大学物理学之 机械能守恒

= F cos θ ds = Fτ ds dv = m ds = mvdv dt
质点由A 质点由A到B这一过程中，力作总功为： 这一过程中，力作总功为：
A
m
dr
θ
F
A = ∫ dA = ∫
A
B
v2
v1
1 2 1 2 mvdv = mv2 − mv1 2 2
6
B
1 2 Ek = mv 定义为质点的动能。 定义为质点的动能。 2
A = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( F1 ⋅ dr + F2 ⋅ dr + ...) = A1 + A2 + ...
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 功率： （3） 功率：
dA dr P= = F cos θ = F cos θ ⋅ v = F ⋅ v dt dt
炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度u；爆炸后， 解：炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度 ；爆炸后， M1和M2分别具有水平速度 v1、v2。由动能定理可得
1 1 1 2 2 M1v1 + M2v2 = ( M1 + M2 ) u2 + E 2 2 2
由动量守恒（ 方向） 由动量守恒（x方向）可得
①
M1v1 + M2v2 = ( M1 + M2 ) u
单位:焦耳/ 瓦特) 单位:焦耳/秒(瓦特)
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例题5.1 物体由静止出发作直线运动，质量为m， 例题 、物体由静止出发作直线运动，质量为 ，受力 bt，b为常量，求在T秒内，此力所作的功。 为常量，求在T秒内，此力所作的功。 为常量
5
二、质点动能定理 力对物体作功，物体的运动状态要发生变化， 力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它 运动状态要发生变化 们之间的关系如何呢？ 们之间的关系如何呢？ 元功: dA = F ⋅ dr
o
b
x
方法二： 方法二：利用牛顿定律
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例题5.3 假定地球的密度是均匀的， 例题5.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直 径钻一个洞，质点从很高的位置h落入洞中 落入洞中， 径钻一个洞，质点从很高的位置 落入洞中， 求质点通过地心的速度。 求质点通过地心的速度。
矢径方向如图所示， 解：矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为v 。 地心的速度为 0。 由动能定理： 由动能定理：
§⒈功 §⒈功 动能定律
一、变力的功 定义： 定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分
量与位移大小的乘积。 量与位移大小的乘积。 元功： 元功：
dA = F cos θ ⋅ dr = F ⋅ dr
dr
A
θ
B
B
F
A = ∫ F ⋅ dr
A
功是力对空间的累积作用，它的重要意义在于功能决定能量 功是力对空间的累积作用，它的重要意义在于功能决定能量 的变化。 的变化。
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几点说明： 几点说明：
（1）质点系所受的力分外力和内力，则 质点系所受的力分外力和内力，
∑A =∑A
i =1 i i =1
n
n
i外
+ ∑ Ai内 = Aex + Ain
i =1
n
∴
（2）
Aex + Ain = ∑ Eki − ∑ Eki 0
+ ∑A内是每个质点所受外力（内力）作功 i 是每个质点所受外力（内力）
A = Ek 2 − Ek1
动能的增量。 动能的增量。 合外力对质点所作的功， 质点动能定理：合外力对质点所作的功，等于质点
几点说明： 几点说明：
为合外力的功； （1）对质点而言，A为合外力的功； 对质点而言， 为合外力的功 （2）功与动能之间的区别和联系： 功与动能之间的区别和联系： 区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量， 区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，动 能决定于质点的运动状态，动能是状态量。 能决定于质点的运动状态，动能是状态量。 联系：外力的功是动能变化的量度。 联系：外力的功是动能变化的量度。 具有相对不变性; （3）功和动能具有相对性，但A=⊿Ek具有相对不变性; 功和动能具有相对性， （4）动能定理同样仅适用于惯性系。 动能定理同样仅适用于惯性系。 动能定理提供了一种计算功的简便方法。 动能定理提供了一种计算功的简便方法。
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例题5.4、在光滑的水平面上， 例题 、在光滑的水平面上，有一质量为 m 的静止 b 物体B， 上又有一质量为 a的静止物体A， 受冲 物体 ，在B上又有一质量为m 的静止物体 ，A受冲 击，以 va 相对于水平面〕向右运动，A和B之间的摩 （相对于水平面〕向右运动， 和 之间的摩 逐渐带动B一起运动 擦系数为 µ ，A逐渐带动 一起运动，问A从开始运动 逐渐带动 一起运动， 从开始运动 到相对于B静止时 静止时， 上运动多远？ 到相对于 静止时，在B上运动多远？ 上运动多远
