2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷(含解析)

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【数学】浙江省杭州市2016-2017学年高一(上)期末试卷(解析版)

浙江省杭州市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sin x+cos x|+|sin x﹣cos x|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N=，∁U M=．16．（3分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t（h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．参考答案一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．C【解析】因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．2．D【解析】∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．3．A【解析】∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．4．C【解析】∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，5．D【解析】要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，6．C【解析】患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，7．C【解析】∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．8．A【解析】∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，9．D【解析】f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sin x+cos x|+|﹣sin x ﹣cos x|=|sin x+cos x|+|sin x﹣cos x|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cos x﹣sin x|+|cos x+sin x|=|sin x+cos x|+|sin x﹣cos x|=f（x），∴函数f（x）的周期是，10．B【解析】如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．11．B【解析】∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．12．B【解析】函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．13．D【解析】根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x C=或x G=，当f（x）=时，当x≥3时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x F=，由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为x F﹣x C=﹣=，14．D【解析】对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f（x）max，x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣a，则f（x）max=a﹣1≥3．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣a，则f（x）max={4﹣a，a﹣1}max＜3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分）15．{2，3，4，5}{1，5，6}【解析】集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．31【解析】（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．【解析】由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（﹣4，﹣2）∪（0，2）【解析】设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．﹣1【解析】∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．16【解析】∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．解（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．解（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．解（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t（h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．解（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0 （3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）。

浙江省杭州市2016届高三第一次高考科目教学质量检测数学理试卷Word版含答案

2016年杭州市第一次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷(理科)考试须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.设集合{}{}21|,02|2≤<-=≥-=x x B x x x A ，则()=B A C RA. {}01|≤≤-x xB. {}20|<<x xC. {}01|<<-x xD. {}01|≤<-x x3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面PAB 的面积是4.命题：“01,200>+∈∃x R x 或00sin x x >”的否定是A. R x ∈∀，012≤+x 且x x sin ≤B. R x ∈∀，012≤+x 或x x sin ≤C. R x ∈∃0，010≤+x 且00sin x x >D. R x ∈∃0，010≤+x 或00sin x x ≤在零点0x ，则A. a x <0B. a x >0C. c x <0D. c x >0 6.设点P 为有公共焦点21,F F 的椭圆M 和双曲线T 的一个交点，且则=1e7.在直角△ABC 中，C ∠是直角，CA=4，CB=3，△ABC 的内切圆交CA ，CB 于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若CE y CD x CP +=，则y x +的值可以使A. 1B. 2C. 4D. 88.记n S 是各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和，若11≥a ，则A. n m n m n m n m S S S S S S ++≤≥222222ln ln ln , B. n m n m n m n m S S S S S S ++≤≤222222ln ln ln , C. n m n m n m n m S S S S S S ++≥≥222222ln ln ln , D. n m n m n m n m S S S S S S ++≥≤222222ln ln ln ,非选择题部分（共110分）二、填空题：本题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9.设b a ==3ln ,2ln ，则=+b a e e ______________.（其中e 为自然对数的底数）10.设函数()()()()⎩⎨⎧<≥=+--=0)(0;1ln )(2x x f x x x g x x f ，则()=-2g ___________；函数()1+=x g y 的零点是___________.11.设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤01y y x x y ，若y x z +=2，则z 的最大值等于_______,z 的最小值等于____________.12.设直线()()()R m y m x m l ∈=---+0831:1，则直线1l 恒过定点____________；若过原点作直线2l ∥1l ，则当直线1l 与2l 的距离最大时，直线2l 的方程为__________________.13.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，︒=∠90BCD ，且33==CD BC ，将△ABC 沿BC 的边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若点M 在△BCD 内部（含边界），则点M 的轨迹的最大长度等于____________；在翻折过程中，当点M 位于线段BD 上时，直线AB 和CD 所成的角的余弦值等于______________.14.设0,0>>y x ，且x y y x 1612=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则当y x 1+取最小值时，=+221y x ______. 15.已知,是非零不共线的向量，设r rr 111+++=，定义点集⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=KB KA KC KA M ，当M K K ∈21,时，若对于任意的2≥r ，不等式AB K K ≤21恒成立，则实数c 的最小值为_______________.三、解答题：本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题15分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别记为c b a ,,，若()b c A 231,6=+=π.（1）求C ；（2）若31+=⋅，求c b a ,,.17.(本题15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，平面⊥BC A 1平面11ABB A .（1）求证：BC AB ⊥；（2）设直线AC 与平面BC A 1所成的角为θ，二面角A BC A --1的大小为ϕ，试比较θ和ϕ的大小关系，并证明你的结论.18.(本题满分15分）设数列{}n a 满足()*2111,21N n a a a a n n n ∈++==+.（1）证明：31≥+nn a a ；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，证明：3<n S .19.（本题满分15分）设点A ，B 分别是y x ,轴上两个动点，AB=1，若()0>=λλBA AC .（1）求点C 的轨迹Γ；（2）过点D 作轨迹Γ的两条切线，切点分别为P ，Q ，过点D 作直线m 交轨迹Γ于不同的两点E ，F ，交PQ 于点K ，问是否存在实数t ，使得||||1||1DK tDF DE =+恒成立，并说明理由.20.(本题满分14分)设二次函数()()a b c c bx ax x f >>++=22，其图像过点()0,1，且与直线a y -=有交点.（1）求证：10<≤ab；（2）若直线a y -=与函数()||x f y =的图像从左到右依次交于A ，B ，C ，D 四点，若线段AB ，BC ，CD 能构成钝角三角形，求ab的取值范围.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

杭州市2017届高三上第一次教学质量检测数学试卷及答案解析(理)含解析(原始打印版)

