最新2.3.2-等差数列前n项和的性质与应用导学案

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高中数学：人教A版 2.3.2 等差数列(习题课)学案

2.3.3 等差数列(习题课)-----学案一、学习目标 1．掌握a n 与S n 的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)3．会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)二、自主学习教材整理等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1.n ≥2 2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．做一做：1．下列说法中正确的有________(填序号)．(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列． (2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.(3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．(4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .【解析】 (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S n n为等差数列．(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd .(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．(4)正确．因为S 2n －1＝a 1＋a 2n －12n －12＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n .【★答案★】 (1)(3)(4)三、合作探究探究1：由数列的前n 项和S n 求a n例1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【精彩点拨】【自主解答】根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 由此可知：数列{a n }是以32为首项，以2为公差的等差数列．归纳总结1．已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．2．由数列的前n 项和S n 求a n 的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．探究2：等差数列前n 项和的性质应用例2. (1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( )A ．9B ．12C ．16D ．17(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，a 17＋a 18＋a 19＋a 20能构成等差数列．(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解．(3)解决本题关键是如何将a n 转化为用等差数列的前(2n －1)项的和表示．【自主解答】 (1)由题意知：S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列．即1,3,5,7,9，a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10. 法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a 1，公差为d .依题意可列方程组⎩⎨⎧ n ＋1a 1＋n n＋12×2d ＝132，na 2＋n －1n 2×2d ＝120，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1a 1＋nd ＝132，n a 1＋nd ＝120，所以n ＋1n ＝132120，即n ＝10. (3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. 【★答案★】 (1)A (2)10 (3)53探究3：等差数列前n 项和S n 的函数特征探究1 将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？【提示】首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n n －1×32＝32n 2＋12n ，显然S n 是关于n 的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d 2；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．探究2 已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？【提示】 S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．例3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，(1)求{a n }的通项公式；(2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S ′n .【精彩点拨】 (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．【自主解答】 (1)法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n .故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332. 距离332最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧ 33n －n 2n ≤17，n 2－33n ＋544n ≥18. 归纳总结1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．四、学以致用1．已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1；当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5，则a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－(2n 2－7n ＋5)＝2n 2－3n －2n 2＋7n －5＝4n －5.此时若n ＝1，a n ＝4n －5＝4×1－5＝－1＝a 1，故a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时，S n －1＝3n －1－2，则a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝3·3n －1－3n －1＝2·3n －1.此时若n ＝1，a n ＝2·3n －1＝2·31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以S 13＝a 1＋a 132×13＝a 7·13＝104. (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3.所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 【★答案★】 (1)104 (2)753．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|a n |}的前n 项和．【解】设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋10－1×d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3. (1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n <0，∴n >533，∴从第18项开始为负． (2)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53－3n 1<n ≤17，3n －53n >17.当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032n ；当n >17时， S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，S n ′＝－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，∴S n ′＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n n ≤17，32n 2－1032n ＋884n >17.五、自主小测1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝________.4．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为________．5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n .(1)求数列 {a n }的通项a n ；(2)求S n 的最小值及对应的n 值.参考★答案★1.【解析】由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.【★答案★】 B2.【解析】由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，求得d ＝3，故选C. 【★答案★】 C3.【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因为a 1＝1适合a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1.【★答案★】 2n －14.【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.【★答案★】－15.【解】 (1)∵S n ＝2n 2－30n ，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∵n ＝1也适合，∴a n ＝4n －32，n ∈N *.(2)法一：S n ＝2n 2－30n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1522－2252∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 法二：∵a n ＝4n －32，∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0，当n ≥9时，a n >0. ∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112.。