组成的系统， 解：取A和B组成的系统，根据动量守恒 和 组成的系统 ma va = (ma + mb )v 内力做功不为零， 内力做功不为零，由系统的动能定理
A
va
B
动量守恒与动能定理
Aex + Ain = ∆Ek
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例题5.5 如图，质量为 的卡车载一质量为 的木箱， 如图，质量为M的卡车载一质量为 的木箱， 的卡车载一质量为m的木箱 例题 以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮 以速率 沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车， 沿平直路面行驶 立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止， 立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在 卡车上相对于卡车滑行了l 距离,卡车滑行了 距离。 卡车滑行了L距离 卡车上相对于卡车滑行了 距离 卡车滑行了 距离。 求L和l。已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 1， 和 。已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为µ 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为µ 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为 2
1
f
F mg Mg
N′
f′
mg
⑴卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明一对内力 卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值， 之功并不一定等值反号； 之功并不一定等值反号； 滑动摩擦力做正功或负功， ⑵滑动摩擦力做正功或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参 考受力点位移的基础上作具体分析。 考受力点位移的基础上作具体分析。但一对滑动摩擦力所做功 14 的代数和却总是负的。 的代数和却总是负的。
N
l
N′
f
F L mg Mg mg
13
f′
N
解：法一（用质点动能定理求解） 法一（用质点动能定理求解）
卡车和木箱受力如图。 卡车和木箱受力如图。只有二者间摩擦力 f、f ’和地面对车的摩擦力 做功，三力 和地面对车的摩擦力F做功 和地面对车的摩擦力 做功， 之受力质点位移各为L 之受力质点位移各为 、L+l、L 。 法二（用质点系动能定理求解） 法二（用质点系动能定理求解） 视卡车与木箱为一质点系。外力F做 视卡车与木箱为一质点系。外力 做 功 −µ2 ( M + m) gL ，内力做功等于力 与相对位移的标积， 与相对位移的标积，即 −µ mgl
两点注意： 两点注意：
例题5.6 例题 、 一炮弹的质量为（M1+M2），射出时的水 平和竖直分速度分别为u和 ，当炮弹到达最高点时， 平和竖直分速度分别为 和v，当炮弹到达最高点时， 其内部的炸药产生能量E，使炸药分成M 其内部的炸药产生能量 ，使炸药分成 1及M2两部 开始时两者仍沿原方向前进， 分。开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落地时 相隔的距离? 相隔的距离
R O
h
m
r
0 R 0 1 2 mv0 − 0 = ∫ f ⋅ dr = ∫ f ex ⋅ dr + ∫ f in ⋅ dr R+h R+h R 2
= −∫
R
R+h
f ex dr − ∫ f in dr
R
9
0
三、质点系动能定理
设一个系统内有n个质点，作用于第 个质点的力所作的 设一个系统内有 个质点，作用于第i个质点的力所作的 个质点 功分别为A 功分别为 i，由质点动能定理
②
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§2、保守力做功与势能 、
一、几种常见的力作功 1、重力作功
y
y
a
a
P
dr
b
A = ∫ G ⋅ dr = ∫ ( − mgj ) ⋅ ( dxi + dyj ) =∫
yb ya
G = −mgj
y
b
x
( −mg ) dy
A = mgya − mgyb
重力作功只与质点的初终两处的高度差有关， 重力作功只与质点的初终两处的高度差有关，而与所经过 的路径无关。下降运动，重力做正功；反之做负功。 的路径无关。下降运动，重力做正功；反之做负功。 16
单位: 焦耳 焦耳(J)=1牛顿（ ） 单位:1焦耳 1牛顿（N）.米（m） ）
3
几点说明： 几点说明：
（1）功是标量，没有方向，但有正负； 功是标量，没有方向，但有正负； （2）几个力同时作用在物体上时，所作的功： 几个力同时作用在物体上时，所作的功：
F = F1 + F2 + ... + Fi + ...
i= 1 n
∑A
i= 1
n
i
i
i外
之和，而不是合力功之和； 之和，而不是合力功之和； （3）质点系内力的功： ）质点系内力的功： 研究两质点间作用力与反作用力元功之和为
dA = F ⋅ dr2 + ( − F ) ⋅ dr1 = F ⋅ ( dr2 − dr1 ) = F ⋅ dr
一对内力的所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积。 即一对内力的所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积。