2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)第一次教学质量检测数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则(∁R A)∩B=()A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．若sinx﹣2cosx=，则tanx=()A．B．C．2 D．﹣23．某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是()A．B．2 C．D．4．命题:“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是()A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx05．设x，满足f(a)f(b)f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若函数f(x)存在零点x0，则() A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c6．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=()A．B．C． D．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若=x+y，则x+y的值可以是()A．1 B．2 C．4 D．88．记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，若a1≥1，则()A．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nB．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nC．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+nD．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+n二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=．(其中e为自然对数的底数)10．设函数f(x)=﹣ln(﹣x+1)；g(x)=，则g(﹣2)=；函数y=g(x)+1的零点是．11．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于．12．设直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，则直线l1恒过定点；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC 沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB 和CD所成的角的余弦值等于．14．设x＞0，y＞0，且(x﹣)2=，则当x+取最小值时，x2+=．15．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求C；(2)若，求a，b，c．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．(1)求证:AB⊥BC；(2)设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．18．设数列{a n}满足a1=，a n=a n2+a n+1(n∈N*)．+1(1)证明:≥3；(2)设数列{}的前n项和为S n，证明:S n＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ(λ＞0)．(Ⅰ)求点C的轨迹Г；(Ⅱ)过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．20．设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c＞b＞a)，其图象过点(1，0)，且与直线y=﹣a有交点．(1)求证:；(2)若直线y=﹣a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)第一次教学质量检测数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则(∁R A)∩B=()A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A以及它的补集，然后求解交集即可．【解答】解:集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，B={x|﹣1＜x≤2}，则∁R A={x|0＜x＜2}(∁R A)∩B={x|0＜x＜2}．故选:B．2．若sinx﹣2cosx=，则tanx=()A．B．C．2 D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知可得sinx=2cosx+，两边平方，整理可得:5cos2x+4+4cosx=0，解得:cosx=﹣，可求sinx，利用同角三角函数基本关系式即可求值．【解答】解:∵sinx﹣2cosx=，∴sinx=2cosx+，∴两边平方得:sin2x=1﹣cos2x=4cos2x+5+4cosx，整理可得:5cos2x+4+4cosx=0，解得:cosx=﹣，解得:sinx=2×(﹣)+=，∴tanx===﹣．故选:A．3．某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是()A．B．2 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．∴该几何体的侧面PAB的面积==．故选:D．4．命题:“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是()A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解:因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题:“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定为:∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinx．故选:A．5．设x，满足f(a)f(b)f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若函数f(x)存在零点x0，则()A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数为增函数，进而可得f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案．【解答】解:∵y=2x在(0，+∞)上是增函数，y=log x在(0，+∞)上是减函数，可得x在(0，+∞)上是增函数，由0＜a＜b＜c，且f(a)f(b)f(c)＜0，∴f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f(a)＜0，0＜f(b)＜f(c)；或f(a)＜f(b)＜f(c)＜0．由于实数x0是函数y=f(x)的一个零点，当f(a)＜0，0＜f(b)＜f(c)时，a＜x0＜b，此时B成立．当f(a)＜f(b)＜f(c)＜0时，x0＞c＞a．综上可得，B成立．故选:B．6．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=()A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为:=1，﹣=1(a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2)，a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，由于cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得:(2c)2=m2+n2﹣2mn•，结合e2=2e1，化简整理即可得出．【解答】解:如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为:=1，﹣=1(a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2)，a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得:(2c)2=m2+n2﹣2mn•，∴4c2=(a1﹣a2)2+(a1+a2)2﹣(a1﹣a2)(a1+a2)，化为5c2=a12+4a22，∴+=5．∵e2=2e1，∴e1=，故选:C．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若=x+y，则x+y的值可以是()A．1 B．2 C．4 D．8【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时P点的轨迹，从而判断出答案．【解答】解:设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1．连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN，∴=+．则点P在线段MN上时， +=1，故x+y=2．同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部．排除C，D．故选:B．8．记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，若a1≥1，则()A．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nB．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nC．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+nD．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+n【考点】等差数列的性质．【分析】举出符合条件的数列，采用验证得答案．【解答】解:由S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，可采用取特殊数列方法验证排除，如:数列1，2，3，4，5，6，…取m=1，n=1，则S2m=S2=3，S2n=S4=10，S m+n=S3=6，∴S2m S2n=S2S4=30＜36==S m+n2，lnS2m lnS2n=ln3•ln10＜ln26=ln2S m+n．故选:B．二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=5．(其中e为自然对数的底数)【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解:ln2=a，ln3=b，则e a+e b=e ln2+e ln3=2+3=5．故答案为:5．10．设函数f(x)=﹣ln(﹣x+1)；g(x)=，则g(﹣2)=﹣ln3；函数y=g(x)+1的零点是1﹣e．【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】g(﹣2)=f(﹣2)，令g(x)=﹣1，对x进行讨论，列方程组解出x即可．【解答】解:∵当x＜0时，g(x)=f(x)，∴g(﹣2)=f(﹣2)=﹣ln3．令y=g(x)+1=0得g(x)=﹣1，∴或，解得x=1﹣e．故答案为:﹣ln3，1﹣e．11．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；当直线过A(1，0)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．故答案为:2，0．12．设直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，则直线l1恒过定点(2，2)；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为x+y=0．【考点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式．【分析】直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，化为:m(x﹣y)+(x+3y﹣8)=0，可得，解出可得直线l1恒过定点(2，2)．过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为:(m+1)x﹣(m﹣3)y=0，经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为:y=x．则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直．即可得出．【解答】解:∵直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，化为:m(x﹣y)+(x+3y﹣8)=0，可得，解得x=y=2，则直线l1恒过定点(2，2)．过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为:(m+1)x﹣(m﹣3)y=0，则经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为:y=x．则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直．直线l2的方程为x+y=0．故答案分别为:(2，2)；x+y=0．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC 沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角；轨迹方程．【分析】点A的射影M的轨迹为CD的中位线，可得其长度；当点M位于线段BD上时，取BC中点为N，AC中点为P，可得∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，由已知数据和余弦定理可得．【解答】解:由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为CD=；当点M位于线段BD上时，AM⊥平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线可得MN=CD=，PC=AB=，又MP为RT△AMC斜边AC的中线，故MP=AC=，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP==，故答案为:；．14．设x＞0，y＞0，且(x﹣)2=，则当x+取最小值时，x2+=12．【考点】基本不等式．【分析】当x+取最小值时，(x+)2取最小值，变形可得(x+)2=+由基本不等式和等号成立的条件可得．【解答】解:∵x＞0，y＞0，∴当x+取最小值时，(x+)2取最小值，∵(x+)2=x2++，(x﹣)2=，∴x2+=+，∴(x+)2=+≥2=16，∴x+≥4，当且仅当=即x=2y时取等号，∴x2++=16，∴x2++=16，∴x2+=16﹣=12，故答案为:12．15．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解:由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为:．三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求C；(2)若，求a，b，c．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】(1)先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值，进而求得C．(2)根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c．【解答】解:(1)由得则有=得cotC=1即、(2)由推出；而，即得，则有解得．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．(1)求证:AB⊥BC；(2)设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】(1)过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，推导出AD⊥面A1BC，AD⊥BC，AA1⊥BC，从而BC⊥侧面A1ABB1，由此能证明AB⊥BC．(2)连结CD，求出∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，从而∠ACD=θ，∠ABA1=φ，由此能求出θ＜φ．【解答】证明:(1)过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，∵面A1BC⊥面A1ABB1，面A1BC∩面A1ABB1=A1B，∴AD⊥面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，∵AB⊂面A1ABB1，∴AB⊥BC．解:(2)连结CD，由(1)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，又∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，设∠ACD=θ，∠ABA1=φ，在Rt△ADC中，sin，在Rt△ADB中，sinφ=，∵AB＜AC，∴sinθ＜sinφ，∵，∴θ＜φ．18．设数列{a n}满足a1=，a n=a n2+a n+1(n∈N*)．+1(1)证明:≥3；(2)设数列{}的前n项和为S n，证明:S n＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．=a n2+a n+1(n∈N*)．可得a n＞0，变形=a n++1，【分析】(1)数列{a n}满足a1=，a n+1利用基本不等式的性质即可证明；(2)由(1)可得a n a n．可得．可得当n≥2时，≤+1≤…≤=2．即可证明．=a n2+a n+1(n∈N*)．【解答】证明:(1)∵数列{a n}满足a1=，a n+1∴a n＞0，∴=a n++1≥+1=3，当且仅当a n=1时取等号，∴≥3．(2)由(1)可得a n a n．+1∴．∴当n≥2时，≤≤…≤=2．∴S n≤2=2×=3．∵a n≠1，∴S n＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ(λ＞0)．(Ⅰ)求点C的轨迹Г；(Ⅱ)过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】(Ⅰ)由题意可知，C在线段BA的延长线上，设出A(m，0)，B(0，n)，可得m2+n2=1，再设C(x，y)，由向量等式把m，n用含有x，y的代数式表示，代入m2+n2=1可得点C的轨迹Г；(Ⅱ)分别设出E，F，K的横坐标分别为:x E，x F，x K，点D(s，t)，可得直线PQ的方程为:，再设直线m的方程:y=kx+b，得到t=ks+b，进一步求得x K，联立直线方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到x E+x F，x E x F，求得为定值2得答案．【解答】解:(Ⅰ)由题意可知，C在线段BA的延长线上，设A(m，0)，B(0，n)，则m2+n2=1，再设C(x，y)，由=λ(λ＞0)，得(x﹣m，y)=λ(m，﹣n)，∴，得，代入m2+n2=1，得；(Ⅱ)设E，F，K的横坐标分别为:x E，x F，x K，设点D(s，t)，则直线PQ的方程为:，设直线m的方程:y=kx+b，∴t=ks+b，得，将直线m代入椭圆方程得:，∴=．∴=•=2．验经证当m的斜率不存在时成立，故存在实数t=2，使得+=恒成立．20．设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c＞b＞a)，其图象过点(1，0)，且与直线y=﹣a有交点．(1)求证:；(2)若直线y=﹣a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】(1)函数f(x)的其图象与直线y=﹣a有交点，得到ax2+2bx+c+a=0有实根，根据判别式即可求出答案，(2)点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，根据线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得到m，n的关系，再设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根和x3，x4是方程ax2+2bx+c﹣a=0的两根，代入计算即可．【解答】解:(1)∵a+2b+c=0，c＞b＞a，∴a＜0，c＞0，∵﹣a﹣2b＞b＞a，∴﹣＜＜1，∵函数f(x)的其图象与直线y=﹣a有交点，∴ax2+2bx+c+a=0有实根，即△=4b2﹣4a(c+a)=4b2+8ab≥0，∴4()2+8•≥0，知≤﹣2或≥0，综上所述可得0≤＜1，(2)∵点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，∵线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，∴，得n＜2m＜n，∴2n＜2m+n＜(+1)n，∴2|BC|＜|AD|＜(+1)|BC|，设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根，则|BC|=，设x3，x4是方程ax2+2bx+c﹣a=0的两根，则|AD|=，∴2＜＜(+1)，解得﹣1+＜＜﹣1+2016年10月18日。