等差数列前n项和导学案

2.3等差数列的前n 项和【重点】探索并掌握等差数列的前n 项和公式，学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系.【难点】等差数列前n 项和公式推导思路的获得.【目标1】等差数列知识回顾；1、等差数列}{n a 中，通项公式n a =d n a )1(1-+ = d m n a m )(-+ = ),(为常数q p q pn +2、序号性质：等差数列}{n a 中，若⇒+=+q p n m q p n m a a a a +=+（该式反之不一定成立）3.在等差数列}{n a 中，n a a +1 =1-2n a a + = 2-3n a a + = …【目标2】探索并掌握等差数列的前n 项和公式；1、对于数列}{n a ，一般地称n a a a a +⋅⋅⋅+++321为数列}{n a 的前n 项和，用n S 表示，即2、=nS n a a a a +⋅⋅⋅+++321，特别地，有=1S 1a ，=1--n n S S n a .3、200多年前，高斯在小学时就告诉了我们： 1+2+3+…+100= 据此，猜想① 1+3+5+7+…+99= ② 1+2+3+4+…+n= ③等差数列}{n a 中，n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321=你能对以上公式进行严格验证吗？【落实1】高斯算法的精妙之处在于蕴含了等差数列前n 项和的一般规律性（配对思想）2、等差数列}{n a 前n 项和公式为=n S2)(1n a a n + = d n n na 2)1(1-+ =),(2为常数B A Bn An +3、探索过程中你使用了从特殊到一般的数学思想，从中知道求等差数列前n 项和的方法有倒序相加法、公式法、猜想归纳…….【目标3】学会用公式解决一些实际问题. 练一练，你能行：已知等差数列}{n a 中，（1）已知18,481-=-=a a ，求8S ；（2）已知2272-=+a a ，求8S ；（3）已知10023,21===n n S a a ，，求d ；（4）若40,19552==+S a a ，求10a .试一试，挑战自我：等差数列}{n a 中，（1）已知3020101220310S S S ，求，==；（2）已知m m m S S S 321220310，求，==.【落实2】1、求等差数列前n 项和，要根据条件灵活选用公式；2、等差公式中有n n S a n d a ,,,,1五个基本变量，已知其中任意三个，可求另外两个的值，即知三求二，从中学到的解题方法有公式法、解方程组法、基本变量法，序号性质的应用等【落实3】1、你得到了等差数列哪些有趣的性质：m m m m m S S S S S 232,,--成等差数列2、根据此题，你得到了哪些求等差数列前n 项和方法:。

《等差数列的前n项和》导学案

《等差数列的前n项和》导学案（一）1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。

重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

（1）阅读教材42---44页，回答预习案中的问题，并完成预习自测.（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.我的疑惑：复习旧知1、等差数列的定义：2、数学表达形式：3、等差数列的通项公式：（1）（2）4、等差数列的性质：二、感受新知1、上下求索路思考：如何计算1+2+3…+100的值？小组合作交流问题（1）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（2）：如何推导等差数列的前n项和公式？2、知识直通车（1）数列的前n项和定义：（2）等差数列的前n项和公式：公式1：公式2：3、实践训练营例1 求等差数列22,24,26,…前30项的和。

例2、已知一等差数列有12项，小试牛刀.,412112Saa求=+（1）已知一等差数列，（）A.45B.60C.90D.120（2）已知一等差数列， ( )A.-11B.-22C.0D.224、温馨回眸情（1）本节课学到了哪些知识？（2）你觉得本节课的难点是什么？5、课后作业必做题：教材 46页习题2.3 A 组1题和2题选做题：教材 46页习题2.3 B 组1题6、拓展应用探究：等差数列前n 项和与二次函数的关系==95,10s a 则=-=++11963s ,6则a a a n s一般地，如果一个数列的前n 项其中p,q,r 为常数，其中，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？7、课后反思 {}n ar qn n n ++=2p s 0p ≠。

高中数学等差数列的前n项和第二课时导学案

教学重点等差数列的性质。

教学难点等差数列前n项和的最值问题。

教学过程：
一、书读万变
证明如下：
二、入木三分
如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
三、授人以渔
题型一 a n 与S n 的关系
S n的性质
题型二
题型三最值问题
四、课后巩固
1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋1，则a1＝()
A．0B．1
C．2 D．3
2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＝35，则a4＝()
A．8 B．7
C．6 D．5
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()
A．5 B．4
C．3 D．2
4．若数列a1，a2，…，a10为等差数列，S10＝140，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝125，求a6.
五、教学反思。

2.3等差数列的前n和(导学案) - 副本

等差数列的前n项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学过程：一、复习：1．等差数列的定义：2．等差数列的通项公式：3．几种计算公差d的方法：4．等差数列的性质：二、新课1、创设情景泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有200层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2、分组探究（1）数列的前n项和的定义（2）如何计算1+3+5+7+9+11+13=？（3）１+２+３+…+100=？我们能否快速求和？如何求？（4）如何计算１+２+３+…+n=？（5）上面三个式子各自的数字和计算有什么共同点？思考：等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ，如何计算?321=+⋅⋅⋅+++n a a a a结论：3、例题讲解例1：已知{a n }为等差数列（1）a 1=3,a 50=101,求s 50; （2）a 1=3,d=1/2,求s 10 ；例2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？4、巩固练习根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a n｝的s n(1)a１=5,a n=95,n=10 (2)a1=100,d=－2,n=50（3）S2=7,S7=775、归纳小结6、课后作业：7、课后思考：若已知{a n}的前n项和S n=3n2+4n能否求出{a n}的通项公式，并判断该数列{a n}是否为等差数列。

