第4章 扭转

4.1 概述
某轮传递功率P=30kW ，转数 n = 300 rpm， 例： 某轮传递功率 ， 则它对轴作用的外扭转力偶矩为? 则它对轴作用的外扭转力偶矩为
30 P Me = 9549 = 9549 n 300
= 954.9 N ⋅ m
思考：如果传递的功率单位为马力（ ， 思考：如果传递的功率单位为马力（PS)，那麽公 式会怎样？ 式会怎样？
W= t
πD3
16
(1−α ) =
4
π ×903
16
3) 校核强度。 校核强度。
τmax
90 − 2×15 1− 90
4
=114.9×103 mm3
Tmax 9.56×106 = = = 83.2M > [τ]=80MPa Pa 3 W 114.9×10 t
扭转切应力
τρ
Tρ = Ip
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
5. 最大切应力 当 ρ = ρmax
τ max
式中
T = Wt
Wt =
Ip
ρmax
称抗扭截面系数，单位： 称抗扭截面系数，单位：m3.
ห้องสมุดไป่ตู้
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
Ip和Wt公式
Ip =
D
πD4
32
W = t
πD3
16
Ip =
d
MC 2 C MD 3 D
4.2 扭矩 扭矩图
2)计算轴上各段的扭矩 计算轴上各段的扭矩 BA段：∑Mx =0 段 T1 = -MB =-2387.25Nm
MB B T1 MB B MA A T3 MD D T2
AC段：∑Mx =0 段 T2 = MA−MB=2387.25Nm CD段：∑Mx =0 段 T3 =MD = 954.9Nm 3) 作扭矩图 按比例绘出扭矩图如右所示。 按比例绘出扭矩图如右所示。
4.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
薄壁圆筒——壁厚 t 远小于平均半径 r 壁厚 薄壁圆筒
t
r
4.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
横截面上的切应力
γ
1. 变形特点： 变形特点： 圆周线的形状、大小、间距未变， 圆周线的形状、大小、间距未变， 绕轴线转过不同角度； 绕轴线转过不同角度； 各纵线间距未变，倾斜了相同角度。 各纵线间距未变，倾斜了相同角度。
3. 校核刚度
T1 180 10×103 × 32 180 θ1 = ⋅ = ⋅ = 0.7 o m ＜[θ] 9 4 −12 GIp1 π 80×10 ×π ×100 ×10 π
3×103 × 32 180 T2 180 θ2 = ⋅ = ⋅ = 1.7 o m ＞[θ] 9 4 −12 GIp2 π 80×10 ×π × 60 ×10 π
P 150 A = 9549 = 4774.5Nm MB n 300 1 A B P 75 MB = 9549 B = 9549 = 2387.25Nm MA n 300 P 45 C MC = 9549 = 9549 =1432.35Nm n 300 P 30 MD = 9549 D = 9549 = 954.9Nm n 300 MA = 9549
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
平面假设
横截面在扭转变形后仍保持为平面，且形状、大小、 横截面在扭转变形后仍保持为平面，且形状、大小、 间距都不变。 间距都不变。 据此假设，横截面上没有正应力，只有切应力， 据此假设，横截面上没有正应力，只有切应力，其 方向与所在半径垂直，指向扭矩的转向。 方向与所在半径垂直，指向扭矩的转向。
−τ 分别发生在α=135°和 α=45°的斜截面上。 分别发生在 ° °的斜截面上。
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
圆轴扭转强度条件
T = ≤ [τ ] W t max
τ max
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
的传动轴， 例4-2：外径 ：外径D=90mm，壁厚 ，壁厚δ=15mm的传动轴，作用有扭 的传动轴 转外力偶矩M 转外力偶矩 1=15.93kN·m，M2=M3=4.78kN·m， ， ， M4=6.37kN·m，材料的需用应力 [τ]=80MPa，试校核轴的 ， ， 强度。 强度。 1) 计算最大扭矩 max。 计算最大扭矩T 作出扭矩图，最大扭矩为 作出扭矩图，最大扭矩为Tmax=9.56kNm。 。 2) 计算 t。 计算W
D
πD4
32 d α= D
(1 −α )
4
Wt =
πD3
16
(1 −α )
4
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
圆轴扭转时斜截面上的应力
在外法线与x轴成 在外法线与 轴成α角斜面上的正应力σα和剪应力 τα分别为
σα =−τsin2α τα = τcos2α