2016-2017学年浙江省杭州地区四校联考高三(上)期中数学试卷及解析

2016-2017学年浙江省杭州地区四校联考高三（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.设集合A={x|4x﹣1|＜9，x∈R}，B={x| xx+3≥0，x∈R}，则（∁RA）∩B=（）A.（﹣∞，﹣3）∪[ 52，+∞）B.（﹣3，﹣2]∪[0，52）??C.（﹣∞，﹣3]∪[ 52，+∞）D.（﹣3，﹣2]2.i是虚数单位，则复数5i2−i 的虚部为（）A.2iB.﹣2C.2D.﹣2i3.已知直线 l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知﹣π2＜α＜0，sinα+cosα= 15，则1cos2α−sin2α的值为（）A.75 B.257 C.725 D.24255.已知实数x，y满足：{2x+y−2≤03x−2y+4≥0x−3y−1≤0，则3x+9y的最小值为（）A.82B.4C.29 D.236.设点P 为有公共焦点F 1 ， F 2的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F 1PF 2= 35，椭圆的离心率为e 1 ，双曲线的离心率为e 2 ，若e 2=2e 1 ，则e 1=（） A.√104B.√75C.√74D.√105 7.已知向量 a →,b →,c →，满足| a →|=2，| b →|= a →⋅b →=3，若（ c → ﹣2 a →）•（ c →﹣ 23 b → ）=0，则| b →−c → |的最小值是（）A.2﹣ √3B.2+ √3C.1D.28.已知函数f （x ）= {|l (1−x)5|,x <1−(x −2)2+2,x ≥1，则方程f （x+ 1x ﹣2）=a 的实根个数不可能为（）A.8个B.7个C.6个D.5个第II 卷（非选择题）二、解答题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos2A+ 32 =2cosA ．（1）求角A 的大小；（2）若a=1，求△ABC 的周长l 的取值范围．10.已知点O 为△ABC 的外心，角A ，B ，C 的对边分别满足a ，b ，c ，（Ⅰ）若3 OA →+4 OB →+5 OC →= 0→，求cos∠BOC 的值；（Ⅱ）若 CO →• AB →= BO →• CA →，求 b 2+c 2a 2 的值．11.已知椭圆 x 2a 2 +y 2=1（a ＞1），过直线l ：x=2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x 轴上时，切线PA 的斜率为± √22 ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．12.已知函数f （x ）=aln （x+1）+ 12 x 2﹣x ，其中a 为非零实数．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若y=f （x ）有两个极值点x 1 ， x 2 ，且x 1＜x 2 ，求证：f(x 2)x 1 ＜ 12．三、填空题13.若（x 2+ x ）n 的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则n= ；该展开式中的常数项为（用数字作答）．14.已知等比数列{a n }的公比q ＞0，前n 项和为S n ，若2a 3 ， a 5 ， 3a 4成等差数列，a 2a 4a 6=64，则a n = ， S n = ．15.函数y=log a x+1（a ＞0且a≠1）的图像恒过定点A ，若点A 在直线 x m +yn ﹣4=0（m ＞0，n ＞0）上，则 1m +1n = ；m+n 的最小值为．16.已知曲线C 1：（x ﹣1）2+y 2=1与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0，则曲线C 2恒过定点；若曲线C 1与曲线C 2有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是17.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤7）= ． 18.函数f （x ）= √4−2x + √x 的值域为． 19.记max{a ，b}= {a,a ≥bb,a <b，设M=max{|x ﹣y 2+4|，|2y 2﹣x+8|}，若对一切实数x ，y ，M≥m 2﹣2m 都成立，则实数m 的取值范围是．参考答案1.A【解析】1.解：集合A={x|4x ﹣1|＜9，x∈R}={x|﹣9＜4x ﹣1＜9，x∈R} ={x|﹣2＜x ＜ 52，x∈R}， B={x| xx+3 ≥0，x∈R} ={x|x ＜﹣3或x≥0，x∈R}， ∴∁R A={x|x≤﹣2或x≥ 52 ，x∈R}， ∴（∁R A ）∩B={x|x＜﹣3或x≥ 52 ，x∈R} =（﹣∞，﹣3）∪[ 52 ，+∞）．故选：A ．【考点精析】掌握交、并、补集的混合运算是解答本题的根本，需要知道求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 2.C【解析】2.解：∵ 5i2−i =，∴复数 5i2−i 的虚部为2，故选：C ．【考点精析】认真审题，首先需要了解复数的乘法与除法(设则；)．3.B【解析】3.解：∵直线l 1：ax+（a+2）y+1=0，l 2：x+ay+2=0，且l 1∥l 2 ， ∴a 2﹣a ﹣2=0，解得：a=2或a=﹣1，故a=2或a=﹣1是a=﹣1的必要不充分条件，故选：B ． 4.B【解析】4.解：∵﹣ π2 ＜α＜0，sinα+cosα= 15 ，则1+2sinαcosα= 125 ，∴2sinαcosα=﹣ 2425 ，∴cosα﹣sinα= √(cosα−sinα)2= √1+2sinαcosα = 75 ，则1cos α−sin 2α= 1(cosα+sinα)(cosα−sinα) = 115⋅75= 257 ，故选：B ．【考点精析】掌握同角三角函数基本关系的运用是解答本题的根本，需要知道同角三角函数的基本关系：；;（3）倒数关系：．5.C【解析】5.解：由约束条件{2x+y−2≤03x−2y+4≥0x−3y−1≤0作出可行域如图，令z=x+2y，化为y=﹣x2+z2，由图可知，当直线y=﹣x2+z2过A（﹣2，﹣2）时直线y轴上的截距最小为z=﹣4，∴3x+9y≥ = 29．故选：C．【考点精析】利用基本不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．6.D【解析】6.解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1， a2，半焦距为c．e1=c a1，e2= ca2．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，则m+n=2a1， m﹣n=2a2．∴m2+n2=2 a12 +2 a22，mn= a12﹣a22．4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴4c2=2 a12 +2 a22﹣2（a12﹣a22）× 35．化为：5c2= a12 +4 a22，∴5= 1e12 + 1e22×4，又e2=2e1，∴5= 1e12 + 14e12×4，e1∈（0，1）．则e 1=√105．故选：D ． 7.A【解析】7.解：根据条件，设，设 c →=(x,y) ，则： ==0；∴；∴ c →的终点在以 (2,√3) 为圆心， √3 为半径的圆上，如图所示：∴| b →−c →|的最小值为：．故选A ． 8.D【解析】8.解：∵函数f （x ）= {|l (1−x)5|,x <1−(x −2)2+2,x ≥1，即f （x ）=．因为当f （x ）=1时， x=1或3或 45 或﹣4，则当a=1时，x+ 1x ﹣2=1或3或 45 或﹣4，又因为 x+ 1x ﹣2≥0 或x+ 1x ﹣2≤﹣4，所以，当x+ 1x ﹣2=﹣4时只有一个x=﹣2与之对应．其它情况都有2个x 值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a ＜2时，y=f （x ）与y=a 有4个交点，故有8个根；当a=2时，y=f （x ）与y=a 有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：D ．9.（1）解：cos2A+ 32 =2cosA ，即2cos 2A ﹣1+ 32 =2cosA ，即有4cos 2A ﹣4cosA+1=0，（2cosA ﹣1）2=0，即cosA= 12 ，（0＜A ＜π），则A= π3（2）解：由正弦定理可得b= asinB sinA = √32= √3 sinB ，c= asinC sinA = √3 sinC ，则l=a+b+c=1+ √3 （sinB+sinC ），由A= π3 ，B+C= 2π3 ，则sinB+sinC=sinB+sin （ 2π3 ﹣B ）= 32 sinB+ √32 cosB= √3 sin （B+ π6 ），即有l=1+2sin （B+ π6 ），由于0＜B ＜ 2π3 ，则 π6 ＜B+ π6 ＜ 5π6 ，12< sin （B+ π6 ）≤1，即有2＜l≤3．则有△ABC 的周长l 的取值范围为（2，3]【解析】9.（1）运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；（2）运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图像和性质，即可得到范围．【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．10.解：（Ⅰ）设外接圆半径为R ，由3+4 +5= 得：4+5=﹣3 ，平方得：16R 2+40•+25R 2=9R 2 ，即•=﹣R 2 ，则cos∠BOC=﹣ ；（Ⅱ）∵ •= •， ∴=，即： = ，可得：﹣R 2cos2A+R 2cos2B=﹣R 2cos2C+R 2cos2A ， ∴2cos2A=cos2C+cos2B，即：2（1﹣2sin 2A ）=2﹣（2sin 2B+2sin 2C ）， ∴2sin 2A=sin 2B+sin 2C ，∴利用正弦定理变形得：2a 2=b 2+c 2 ，∴ =2【解析】10.（Ⅰ）设三角形ABC 的外接圆半径为R ，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O 为三角形的外心，得到| OA →|=| OB →|=| OC →|=R ，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos∠BOC 的值；（Ⅱ）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．【考点精析】认真审题，首先需要了解二倍角的余弦公式(二倍角的余弦公式：)．11.解：（Ⅰ）当P 点在x 轴上时，P （2，0），PA ：，，△=0⇒a 2=2，椭圆方程为；（Ⅱ）设切线为y=kx+m ，设P （2，y 0），A （x 1 ， y 1），则 ⇒（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0⇒△=0⇒m 2=2k 2+1， (7)且，y 0=2k+m则，PA 直线为，A 到直线PO 距离，则= ，∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．【解析】11.（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得|PA|及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=|k+ √1+2k2 |，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．12.（1）解：f′（x）= x 2+(a−1)x+1，x＞1，当a﹣1≥0即a≥1时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增，当0＜a＜1时，由f′（x）=0，∴x1=﹣√1−a＞﹣1，x2= √1−a，∴f（x）在（﹣1，﹣√1−a）递增，在（﹣√1−a，√1−a）递减，在（√1−a，+∞）递增，当a＜0时，∵x1＜﹣1，∴f（x）在（﹣1，√1−a）递减，在（√1−a，+∞）递增（2）证明：∵0＜a＜1且x1=﹣√1−a，x2= √1−a，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），f(x2) x1＜12⇔f(x2)−x2＜12⇔f（x2）+ 12x2＞0⇔aln（x2+1）+ 12x22﹣12x2＞0⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣12 x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣12x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+ 12＞0，∴g（x ）在（0，1）递增， ∴g（x ）＞g （0）=0， ∴命题得证【解析】12.（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）所证问题转化为（1+x 2）ln （x 2+1）﹣ 12 x 2＞0，令g （x ）=（1+x ）ln （x+1）﹣ 12 x ，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．13.6；15【解析】13.解：由（x 2+ 1x ）n 展开式中的二项式系数和为64，可得2n =64，∴n=6．由于（x 2+ 1x ）n =（x2+1x ）6 ，展开式的通项公式为 T r+1= ∁6r •x12﹣2r•x ﹣r = ∁6r•x 12﹣3r ，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为 ∁64 = ∁62=15，所以答案是 6，15． 14.2n ﹣2；2n −12【解析】14.解：∵等比数列{a n }的公比q ＞0，前n 项和为S n ， 2a 3 ， a 5 ， 3a 4成等差数列，a 2a 4a 6=64，∴，由q ＞0，得q=2， a 1=12 ， ∴a n = 12×2n−1=2n ﹣2 ，S n = 12(1−2n )1−2 = 2n −12 ．所以答案是：2n ﹣2， 2n −12 ．【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识点，需要掌握通项公式：才能正确解答此题． 15.4；1【解析】15.解：当x=1时，y=log a 1+1=1，∴函数y=log a x+1（a ＞0且a≠1）的图像恒过定点A （1，1），∵点A 在直线 x m +yn ﹣4=0（m ＞0，n ＞0）上，∴ 1m+1n =4． ∴m+n= 14 （ 1m +1n ）（m+n ）= 14 （2+m+n ），≥ 14 （2+2 √m n ⋅n m ）=1，当且仅当m=n= 12 时取等号．故答案是：4；1．16.（﹣1，0）；（﹣ √33 ，0）∪（0， √33 ）【解析】16.解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图像如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d= √m 2+1 =r=1，化简得：m 2= 13 ，m=± √33 ．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣ √33 ，0）∪（0， √33 ），所以答案是（﹣1，0），（﹣ √33 ，0）∪（0， √33 ）．17.1335【解析】17.解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P （ξ=4）+P （ξ=6）= C 44C 74+C 43C 31C 74 = 1335 ．所以答案是： 1335 ．18.[ √2 ， √6 ]【解析】18.解：函数f （x ）= √4−2x + √x ，其函数的定义域为{x|0≤x≤2}．那么：f′（x ）=﹣ √4−2x+2√x令f′（x）=0，解得：x= 2，3）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数．∴当x∈（0，23，2）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数．当x∈（23∴当x= 2时，f（x）取得极大值，即最大值为√6．3当x=0时，f（x）=2，当x=2时，f（x）= √2．所以得函数f（x）的值域为[ √2，√6 ]．所以答案是：[ √2，√6 ]．【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．19.[1﹣√7，1+ √7 ]【解析】19.解：∵M=max{|x﹣y2+4|，|2y2﹣x+8|}，∴2M≥|x﹣y2+4|+|2y2﹣x+8|≥|y2+12|≥12，∴M≥6，∵对一切实数x，y，M≥m2﹣2m都成立，∴m2﹣2m≤6，∴1﹣√7≤m≤1+ √7，∴实数m的取值范围是[1﹣√7，1+ √7 ]，所以答案是：[1﹣√7，1+ √7 ]．。