等差数列前n项和公式导学案(二)

第 1 页共 2 页等差数列的前n 项和（二）一、等差数列的前n 项和的性质 1、当公差d ≠时，前n和2111(1)()222n d ds na n n d n a n =+-=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2、在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）。

3、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则232,,k k k k k S S S S S -- ，…也成等差数列。

4、若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-.5、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则数列n s n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列。

例1、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，(1)若S 9＝18，则a 12= ；(2)若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝_______.变式练习1、(1)已知一等差数列中a 7=10，则s 13=（） A 、45 B 、60 C 、 90 D 、120(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.例2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S nn，那么66a b = ；=nn b a 。

变式练习2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若313n nS n T n -=+，那么77a b = ；=nn b a 。

例3、等差数列{a n }的前5项和为30，前10项和为100，则它的前15项和为（）A.130B.170C.210D.260变式练习3、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知100s =，1525s =，则5s的值为________.巩固练习1.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，已知77521a S ==，，则 10S = (A).40 （B ）35 （C ）30 （D ）282.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=（） A ．58 B.88 C ．143 D ．173.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若44a b =6，77S T = .4.在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若20142012220142012S S -=，则2013S 的值等于（） A.2013- B ．2012- C ．2012 D ．2013 5.已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n，S10=10 ，S 30=70，则S 40等于。

2.3.2等差数列前n项和性质及应用

已知 a3 24, s11 0 求： ①数列 an 的通项公式
例４设等差数列an 的前n项和为 s n,
s ②当n为何值时， n 最大，
求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn n (a1 )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
Sn 7n 1 别是Sn和Tn,且 Tn 4n 27
a5 an 求和 . b5 bn a5 64 b5 63 an 14n 6 bn 8n 23
等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= 10 . 例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
则Sn的图象如图所示又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
Sn
3 11 n 7 2
n 3 7 11
等差数列的前n项的最值问题例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2

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B
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为()
A．9 B．8 C．7 D．6
10．设等差数列的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()
A．3 B．4 C．5 D．6
11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．
知识点三:等差数列前n项和的最值
思考:我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝ n2＋(a1－ )n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
梳理:等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
12．数列{an}的各项都为正数，且满足Sn＝ (n∈N*)，求数列的通项公式an.
13．已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn＝ (an＋2)2.
(1)求证{an}是等差数列；
(2)设bn＝ an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来学习难点等差数列前n项和性质的理解
学习过程
学习过程【导、探、议、练】
备注
导
知识点一:数列中an与Sn的关系
思考:已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
梳理:对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝
知识点二：由数列的Sn判断数列的类型
梳理:由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋ d＝ n2＋(a1－ )n.令A＝，B＝a1－，则Sn＝____________，所以Sn是关于n的常数项为0的______函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的________函数，那么这个数列也是______________数列．
练
A
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于()
A．7B．8C．9D．17
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()
A．11或12B．12
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
8．已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
类型三:求等差数列前n项的绝对值之和
例3:若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
附件（二）：调查问卷设计
§8-2购物环境与消费行为2004年3月20日
秘诀：好市口＋个性经营
（4）信息技术优势
跟踪训练3:已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．
C．13D．12或13
4．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
5．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是________．
引申探究:例1中前n项和改为Sn＝n2＋ n＋1，求通项公式．
跟踪训练1:已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
类型二:等差数列前n项和的最值
例2:已知等差数列5,4 ，3 ，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．
跟踪训练2:在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．
3.3.2等差数列前n项和的性质与应用导学案
设计
高二数学组
审核
高二数学组
授课人
课型
新授课
年级
高二
班级
小组
姓名
学习课题
使用时间
年月日第节
第课时
累计课时
学习
目标
1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式
2、会解等差数列前n项和的最值问题
3、理解an与Sn的关系，能根据Sn求an
学习重点
等差数列前n项和的性质及应用；求等差数列前n项和的最值
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
探-议
类型一:已知数列{an}的前n项和Sn求an
例1:已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋ n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
作业
1.完成课时作业
图1-1大学生月生活费分布
月生活费人数（频率）百分比
（二）对“碧芝”自制饰品店的分析
5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？
因为是连锁店，老板的“野心”是开到便利店那样随处可见。所以办了积分卡，方便女孩子到任何一家“漂亮女生”购物，以求便宜再便宜。
在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要商圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐为一大热门。在人民广场地下的迪美购物中心，有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”