由上式可知， 由上式可知，最大剪应力τmax=τ 发生在α=0°和 ° α=180°的横截面上；最大正应力σmax = τ 和 σmin= °的横截面上；
4.1 概述
扭转变形
传动轴
4.1 概述
Me Me φAB
A l
B
受力特点：扭转外力偶； 受力特点：扭转外力偶； 变形特点：横截面绕轴线转过不同角度。 变形特点：横截面绕轴线转过不同角度。 截面相对A 相对扭转角 φAB : B 截面相对 截面绕轴线转过的角 度。 以扭转变形为主的杆件，如圆轴。 轴 ：以扭转变形为主的杆件，如圆轴。
扭矩
Me
T
x
1. 定义：扭转内力偶矩，用 T 表示 定义：扭转内力偶矩， 2. 数值：可用截面法取局部平衡求出 数值： 数值 = 截面一侧所有外扭转力偶矩之代 数和 3. 正负号：矩向量离开截面为正（图中 为正） 正负号：矩向量离开截面为正（图中T 为正） 4. 单位：N·m 或 kN·m 单位：
4.2 扭矩 扭矩图
4.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
剪切胡克定律
当 τ ≤ τp : τ τp τ = Gγ 式中： 式中： τp—剪切比例极限 剪切比例极限 G —切变模量 切变模量 单位： 单位：GPa γ
G= E 2(1 +ν )
钢材 G = 80 GPa
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
变形特点
圆周线的形状、大小、间距不变； 圆周线的形状、大小、间距不变； 纵线间距不变，转过一个相同角度。 纵线间距不变，转过一个相同角度。
4.1 概述
扭转外力偶矩计算
当已知传递功率和转数时可用下式换算： 当已知传递功率和转数时可用下式换算：
Me = 9549 P n
式中： 传递功率， 式中：P -----传递功率，单位 kW 传递功率 n -----每分转数，单位 rpm （转/分） 每分转数， 每分转数 分 Me -----相当外扭转力偶矩，单位 N·m 相当外扭转力偶矩， 相当外扭转力偶矩
已知：MA= 1170 N·m 已知：
MB
B MB MA
MC
I C
MD
MB = MC = 351 N·m MD = 468 N·m
D
Ⅱ
A
Ⅲ
求： 作扭矩图 解： 1.计算各段扭矩 计算各段扭矩 T1= －MB = －351 N·m
TI 设正的扭矩
MB MC
TⅡ
TⅢ
MD
TⅡ =－MB －MC － 468 =－351－351 － － =－702 N·m －
4.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
∑Mx=0,
z
τ΄(dxdy)dz－τ(dxdz)dy = 0 －
τ′
τ΄= τ
dz
y
τ
dx x dy
定理：在互相垂直的两个截 定理： 面上， 面上，垂直于截面交线的切 应力数值相等， 应力数值相等，方向同时指 向截面交线， 向截面交线，或同时背离截 面交线。 面交线。
4.5 圆轴扭转变形 刚度条件
扭转变形
单位长度扭转角 相对扭转角
dϕ T = d x GIp
(rad/m )
微段变形
T T
dϕ
dϕ dx
GIp
T = GIp
dx
T dϕ = dx GIp
4.5 圆轴扭转变形 刚度条件
相对扭转角
T
T
ϕAB
A
l
B
T dx ϕAB = ∫ GIp l
正负号： 正负号：同扭矩T
当T是常数 Tl (单位： ) ϕ= rad GIp
4.5 圆轴扭转变形 刚度条件
刚度条件 T 180 dϕ θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
单位：度/米（°/m） 单位： 米 ） [θ] 值一般为： 值一般为： 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴 ( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
材料力学
龚峰
gongfeng@
第4章 扭转 章
4.1 概述 4.2 扭矩 扭矩图 4.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切 4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件 4.5 圆轴扭转变形 刚度条件 4.6 扭转静不定问题 4.7 圆柱形密圈螺旋弹簧的刚度 4.8 非圆截面杆的扭转简介 4.9 薄壁截面杆的自由扭转 4.10 应力集中
r t
dA
由 得
∫ r ⋅τ d A = 2π r t ⋅τ ⋅ r = T
A
T τ= 2 2π r t
4.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
切应力互等定理
dz dy dx
应力单元体：各边长无穷小； 应力单元体：各边长无穷小； 各面应力均匀分布； 各面应力均匀分布； 平行两面对应应力数值相等。 平行两面对应应力数值相等。 纯剪切（纯剪应力状态）： 纯剪切（纯剪应力状态）：
切应力沿半径线性分布， 切应力沿半径线性分布， 轴线处为零， 轴线处为零，外边缘处最 大。