2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷

2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．（4分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．4．（4分）设复数ω=﹣+i，则1+ω=（）A．﹣ω B．ω2C．D．5．（4分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（4分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（）A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．+＜D．+＞7．（4分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A．B．C．D．8．（4分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（）A．ab2=9 B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a9．（4分）在△ABC中，AC=5，+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．910．（4分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）•a+f（m1）•f（m2）=0，则（）A．b≥0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11．（6分）lg2+lg5=；=．12．（6分）已知双曲线，则其渐近线方程为，离心率为．13．（6分）已知随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．14．（6分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是；函数f （x）=xlnx的最小值为．15．（4分）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于．16．（4分）若实数x，y满足，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区域的面积为．17．（4分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（14分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．19．（15分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P 满足．（1）若k=2，求点P的轨迹方程；（2）当k=0时，若，求实数λ的值．20．（15分）设函数．（1）证明：；（2）证明：．21．（15分）已知P，Q为椭圆上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，F2分别为左右焦点．（1）求的最小值；（2）若，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．22．（15分）设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】求出A中绝对值不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1≤x﹣1≤1，解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断即可．【解答】解：命题的等价形式：若x=0且y=0，则|x|+|y|=0，则为真命题，反之若|x|+|y|=0，则若x=0且y=0，即若x=0且y=0是|x|+|y|=0，成立的充要条件，则命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．3．（4分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选：B．【点评】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．4．（4分）设复数ω=﹣+i，则1+ω=（）A．﹣ω B．ω2C．D．【分析】本题是关于这个特殊的复数的运算，它的相反数，平方，负倒数，共轭复数，平方的导数之间的关系，应该熟练掌握，并且应该记住这些量之间的关系．【解答】解：∵复数ω=﹣+i，∴1+ω=1+（﹣）=，根据ω的特点得到结果，故选：C．【点评】本题考查特殊复数的运算，借助于加减乘除运算可以得到结论，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．5．（4分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】求出直线与坐标轴的解交点，推出椭圆的a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，可得c=1，b=2，可得a=，则椭圆的方程为：．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（4分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（）A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．+＜D．+＞【分析】推导出（x1+x2）（）≥4，＜e，由此能推导出＞1．【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），∴==＜e，而（x1+x2）（）=1++1≥2+2=4．即（x1+x2）（）≥4，又＜e，∴＞1．故选：A．【点评】本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．7．（4分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A．B．C．D．【分析】利用O为△ABC内角平分线的交点，则有a×+b×+c×=0，再利再利用三角形中向量之间的关系，将等式变形为=+，利用平面向量基本定理即可解．【解答】解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，则a×+b×+c×=0，∴a×+b×（+）+c×（+）=0，∴（a+b+c）=b+c，∴=+，∵，∴λ1=，λ2=，∴=故选：A．【点评】本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（）A．ab2=9 B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a【分析】设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，分别讨论a=0，b=0时的情况，结合图象判断即可．【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴当x=0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，若b=0，则g（x）=x2＞0，函数f（x）=ax+3的零点为x=﹣，则函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，此时不满足条件；若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；∵函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，则（﹣，+∞））上f（x）＜0，而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=，且g（x）在（0，）上g（x）＜0，则（，+∞）上g（x）＞0，∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则函数f（x）与g（x）的零点相同，即﹣=，∴a2b=9，故选：B．【点评】本题考查了构造方法、考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．9．（4分）在△ABC中，AC=5，+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则tan=，tan=，tan=，再由已知条件求出AC=5BD，进一步求出BD的值，则BC+AB的答案可求．【解答】解：作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则tan=，tan=，tan=．∵+﹣=0，∴，∴AF+CF=5BD，即AC=5BD，又∵AC=5，∴BD=1，∴BE=BD=1，∴BC+AB=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=AC+2BD=7．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，作出△ABC的内切圆是解本题的关键，属于中档题．10．（4分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）•a+f（m1）•f（m2）=0，则（）A．b≥0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0【分析】分别判断出a＞0，c＜0，根据b2﹣4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a﹣c）≥0，求出3a﹣c＞0，从而判断出b≥0．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，∴a+b+c=0．若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，∴c＜0成立．∵a2+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）•f（m2）=0∴[a+f（m1）]•[a+f（m2）]=0，∴m1，m2是方程f（x）=﹣a的两根∴△=b2﹣4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a﹣c）≥0而a＞0，c＜0∴3a﹣c＞0，∴b≥0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11．（6分）lg2+lg5=1；=1．【分析】根据指数幂和对数运算性质计算即可．【解答】解：lg2+lg5=lg（2×5）=lg10=1，=3﹣=3﹣2=1，故答案为：1，1【点评】本题考查了指数幂和对数运算性质，属于基础题．12．（6分）已知双曲线，则其渐近线方程为，离心率为．【分析】根据双曲线方程为标准方程，求得a，b，c，从而可求双曲线的几何性质．【解答】解：双曲线的标准方程得：，∴a=2，b=1，∴c2=a2+b2=5，∴c=∴则其渐近线方程为，离心率：，故答案为：；．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．13．（6分）已知随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．【分析】由题意可得：x+y+=1，﹣1×x+0+1×+2y=，解得x，y．再利用D（ξ）计算公式即可得出．【解答】解：由题意可得：x+y+=1，﹣1×x+0+1×+2y=，解得x=，y=．∴D（ξ）=×+×+×+=．故答案为：，【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（6分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是x﹣y﹣1=0；函数f（x）=xlnx的最小值为﹣．【分析】求出函数的导数，求出切点的导数，得到曲线的斜率，然后求解切线方程；利用导数判断函数的单调性求解函数的最小值即可．【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x﹣1即x﹣y﹣1=0．令lnx+1=0，可得x=，x∈（0，），函数是减函数，x＞时函数是增函数；所以x=时，函数取得最小值：﹣．故答案为：x﹣y﹣1=0；﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性以及最值的求法，求出切线的斜率是关键，15．（4分）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于﹣23008．【分析】利用二项式定理将二项式展开，令x分别取，﹣得到两个等式，两式相减，化简即得．【解答】解：设（x﹣）2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006则当x=时，有a0（）2006+a1（）2005+…+a2005（）+a2006=0（1）当x=﹣时，有a0（）2006﹣a1（）2005+…﹣a2005（）+a2006=23009（2）（1）﹣（2）有a1（）2005+…+a2005（）=﹣23009¸即2S=﹣23009则S=﹣23008故答案为：﹣23008．【点评】本题考查二项式定理的展开式形式及赋值法求系数和．16．（4分）若实数x，y满足，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区域的面积为1．【分析】令2x﹣y=a，x+y=b将x，y用a，b表示，代入变量x，y满足，然后画出区域，利用三角形面积公式计算出面积即可【解答】解：设，；代入x，y的关系式得：易得阴影面积S=×2×1=1；故答案为：1【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示的几何意义，以及区域面积的度量，属于基础题．17．（4分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【分析】对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，分x=或x≠两种情况讨论，即可求出t的范围．【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设k=2x﹣1，则x=，则===（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）【点评】本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（14分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x）=sin（2x ﹣）（x∈R），利用正弦函数的性质即可求解．（2）由题意可得sin（2A﹣）=1．由A为锐角，可求2A﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质可求A的值，进而利用余弦定理解得b的值．【解答】（本题满分14分）解：（1）化简得：f （x）=sin（2x﹣）（x∈R），所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分）（2）因为f （A）=sin（2A﹣）=1．因为A为锐角，所以2A﹣∈（﹣，），所以2A﹣=，所以A=．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，利用正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（15分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P 满足．（1）若k=2，求点P的轨迹方程；（2）当k=0时，若，求实数λ的值．【分析】（I）设P（x，y），求出=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（x﹣1，y）．通过k=2，，化简求解点P的轨迹方程即可．（II）通过k=0，推出，得到x2+y2=1．化简|λ+|2=（2﹣2λ2）y+2λ2+2（y∈[﹣1，1]）．然后求解表达式的最值即可．【解答】（本题满分15分）解：（I）设P（x，y），则=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（x﹣1，y）．因为k=2，所以，所以（x，y﹣1）▪（x，y+1）=2[（x﹣1）2+y2]，化简整理，得（x﹣2）2+y2=1，故点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2=1．…（7分）（II）因为k=0，所以，所以x2+y2=1．所以|λ+|2=λ22+2=λ2[x2+（y﹣1）2]+x2+（y+1）2=（2﹣2λ2）y+2λ2+2（y∈[﹣1，1]）．当2﹣2λ2＞0时，即﹣1＜λ＜1，（|λ+|max）2=2﹣2λ2+2λ2+2=4≠16，不合题意，舍去；当2﹣2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤﹣1时，（|λ+|max）2=2λ2﹣2+2λ2+2=16，解得λ=±2．…（8分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20．（15分）设函数．（1）证明：；（2）证明：．【分析】（1）令g（x）=f （x）﹣x2+x﹣，化简求导，判断g（x）的单调性，求出最值即可得到结果．（2）求出导数，设h（x）=2x3+4x2+2x﹣1，求出h′（x）求出 f （x）max，结合（1）推出结果．【解答】（本题满分15分）证明：（1）令g（x）=f （x）﹣x2+x﹣，即g（x）=+x﹣，所以，所以g（x）在上递减，在上递增，所以g（x）≥=0，所以f （x）≥x2﹣x+．…（7分）（2）因为，x∈[0，1]，设h（x）=2x3+4x2+2x﹣1，h′（x）=6x2+8x+2，因为h（0）=﹣1，h（1）=7，所以存在x0∈（0，1），使得f′（x）=0，且f （x）在（0，x0）上递减，在（x0，1）上递增，所以f （x）max={ f （0），f （1）}=f （1）=．由（1）知，f （x）≥x2﹣x+=≥，又=，，所以＜f （x）≤．…（8分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）已知P，Q为椭圆上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，F2分别为左右焦点．（1）求的最小值；（2）若，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．【分析】（1）通过（O为坐标原点），推出，即可求的最小值．（2）利用OP⊥OQ．推出线段PQ中点的横坐标为．设直线PQ的方程为y=kx+b，联立直线与椭圆方程组，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，推出1+2k2=﹣4kb，①通过x1x2+y1y2=0，求出4k2b2+2k3b﹣2k2+3b2+kb﹣2=0，②，然后求解即可．【解答】（本题满分15分）解：（1）因为（O为坐标原点），显然，所以的最小值为2．…（5分）（2）由题意，可知OP⊥OQ．又F2P⊥F2Q，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF2Q的公共斜边，即得线段PQ的中点到O，F2两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为．设直线PQ的方程为y=kx+b，联立椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣．又因为x1+x2=1，所以1+2k2=﹣4kb，①另一方面，x1x2=，y1y2=．由x1x2+y1y2=0，得，即4k2b2+2k3b﹣2k2+3b2+kb﹣2=0，②由①②，得﹣20k4﹣20k2+3=0，解之得．…（15分）【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（15分）设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．【分析】（1）依题意知a n＞0，故a n+1＞a n+＞a n，a k+1=a k+＜a k+，从而可得，累加可证结论成立；（2）分n=1与n≥2两类讨论，对于后者，利用放缩法即可证得（n ∈N*）．【解答】（本题满分15分）证明：（I）易知a n＞0，所以a n+1＞a n+＞a n，所以a k=a k+＜a k+，+1所以．所以，当n≥2时，=，所以a n＜1．又，所以a n＜1（n∈N*），＜1（n∈N*）．…（8分）所以a n＜a n+1（II）当n=1时，显然成立．由a n＜1，知，所以，所以，所以，所以，当n≥2时，=，即．所以（n∈N*）．…（7分）【点评】本题考查数列递推式，突出考查等放缩法证明不等式的应用，考查转化思想与推理运算能力，属于难题．。

