))<2*eps
disp('May not be root!');
break;
end
end
val=x0;
if nargout==2
n=i;
end
function val=DieDai(f,x0,delta) %用
if nargin<3
delta=1e-7;
end
n=1;
x1=feval(f,x0);
while abs(x1-x0)>delta
x0=x1;
x1=feval(f,x0);
n=n+1;
if n>100
exit('跌代出问题');
end
end
val=x1;
disp(['跌代次数']);%显示跌代次数disp(n);。