浙江省2017届高三上学期期末数学试卷 Word版含解析

浙江省2017届高三上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）P）∩Q=（）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UA．{1} B．{2，4} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}2．已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．23．已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3 B．2 C．D．4．已知cosα=1，则sin（α﹣）=（）A．B． C．﹣D．﹣5．已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5] B．[2，] C．[，5] D．[5，+∞）6．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），下列选项中不可能是函数f（x）图象的是（）A．B． C． D．8．袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）﹣g（x）=2的实根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD 沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在抓痕l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13 B．﹣2 C．D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．已知函数f（x）=，则f（0）= ，f（f（0））= ．12．以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是．13．已知公差不为0的等差数列{an }，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1= ，an= ．14．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是，表面积是．15．已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a， cosB=cosA，c=+1，则△ABC的面积为．16．已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ= ．17．已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M （a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f （x）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x﹣），求g（x）的单调递减区间．19．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20．已知函数f（x）=x3+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值（用a表示）．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．22．已知数列{a n }满足：a 1=，a n+1=+a n （n ∈N *）．（1）求证：a n+1＞a n ；（2）求证：a 2017＜1；（3）若a k ＞1，求正整数k 的最小值．浙江省2017届高三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）P）∩Q=（）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UA．{1} B．{2，4} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则∁P={2，4，6}，UP）∩Q={2，4}．所以（∁U故选：B．2．已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i（a∈R）的虚部为1，∴=1，解得a=1．故选：A．3．已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3 B．2 C．D．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布列的性质即可得出．【解答】解：∵随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=3×=．故选：C．4．已知cosα=1，则sin（α﹣）=（）A．B． C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵cosα=1，可得：sinα=0，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣1×=﹣．故选：C．5．已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5] B．[2，] C．[，5] D．[5，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A 或B点时，z的最值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为：2．当直线z=x+y过点B（1，4）时，z最大值为：5．则x+y的取值范围为：[2，5]．故选：A．6．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上⇔＞0，即可判断出结论．【解答】解：抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上⇔＞0，即mn＜0，∴“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的充要条件．故选：C．7．已知函数f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），下列选项中不可能是函数f（x）图象的是（）A．B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出答案即可．【解答】解：f（x）=ax3+ax2+x（a∈R），f′（x）=ax2+ax+1，△=a2﹣4a，当0＜a＜4时，f′（x）无实数根，f′（x）＞0，f（x）递增，故A可能，当a＞4或a＜0时，f′（x）有2个实数根，f（x）先递减再递增或f（x）先递增再递减，故B、C可能，故选：D．8．袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n==20，利用列举法求出取出的3个球编号之和不大于7的基本事件个数，由此能求出取出的3个球编号之和大于7的概率．【解答】解：袋子里装有编号分别为“1、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，每个球被取到的机会均等，基本事件总数n==20，取出的3个球编号之和不大于7的基本事件有：122，123，123，124，124，223，共有6个，∴取出的3个球编号之和大于7的概率为：p=1﹣=．故选：B．9．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）﹣g（x）=2的实根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】在同一个坐标系在画出两个函数的图象，观察有【解答】解：设F（x）=f（x）﹣2，F（x）与g（x）在同一个坐标系在的图象如图：观察得到两个函数图象交点个数是1个，所以f（x）﹣g（x）=2的实根个数为1；故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD 沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C落在直线AB上，若点C在抓痕l上的1，则的最小值为（）射影为C2A．6﹣13 B．﹣2 C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，表示出，利用基本不等式求最小值．【解答】解：由题意，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，则直线l 的方程：y=kx ﹣2k+2，CC 2=．直线CC 2的方程为y=﹣x++6，∴C 1（4+6k ，0），∴CC 1=6，∴C 1C 2=CC 2﹣CC 1=6﹣．∴=﹣1．令|k ﹣2|=t ，∴k=t+2或2﹣t ．①k=t+2，=3（t++4）﹣1≥6+11，t=时，取等号；②k=2﹣t ， =3（t+﹣4）﹣1≥6﹣13，t=时，取等号；综上所述，的最小值为6﹣13，故选A ．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．已知函数f （x ）=，则f （0）= 1 ，f （f （0））= 0 ．【考点】函数的值．【分析】由0＜1，得f （0）=20=1，从而f （f （0））=f （1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （0）=20=1，f （f （0））=f （1）=log 31=0．故答案为：1，0．12．以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是x2+y2=2 ，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是相交．【考点】圆的切线方程．【分析】由坐标原点为所求圆的圆心，且所求圆与已知直线垂直，利用点到直线的距离公式求出原点到已知直线的距离d，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到所求圆的半径r，根据圆心和半径写出所求圆的方程即可；由两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，可得两圆相交．【解答】解：∵原点为所求圆的圆心，且所求圆与直线x+y+2=0相切，∴所求圆的半径r=d==，则所求圆的方程为x2+y2=2．x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心为（0，1），半径为2，两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，两圆相交．故答案为：x2+y2=2；相交．13．已知公差不为0的等差数列{an }，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1= 1 ，an= 2n﹣1 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设等差数列{an }的公差为d≠0，由a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，可得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1，d即可得出．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d≠0，∵a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则2a1+4d=10，a 22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：1，an=2n﹣1．14．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是 6 ，表面积是15+4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，即可求出几何体的体积、表面积．【解答】解：由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，∴该几何体的体积是=6，表面积是2×+（1+2+2×）×4=15+4，故答案为6，15+4．15．已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=a ， cosB=cosA ，c=+1，则△ABC 的面积为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知可求sinB=sinA ，cosB=cosA ，利用同角三角函数基本关系式可求cosA ，cosB ，进而可求A ，B ，C 的值，由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，可得a ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由b=a ，可得：sinB=sinA ，由cosB=cosA ，可得：cosB=cosA ，∴（sinA ）2+（cosA ）2=1，解得：sin 2A+cos 2A=，∴结合sin 2A+cos 2A=1，可得：cosA=，cosB=，∴A=，B=，可得：C=π﹣A ﹣B=，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，可得：（）2=a 2+（）2﹣2α×a ×cos，∴解得：a=，∴S △ABC =acsinB=（）×=．故答案为：．16．已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用λ+μ=1得出=λ+μ=λ+（1﹣λ），再由=，代入化简，得出关于λ的方程组，从而求出λ的值．【解答】解：向量，满足||=3，||=2，∵λ+μ=1，∴=λ+μ=λ+（1﹣λ），又=，∴=，即=，∴=，即•+2﹣2λ=3λ+•，∴，解得λ=．故答案为：．17．已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得a ≤0，b ≤0，f （x ）可取得最大值，即有f （x ）=x+﹣ax ﹣b ，x ∈[，2]，求出导数和极值点，计算端点处的函数值，比较可得最大值M （a ，b ），即可得到所求最小值．【解答】解：由题意可得a ≤0，b ≤0，f （x ）可取得最大值，即有f （x ）=x+﹣ax ﹣b ，x ∈[，2]，f′（x ）=1﹣﹣a=，由f′（x ）=0可得x=（负的舍去），且为极小值点，则f （）=﹣a ﹣b ，f （2）=﹣2a ﹣b ，由f （）﹣f （2）=a ＜0，即有f （2）取得最大值，即有M （a ，b ）=﹣2a ﹣b ，则a ≤0，b ≤0时，M （a ，b ）≥．可得最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f（x ）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g （x ）=f （x ）+f （x ﹣），求g （x ）的单调递减区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（1）根据函数f （x ）的最小正周期求出ω的值，再根据f （x ）图象的对称轴求出φ的值；（2）根据f （x ）的解析式写出g （x ），利用三角恒等变换化g （x ）为正弦型函数，再求出它的单调递减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，∴T==π，∴ω=2；又x=为f（x）图象的一条对称轴，∴2x+φ=kπ+，k∈Z，∴f（x）图象的对称轴是x=+﹣，k∈Z；由=+﹣，解得φ=kπ+，又|φ|≤，∴φ=；（2）∵f（x）=sin（2x+），∴g（x）=f（x）+f（x﹣）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+sin2x=sin（2x+），令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z．19．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AO⊥PO，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=，又∵PO=1，PA=2，∴PO2+AO2=PA2，∴AO⊥PO，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，1），=（1，0，﹣1），=（﹣1，，0），=（0，，1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ===．∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．20．已知函数f（x）=x3+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值（用a表示）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可．【解答】解：（1）a=1，x＜1时，f（x）=x3+1﹣x，f′（x）=3x2﹣1，故f（0）=1，f′（0）=﹣1，故切线方程是y=﹣x+1；（2）a∈（0，1）时，由已知得f（x）=，a＜x＜1时，由f′（x）＞0，得f（x）在（a，1）递增，﹣1＜x＜a时，由f′（x）=3x2﹣1，①a∈（，1）时，f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1）递增，=min{f（﹣1），f（）}=min{a，a﹣}=a﹣，∴f（x）min②a∈（0，]时，f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，a）递减，在（a，1）递增，∴f（x）=min{f（﹣1），f（a）}=min{a，a3}=a3；min综上，f （x ）min =．21．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c ，0）的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过点F 作l 的垂线，交直线x=于P 点，若的最小值为，试求椭圆C 率心率e 的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b 2=a 2﹣c 2，解得a ，b 即可．（2）设直线l 的方程，A ，B ，P 坐标，|PF|=．联立，化为：（b 2m 2+a 2）y 2+2mcb 2y ﹣b 4=0．|AB|==． =≥．即可求得椭圆C 率心率e 的取值范围【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b 2=a 2﹣c 2，解得a=2，c=1，b 2=3．∴椭圆的标准方程为=1．（2）设直线l 的方程为：x=my+c ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．P （）|PF|=．联立，化为：（b 2m 2+a 2）y 2+2mcb 2y ﹣b 4=0．∴y 1+y 2=﹣，y 1•y 2=，∴|AB|==．∴=≥．令，⇒b 2t 2﹣2cbt+c 2≥0，上式在t ≥1时恒成立，∴椭圆C 率心率e 的取值范围为（0，1）22．已知数列{a n }满足：a 1=，a n+1=+a n （n ∈N *）．（1）求证：a n+1＞a n ；（2）求证：a 2017＜1；（3）若a k ＞1，求正整数k 的最小值．【考点】数列递推式．【分析】（1）a n+1﹣a n =≥0，可得a n+1≥a n ．a 1=，可得a n．可得a n+1﹣a n =＞0，即可证明．（II ）由已知==，=﹣，利用累加求和可得：=++…+，当k=2017时，由（I ）可得： =a 1＜a 2＜…＜a 2016．可得﹣=++…+＜＜1，即可证明．（III ）由（II ）可得：可得：=a 1＜a 2＜…＜a 2016＜a 2017＜1．可得﹣=++…+＞2017×＞1，即可得出．【解答】（1）证明：a n+1﹣a n =≥0，可得a n+1≥a n ．∵a 1=，∴a n ．∴a n+1﹣a n =＞0，∴a n+1＞a n ．（II ）证明：由已知==，∴=﹣，由=，=，…，=，累加求和可得：=++…+，当k=2017时，由（I ）可得： =a 1＜a 2＜…＜a 2016．∴﹣=++…+＜＜1，∴a 2017＜1．（III ）解：由（II ）可得：可得： =a 1＜a 2＜…＜a 2016＜a 2017＜1．∴﹣=++…+＞2017×＞1，∴a 2017＜1＜a 2018，又∵a n+1＞a n ．∴k 的最小值为2018．。

数学卷·2017届浙江省杭州市高三上学期教学质量检测(2017.01)

2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学检测试卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合}1|1||{≤-=x x A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则集合=B A I （）A. }2,0{B. }2,2{-C. }2,1,0{D. }0,1,2{-- 2.命题“0||||≠+y x ”是命题“0≠x 或0≠y ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（） A.101 B. 103 C. 21 D. 1074.设复数i 2321+-=ω（其中i 是虚数单位），则=+ω1（） A. ω- B. 2ω C. ω1-D.21ω5.已知直线022=-+y x 经过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A. 14522=+y xB. 1422=+y x C. 14922=+y x D. 14622=+y x 6.已知21212100x ex x x x x <+>>，，（e 为自然对数的底数），则（） A. 121>+x x B. 121<+x x C.e x x 11121<+ D. ex x 11121>+ 7.设O 是ABC ∆的内心，b AC c AB ==，，若AC AB AO 21λλ+=，则（）A.c b =21λλB. c b =2221λλC. 2221b c =λλD. bc =2221λλ 8.若不等式0))(3(2≤-+b x ax 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，则（）A. 92=ab B. 092<=a b a ， C. 092<=a a b ， D. a b 92=9.在ABC ∆中，5=AC ，02tan52tan12tan1=-+B C A，则=+AB BC （）A. 6B. 7C. 8D. 910.设函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象经过点))(,(11m f m A 和点))(,(22m f m B ，0)1(=f .若0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a ，则（）A. 0≥bB. 0<bC. 03≤+c aD. 03<-c a 非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题4分，共36分） 11.=+5lg 2lg ________；313log 822-=________.12.双曲线1422=-y x 的渐近线方程是________，离心率是________. 13.已知随机变量ξ的分布列为：若3)(=ξE ，则=+y x ________，=)(ξD _________. 14.设函数x x x f ln )(=，则点)0,1(处的切线方程是________；函数x x x f ln )(=的最小值为_________.15.在2016)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=x 时，=S ________.16.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-102012x y x y x ，则由点),2(y x y x P +-形成的区域的面积为_________.17.设函数bx ax x f 22)(2+=，若存在实数),0(0t x ∈，使得对任意不为零的实数b a ,均有b a x f +=)(0成立，则t 的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（本题满分14分）设)(21cos sin 3sin )(2R x x x x x f ∈-+=. （1）求函数)(x f 的最小正周期与值域；（2）设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A 为锐角，432==c a ，，若1)(=A f ，求b A ,.19.（本题满分15分）在平面直角坐标系内，点)01()1,0()1,0(，，，C B A -，点P 满足2||k =⋅.（1）若2=k ，求点P 的轨迹方程；（2）当0=k 时，若4||max =+BP AP λ，求实数λ的值.20.（本题满分15分）设函数]1,0[11)(2∈++=x x x x f ，. （1）证明：9894)(2+-≥x x x f ；（2）证明：23)(8168≤<x f .21.（本题满分15分）已知Q P ,为椭圆1222=+y x 上的两点，满足22QF PF ⊥，其中21,F F 分别为左右焦点.（1）求||21PF +的最小值；（2）若)()(2121QF PF +⊥+，设直线PQ 的斜率为k ，求2k 的值.22.（本题满分15分）设数列}{n a 满足)(312211*+∈+==N n n a a a a n n n ，.（1）证明：)(11*+∈<<N n a a n n ；（2）证明：)(12*∈+≥N n n na n . 2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学参考答案及评分标准二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11．1,1 12．y ＝±12x13．12，119 14．y ＝x －1；－1e15．－2302316．117．()1,+∞三、解答题：（本大题共5小题，共 74分）18．（本题满分14分）解：（I ）化简得：f (x )＝sin(2x －π6)（x ∈R ），所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7分（II ）因为f (A )＝sin(2A －π6)＝1．因为A 为锐角，所以2A －π6∈(－π6,5π6)，所以2A －π6＝π2，所以A ＝π3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋4＝0．解得b ＝2． ………………………………7分19．（本题满分15分）解：（I ）设P (x ,y )，则AP u u u r ＝(x ,y －1)，BP u u r＝(x ,y ＋1)，PC u u u r ＝(x －1,y )．因为k ＝2，所以 22||AP BP PC ⋅=u u u r u u r u u u r，所以 (x ,y －1)▪(x ,y ＋1)＝2[(x －1)2＋y 2]，化简整理，得 (x －2)2＋y 2＝1，故点P 的轨迹方程为 (x －2)2＋y 2＝1．……………………………7分（II ）因为k ＝0，所以0AP BP ⋅=u u u r u u r，所以 x 2＋y 2＝1．所以 |λAP u u u r ＋BP u u r |2＝λ2AP u u u r 2＋BP u u r2＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2＝(2－2λ2) y ＋2λ2＋2（y ∈[－1,1]）．当2－2λ2＞0时，即－1＜λ＜1， (|λAP u u u r ＋BP u u r|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP u u u r ＋BP u u r|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8分 20．（本题满分15分）解：（I ）令g (x )＝f (x )－x 2＋49x －89，即g (x )＝11x +＋49x －89，所以22248521)(25)()=9(1)9(1)x x x x g x x x +--+'=++（，所以g (x )在102⎛⎫⎪⎝⎭，上递减，在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，所以g (x )≥12g ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，所以f (x )≥x 2－49x ＋89． ………………………………7分（II ）因为3222421()(1)x x x f x x ++-'=+，x ∈[0,1]，设h (x )＝2x 3＋4x 2＋2x －1，h ′(x )＝6x 2＋8x ＋2，因为h (0)＝－1，h (1)＝7，所以存在x 0∈(0,1)，使得f ′(x )＝0，且f (x )在(0, x 0)上递减，在(x 0,1)上递增，所以 f (x )max ＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝32．由（I ）知，f (x )≥x 2－49x ＋89＝2268981x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥6881，又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝11126881>，277368=989181f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以6881＜f (x )≤32． ………………………………8分21．（本题满分15分）解: （I ）因为122PF PF PO +=u u u r u u u u r u u u r（O 为坐标原点），显然min ||1PO =u u u r，所以12||PF PF +u u u r u u u r的最小值为2． ………………………………5分（II ）由题意，可知OP OQ ⊥．又22F P F Q ⊥，所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PF 2Q 的公共斜边，即得线段PQ 的中点到O ，F 2两点的距离相等，即线段PQ 中点的横坐标为12．设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，联立椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0．设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则x 1＋x 2＝－2412kbk +．又因为 x 1＋x 2＝1，所以 1＋2k 2＝－4kb ，（1）另一方面，x 1x 2＝222212b k-+，y 1y 2＝222222212k b k kb b k -+++．由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得2222222222201212b k b k kb b k k --+++=++，即 4k 2b 2＋2k 3b －2k 2＋3b 2＋kb －2＝0，（2）由（1）（2），得－20k 4－20k 2＋3＝0，解之得2k =．………………10分 22．（本题满分15分）证明：（I ）易知a n ＞0，所以a n ＋1＞a n ＋22na n＞a n ，所以 a k ＋1＝a k ＋22k a k ＜a k＋12k k a a k +，所以21111k k a a k+-<．所以，当n ≥2时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--，所以a n ＜1．又1113a =<，所以a n ＜1（n ∈N *），所以 a n ＜a n ＋1＜1（n ∈N *）． ………………………………8分（II ）当n ＝1时，显然成立．由a n ＜1，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，所以，当n ≥2时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n +=--=，即21n na n >+．所以21n na n ≥+（n ∈N *）． ………………………………7分。

浙江省杭州市2016-2017学年高三下学期联考理数试题Word版含解析

浙江省杭州市2016-2017学年高三下学期联考理数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设a R ∈，则“1a <”是“11a>”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：111110001a a a a a->⇔->⇔>⇔<<，故是必要不充分条件，故选B ．考点：1.解不等式；2.充分必要条件．2.已知集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，则集合{|x x M ∈且}x N ∉为（）A. (0,3] B ．[4,3]- C ．[4,0)- D ．[4,0]-【答案】D.【解析】试题分析：由题意得，[4,3]M =-，(0,3]N =，而所求集合即为[4,0]R M C N =- ，故选D ．考点：1.函数的性质；2.集合的关系．3.如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，该多面体为如下几何体，最长的棱长为AC ==C ．考点：空间几何体三视图．4.已知抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为30 ，则||||AF BF 等于（） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32【答案】A.【解析】试题分析：根据抛物线的性质可得，1||1cos 603||1cos 60AF BF -==+，故选A ．考点：抛物线的标准方程及其性质．5．已知命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数(2)f x -为奇函数，则()f x 关于(2,0)-对称，则下列命题是真命题的是（）A ． p q ∧B ． p q ∨C ．()()p q ⌝⌝∧D ．()p q ⌝∨【答案】D.【解析】试题分析：p ：()|cos 2|f x x =，周期为2π，故p 是假命题；q ：(2)f x -的图象为()f x 的图象向右平移2个单位得到，故()f x 的图象关于(2,0)-对称，故q 是真命题，∴p q ∨是真命题，故选B ．考点：1.函数的性质；2.复合命题判断．6.设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >D ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】C.【解析】试题分析：由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-可知A ，B 正确；C ：{}n S 递增1n n S S +⇒>对任意*n N ∈恒成立，∴10n a +>，故无法得到0n S >故C 错误；D ：条件等价于0d >，10a >，故{}n S 递增，∴D 正确；故选C ．考点：等差数列的前n 项和．7.已知O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-= ，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为13，则λ的值为（）A. 32B. 2C. 13 D. 12【答案】D.【解析】试题分析：由题意得，11332OAB OAC S S λλλ∆∆-==⇒=，故选A ．考点：平面向量的线性运算．8.已知函数24()(0)1x f x x x x x =--<-，2()2(0)g x x bx x =+->，b R ∈，若()f x 图象上存在A ，B 两个不同的点与()g x 图象上'A ，'B 两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（）A．(5,)-+∞ B．5,)+∞ C．(5,1)- D．5,1)【答案】D.【解析】试题分析：设()g x 函数图象上任一点2(,2)x x bx +-，其关于y 轴的对称点为2(,2)x x bx -+-， ∴由题意可知方程22242(1)(1)201x x bx x x b x b x x -+-=+-⇒-++-=--在(0,)+∞上有两个不等实根，∴2(1)8(1)01051102(1)b b b b b b ⎧⎪∆=++->⎪⎪-<⇒<<⎨⎪+⎪->-⎪⎩，即实数b的取值范围是5,1)，故选D ．考点：函数与方程．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9.已知圆22:250M x y x +++-=，则圆心坐标为；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 .【答案】(1,-，0x =.考点：圆的标准方程.10.已知单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q = ，通项公式为n a = . 【答案】12，61()2n -.【解析】试题分析：由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=， ∴2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或2（舍），∴通项公式3631()2n n n a a q --==，故填：12，61()2n -. 考点：等比数列的通项公式及其运算11.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--，x R ∈，则函数()f x 的最小值为，函数()f x 的递增区间为 .【答案】2-，[,]63k k ππππ-++，k Z ∈. 【解析】试题分析：211cos 21()cos cos 2sin(2)122226x f x x x x x x π+=--=--=--，故最小值是2-，令22226263k x k k x k πππππππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+，k Z ∈，故单调递增区间是[,]63k k ππππ-++，k Z ∈，故填：2-，[,]63k k ππππ-++，k Z ∈.考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.12. 已知实数m ，n ，且点(1,1)在不等式组2221mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则2m n +的取值范围为，22m n +的取值范围为 . 【答案】3[,4]2，[1,4].【解析】试题分析：由题意得，2221m n n m n +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出不等式所表示的平面区域，作直线l ：20m n +=，平移l ，从而可知当12m =-，1n =时，min 3(2)2m n +=，当0m =，2n =时，max (2)4m n +=，故2m n +的取值范围是3[,4]2，而22m n +的几何意义为点(,)m n 与原点距离的平方，故取值范围是[1,4]，故填：3[,4]2，[1,4].考点：线性规划.13.已知x ，(0,)2y π∈，且有2sin x y =，tan x y ，则cos x = . 【答案】12. 【解析】试题分析：2sin x y ，sintan cos cos x x y y x x =⇒=⇒=⇒=， ∴2222222221sin cos sin 2cos cos 2cos 1cos 3332y y x x x x x +=+=-+=⇒=，故填：12. 考点：同角三角函数基本关系.学科网14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 . 【答案】75. 【解析】试题分析：由双曲线的性质可知，1||2PF c =，2||22PF c a =-，∴2||33QF c a =-，1||3FQ c a =-， ∴222222221244()4425()(3)cos 5127022(22)225()c c a c c c a c a F PF c ac a c c a c c a +--+---∠==⇒-+=⋅⋅-⋅⋅- 7()(57)05c c a c a e a --=⇒==，故填：75. 考点：双曲线的标准方程及其性质.15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .. 【解析】试题分析：不妨设正四面体棱长为2，取CD 中点F ，连AF ，EF ，从而AEF ∠即为直线AE 与α所成角的最大值，在AEF ∆中，cosAEF ∠==∴s i n AEF ∠==，故填：6.考点：立体几何中的最值问题.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(54,4)m a c b =- 与向量(cos ,cos )n C B = 共线.（1）求cos B ；（2）若b =5c =，a c <，且2AD DC = ，求BD 的长度.【答案】（1）45；（2）3. 【解析】试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到A ，B ，C 满足的一个式子，再进行三角恒等变形即可求解；（2）将已知条件中的式子变形，两边平方利用余弦定理求解. 试题解析：（1）∵(45,5)m a c b =- 与(cos ,cos )n C B = 共线，∴54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A C b B B--==， ∴4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B +=，∴4sin()4sin 5sin cos B C A A B +==，∵sin 0A ≠，∴4cos 5B =；（2）b =5c =，a c <，且4cos 5B =， ∴2222cos a c ac B b +-=，即242525105a a +-⋅⋅=，解得3a =或5a =（舍）， ∵2AD DC = ，∴1233BD BA BC =+ ，∴222141229933BD BA BC BA BC =++⋅⋅⋅ 221412c 2cos 9933a a c B =++⋅⋅⋅⋅，将3a =和5c =代入得：21099BD = ，∴=3BD .考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形．17.（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160BAA ∠= ，112AA A D ==，1BC =．（1）证明：直线//MD 平面ABC ；（2）求二面角1B AC A --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）14.（1）设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z = ，则0m BA x ⋅=-= ，0m BC z ⋅== ，取,0)m = ， ∵ 1(,22MD =- ，0022m MD ⋅=-+= ， ∴ m MD ⊥ ，又∵MD ⊄平面ABC ， ∴直线//MD 平面ABC ；（2）设平面1ACA 的法向量为111(,,)n x y z = ，(1,AC = ，1(2,0,0)AA = ，1110m AC x z ⋅=+= ，110m AA x ⋅== ，取(0,1n = ，又由（1）知平面ABC的法向量为,0)m = ，设二面角1B AC A --为θ，∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||224||||m n m n θ⋅===⋅⋅ ，∴二面角1B AC A --的余弦值为14．考点：空间向量解立体几何题．18.（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”，已知函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈.（1）若0b =，1a =，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（2）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a ，b 的值.【答案】（1）[0,1]，[0,3]；（2）12a b =⎧⎨=⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】试题分析：（1）对m ，n 的取值情况分类讨论，利用二次函数的性质可建立相关方程组，从而求解；（2）根据对称轴的位置对a ，b 的取值情况分类讨论，建立相关方程组，从而求解.试题解析：（1）0b =，1a =，2()|2|g x x x =-是“可等域函数”，∵22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，∴0n m >≥，结合图象，由()g x x =得0x =，1，3，函数()g x 的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求（此区间没说明，扣1分）；（2）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-，∵区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，∴11a +>即0a >当01a <≤时，则(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；当12a <≤时，则()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；当2a >时，则()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想．19.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点1A ，2A ，椭圆上不同于1A ，2A 的点P ，1A P ，2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A ∆面积最大值为6. （1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，求k 的取值范围．【答案】（1）22194x y +=；（2）(,2][2,)k ∈-∞-+∞ .. 【解析】试题分析：（1）根据题意可列出关于a ，b ，c 的方程，从而求解；（2）联立直线CD 与椭圆的方程，首先求得能够垂直平分时k 的取值范围，再取补集即可求解.试题解析：（1）由已知得1(,0)A a -，2(,0)A a ，(,)P x y ，∵1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-， ∴122249A P A P y y b k k x a x a a ⋅=⋅=-=--+，又∵12PA A ∆的面积最大值为1262a b ⋅⋅=， ∴32a b =⎧⎨=⎩，∴椭圆E 的方程为：22194x y +=；（2）假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，当0k =显然符合题，当0k ≠时，设(,)C C C x y ，(,)D D D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k =-+与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k +-+-=， ∴0∆>得222490k m k -+>……（1）式，由韦达定理得：0218249C D km x x x k +==+，∴02949km x k =+，代入1y x m k =-+得202449k m y k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……（2）式，将（2）式代入（1）式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠，综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞ .考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.分类讨论的数学思想．20.（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （1）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，设*211()n n b n N a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：231n n T n ≥+. 【答案】（1）2n a n n =+；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据题意求出r 的值，再利用2n ≥时，1n n n a S S -=-，将条件中的式子等价转化为数列{}n a 的一个递推公式，即可求解；（2）首先由（1）可求得{}n b 的通项公式，再对n T 进行等价变形为111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n =+++++++++++-+-++ ，即可得证. 试题解析：（1）令1n =，得113r +=，∴23r =，则12()33n n S n a =+，∴1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-，∴324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅- ，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， ∴2(2)n a n n n =+≥，又∵12a =适合2(2)n a n n n =+≥，∴2n a n n =+；（2）由（1）知21(21)2n a n n -=-⋅，∴211111(21)2212n n b a n n n n-===---，∴11223+1T =≥不等式成立，∴11111111(2)123456212n T n n n =-+-+-++-≥- ∴11111112()1232242n T n n=++++-+++ 1111111=()123212n n ++++-+++ ，∴111122n T n n n=+++++ ， ∴111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n =+++++++++++-+-++ ∵1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++（仅在12n k +=时取等号） ∴4231n n T n ≥+，即结论231n n T n ≥+成立.（数学归纳法按步骤酌情给分）考点：1.数列的通项公式；2.数列与不等式综合．。

浙江省杭州市高三上学期期末数学试题

2017学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合{||2|2}A x x =+≤，[0,4]B =，则()R C AB =（）A ．RB ．{0}C ．{|,0}x x R x ∈≠D ．∅2.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A ．12y x =± B ．2y x =± C．y = D．y =3.设数列{}n a 的通项公式为*2()n a kn n N =+∈则“2k >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.若函数()f x 的导函数'()f x 的图像如图所示，则（）A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值 C. 函数()f x 有3个极大值，1个极小值 D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5.若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（） A ．1 B ．2 C.-1 D ．-26.设不等式组01y x y y mx ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，所表示的区域面积为()S m R ∈.若1S ≤，则（）A ．2m ≤-B ．20m -≤≤ C.02m <≤ D ．2m ≥7.设函数2()1x f x b a =+-（0a >且1a ≠）则函数()f x 的奇偶性（） A ．与a 无关，且与b 无关 B ．与a 有关，且与b 有关 C. 与a 有关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关8.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（）A ．αβγ<<B ．αγβ<< C. βαγ<< D ．γβα<<9.设函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数|()|y f x =在[1,1]-上的最大值，N 为||||a b +的最大值.（）A ．若13M =，则3N =B ．若12M =，则3N = C.若2M =，则3N = D ．若3M =，则3N =10.在四边形ABCD 中，点,E F 分别是边,AD BC 的中点，设AD BC m ⋅=，AC BD n ⋅=.若AB =1EF =，CD = ）A ．21m n -=B ．221m n -= C. 21m n -= D ．221n m -=非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，15-17每小题4分，共36分）11.设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为，虚部为．12.在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ= ，方差D ξ的最大值为．13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a =，3b =，sin 2sin C A =，则sin A = ；设D 为AB 边上一点，且2BD DA =，则BCD ∆的面积为． 14.如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为；表面积为．15.在二项式25()()ax a R x+∈的展开式中，若含7x 的项的系数为-10，则a = ．16.有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有种． 17.已知单位向量2,e e 的夹角为3π，设122a e e λ=+，则当0λ<时，||a λ+的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.设向量(23sin ,cos )a x x =-，(cos ,2cos )b x x =，()1f x a b =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若方程2()||()f x t t t R =-∈无实数解，求t 的取值范围.19.如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=︒，2AC AD ==，3AB =.（Ⅰ）证明：AB CD ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值. 20.设函数22()()1f x x R x =∈+. （Ⅰ）求证：2()1f x x x ≥-++；（Ⅱ）当[1,0]x ∈-时，函数()2f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知椭圆22:132x y C +=，直线:(0)l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若||m >，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.22.设数列{}n a 满足13a =，2*1(1)20()nn n a a a n N +-++=∈. （Ⅰ）求证：1n a >；（Ⅱ）求证：12n n a a +<<；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1222()233()23n n n S n -≤-≤-.试卷答案一、选择题1-5:CBABC 6-10:ADACD二、填空题11.2，1 12. p ；1413. 5；2 14. 3；315.-2 16. 36 17. (1,2)-三、解答题18.解：（Ⅰ）因为2()1cos 2cos 1f x a b x x x =⋅+=-+2sin(2)6x π=-，故()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）若方程2()||f x t t =-无解，则2max ||()2t t f x ->=，所以22t t ->或22t t -<-，由22t t ->解得2t >或1t <-；由22172()022t t t -+=-+>，故不等式22t t -<-无解，所以2t >或1t <-.19.解：（Ⅰ）∵60BAC CAD DAB ∠=∠=∠=︒，3AB =，2AC AD ==， ∴ABC ABD ∆∆≌，BC BD =.取CD 的中点M ，连接,AM BM ，则CD AM ⊥，CD BM ⊥，又AM BM M ⋂=，∴CD ⊥平面ABM ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）在ABD ∆中，根据余弦定理，得2222cos607BD AB AD AB AD =+-⋅︒=，所以BD =1DE =，所以BE =AE =所以222AB BE AE =+，即AE BE ⊥. 方法一：设CD 到平面ABD 的距离为h ，CD 与平面ABD 所成的角为α，因为A BCD C ABD V V --=，即1133ABE ABD CD S h S ∆∆⋅=⋅，所以122132sin 602ABEABDCD S h S ∆∆⋅⋅===⋅⋅⋅︒，所以sin h CD α=，所以CD 与平面ABD. 方法二：则以AE 为z 轴，BE 为x 轴，CE 为y 轴，建立坐标系，则(0,1,0)A ，,(0,1,0)B -，C，D .所以(0,2,0)CD =-，(6,0,AB =，(0,1,AD =-. 设平面ABD 的法向量为(,,)m x y z ，则0y =-=⎪⎩，取m=，则cos ,CDm ==即CD 与平面ABD.20.解：（Ⅰ）原不等式等价于4310x x x --+≥，设43()1g x x x x =--+，所以322'()431(1)(41)g x x x x x x =--=-++，当(,1)x ∈-∞时，'()0g x <，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增. 又因为min ()(1)0g x g ==，所以()0g x >. 所以2()1f x x x ≥-++.（Ⅱ）当[1,0]x ∈-时，()2f x ax ≥+恒成立，即221xa x -≥+恒成立. 当0x =时，2201xx -=+；当[1,0)x ∈-时，而222111()x x x x --≤=++--，所以1a ≥.21.解：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得222(23)6360k x kmx m +++-=，所以222(6)4(23)(36)0km k m ∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得k >或k <. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122623kmx x k-+=+，21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，所以2121212y y k k k x x ==，即21212()()kx m kx m k x x ++=，化简，得22236k k +=，即223k =.因为12|||AB x x -=，原点O 到直线AB的距离|h m ==，所以OAB S∆1||2AB h =⋅=2233(6)222m m +-=，当m =OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以2S ∈. 22.解：（Ⅰ）整理得121n n na a a +=+-，因为12111n n na a a +=+-≥>，故1n a >. （Ⅱ）又因为1223n n n a a a +-=+-(2)(1)nn na a a --=，因为1n a >，所以12n a +-与2n a -同号，所以12n a +-与12a -同号，因为12a >，所以12n a +>，那么1210n n na a a +-=-<，则1n n a a +<，所以12n n a a +<<. （Ⅲ）由（Ⅱ）知1(2)(1)2n n n n a a a a +---=，故12112n n na a a +-=--，因为112n a a +<<，所以111121123n a a <-≤-=，故1212223n n a a +-≤≤-，所以1112()2()23n n n a ++≤-≤，不等式三边同时求和，得122(1())23(1())23n n n S n -≤-≤-，所以1222()233()23n n n S n -≤-≤-.。

浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(word版含答案)

2016-2017学年浙江省杭州市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A. {3}B. {2，3}C. {0，2，3}D. {﹣2，0，2}【答案】B【解析】∵A=1,2,3∴A∩B=2，3,选B点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A. 55 B. 255C. 355D. 455【答案】B【解析】d=1+4=255选B3. 设向量a =（﹣1，﹣1，1），b=（﹣1，0，1），则cos＜a，b＞=（）A. B. 22C. 32D. 63【答案】D【解析】cos a,b=++3⋅263选D4. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0时，由两个y值与其对应，故选C5. sin15°cos15°=（）A. B. 34C. D. 32【答案】A【解析】sin15°cos15°=12⋅2sin15°cos15°=12sin30°=14，选A6. 函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A. （0，1）B. [0，1]C. （﹣∞，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】x2−x>0,解得x<0或x>1，则定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)，选C7. 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若l∥α，m∥α，则l∥mB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC. 若l∥α，m⊂α，则l∥mD. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α【答案】D【解析】选项A错误，两直线可能相交；选项B错误，直线可能在平面α内；选项C 错误，只有当直线l,m在同一平面内时有l//m选项D正确，故选D8. 若x∈R，则“x＞1”是“1x<1”的（）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当x>1时，有1x <1；当1x<1时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“1x<1”的充分非必要条件，故选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．9. 下列函数是奇函数的是（）A. f（x）=x2+2|x|B. f（x）=x•sinxC. f（x）=2x+2﹣xD. f(x)=cos xx【答案】D【解析】选项A：f（−x）=x2+2x=f(x)，是偶函数；选项B：f（−x）=−x•si n−x=x sin x，偶函数；选项C：f（−x）=2−x+2x=f x，偶函数；选项D：f−x=cos（−x）−x =−cos xx=−f x，奇函数，故选D10. 圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为(−2,0)，(2,1)，圆心距为+1=17，两圆的半径分别为2,3，由于3−2<17<3+2，所以两圆相交。

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2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4.00分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．（4.00分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4.00分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．4．（4.00分）设复数ω=﹣+i，则1+ω=（）A．﹣ω B．ω2C．D．5．（4.00分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（4.00分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（）A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．+＜D．+＞7．（4.00分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A． B．C．D．8．（4.00分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（）A．ab2=9 B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a9．（4.00分）在△ABC中，AC=5，+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．910．（4.00分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）•a+f（m1）•f（m2）=0，则（）A．b≥0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11．（6.00分）lg2+lg5=；=．12．（6.00分）已知双曲线，则其渐近线方程为，离心率为．13．（6.00分）已知随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．14．（6.00分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是；函数f（x）=xlnx的最小值为．15．（4.00分）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于．16．（4.00分）若实数x，y满足，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区域的面积为．17．（4.00分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（14.00分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．19．（15.00分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P满足．（1）若k=2，求点P的轨迹方程；（2）当k=0时，若，求实数λ的值．20．（15.00分）设函数．（1）证明：；（2）证明：．21．（15.00分）已知P，Q为椭圆上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，F2分别为左右焦点．（1）求的最小值；（2）若，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．22．（15.00分）设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4.00分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1≤x﹣1≤1，解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：C．2．（4.00分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题的等价形式：若x=0且y=0，则|x|+|y|=0，则为真命题，反之若|x|+|y|=0，则若x=0且y=0，即若x=0且y=0是|x|+|y|=0，成立的充要条件，则命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的充要条件，故选：C．3．（4.00分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选：B．4．（4.00分）设复数ω=﹣+i，则1+ω=（）A．﹣ω B．ω2C．D．【解答】解：∵复数ω=﹣+i，∴1+ω=1+（﹣）=，根据ω的特点得到结果，故选：C．5．（4.00分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，可得c=1，b=2，可得a=，则椭圆的方程为：．故选：A．6．（4.00分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（）A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．+＜D．+＞【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），∴==＜e，而（x1+x2）（）=1++1≥2+2=4．即（x1+x2）（）≥4，又＜e，∴＞1．故选：A．7．（4.00分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A． B．C．D．【解答】解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，则a×+b×+c×=0，∴a×+b×（+）+c×（+）=0，∴（a+b+c）=b+c，∴=+，∵，∴λ1=，λ2=，∴=故选：A．8．（4.00分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（）A．ab2=9 B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴当x=0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，若b=0，则g（x）=x2＞0，函数f（x）=ax+3的零点为x=﹣，则函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，此时不满足条件；若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；∵函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，则（﹣，+∞））上f（x）＜0，而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=，且g（x）在（0，）上g（x）＜0，则（，+∞）上g（x）＞0，∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则函数f（x）与g（x）的零点相同，即﹣=，∴a2b=9，故选：B．9．（4.00分）在△ABC中，AC=5，+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则tan=，tan=，tan=．∵+﹣=0，∴，∴AF+CF=5BD，即AC=5BD，又∵AC=5，∴BD=1，∴BE=BD=1，∴BC+AB=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=AC+2BD=7．故选：B．10．（4.00分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）•a+f（m1）•f（m2）=0，则（）A．b≥0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，∴a+b+c=0．若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，∴c＜0成立．∵a2+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）•f（m2）=0∴[a+f（m1）]•[a+f（m2）]=0，∴m1，m2是方程f（x）=﹣a的两根∴△=b2﹣4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a﹣c）≥0而a＞0，c＜0∴3a﹣c＞0，∴b≥0．故选：A．二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11．（6.00分）lg2+lg5=1；=1．【解答】解：lg2+lg5=lg（2×5）=lg10=1，=3﹣=3﹣2=1，故答案为：1，112．（6.00分）已知双曲线，则其渐近线方程为，离心率为．【解答】解：双曲线的标准方程得：，∴a=2，b=1，∴c2=a2+b2=5，∴c=∴则其渐近线方程为，离心率：，故答案为：；．13．（6.00分）已知随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．【解答】解：由题意可得：x+y+=1，﹣1×x+0+1×+2y=，解得x=，y=．∴D（ξ）=×+×+×+=．故答案为：，14．（6.00分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是x﹣y﹣1=0；函数f（x）=xlnx的最小值为﹣．【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x﹣1即x﹣y﹣1=0．令lnx+1=0，可得x=，x∈（0，），函数是减函数，x＞时函数是增函数；所以x=时，函数取得最小值：﹣．故答案为：x﹣y﹣1=0；﹣．15．（4.00分）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于﹣23008．【解答】解：设（x﹣）2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006则当x=时，有a0（）2006+a1（）2005+…+a2005（）+a2006=0（1）当x=﹣时，有a0（）2006﹣a1（）2005+…﹣a2005（）+a2006=23009（2）（1）﹣（2）有a1（）2005+…+a2005（）=﹣23009¸即2S=﹣23009则S=﹣23008故答案为：﹣23008．16．（4.00分）若实数x，y满足，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区域的面积为1．【解答】解：设，；代入x，y的关系式得：易得阴影面积S=×2×1=1；故答案为：117．（4.00分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设k=2x﹣1，则x=，则===（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（14.00分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．【解答】（本题满分14分）解：（1）化简得：f （x）=sin（2x﹣）（x∈R），所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分）（2）因为f （A）=sin（2A﹣）=1．因为A为锐角，所以2A﹣∈（﹣，），所以2A﹣=，所以A=．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）19．（15.00分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P满足．（1）若k=2，求点P的轨迹方程；（2）当k=0时，若，求实数λ的值．【解答】（本题满分15分）解：（I）设P（x，y），则=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（x﹣1，y）．因为k=2，所以，所以（x，y﹣1）▪（x，y+1）=2[（x﹣1）2+y2]，化简整理，得（x﹣2）2+y2=1，故点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2=1．…（7分）（II）因为k=0，所以，所以x2+y2=1．所以|λ+|2=λ22+2=λ2[x2+（y﹣1）2]+x2+（y+1）2=（2﹣2λ2）y+2λ2+2（y∈[﹣1，1]）．当2﹣2λ2＞0时，即﹣1＜λ＜1，（|λ+|max）2=2﹣2λ2+2λ2+2=4≠16，不合题意，舍去；当2﹣2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤﹣1时，（|λ+|max）2=2λ2﹣2+2λ2+2=16，解得λ=±2．…（8分）20．（15.00分）设函数．（1）证明：；（2）证明：．【解答】（本题满分15分）证明：（1）令g（x）=f （x）﹣x2+x﹣，即g（x）=+x﹣，所以，所以g（x）在上递减，在上递增，所以g（x）≥=0，所以f （x）≥x2﹣x+．…（7分）（2）因为，x∈[0，1]，设h（x）=2x3+4x2+2x﹣1，h′（x）=6x2+8x+2，因为h（0）=﹣1，h（1）=7，所以存在x0∈（0，1），使得f′（x）=0，且f （x）在（0，x0）上递减，在（x0，1）上递增，所以f （x）max={ f （0），f （1）}=f （1）=．由（1）知，f （x）≥x2﹣x+=≥，又=，，所以＜f （x）≤．…（8分）21．（15.00分）已知P，Q为椭圆上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，F2分别为左右焦点．（1）求的最小值；（2）若，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．【解答】（本题满分15分）解：（1）因为（O为坐标原点），显然，所以的最小值为2．…（5分）（2）由题意，可知OP⊥OQ．又F2P⊥F2Q，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF2Q的公共斜边，即得线段PQ 的中点到O，F2两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为．设直线PQ的方程为y=kx+b，联立椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣．又因为x1+x2=1，所以1+2k2=﹣4kb，①另一方面，x1x2=，y1y2=．由x1x2+y1y2=0，得，即4k2b2+2k3b﹣2k2+3b2+kb﹣2=0，②由①②，得﹣20k4﹣20k2+3=0，解之得．…（15分）22．（15.00分）设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．【解答】（本题满分15分）＞a n+＞a n，证明：（I）易知a n＞0，所以a n+1所以a k=a k+＜a k+，+1所以．所以，当n≥2时，=，所以a n＜1．又，所以a n＜1（n∈N*），所以a n＜a n＜1（n∈N*）．…（8分）+1（II）当n=1时，显然成立．由a n＜1，知，所以，所以，所以，所以，当n≥2时，=，即．所以（n∈N*）．…（7分）。