2018届苏教版 命题及其关系、充分条件与必要条件 单元测试
苏教版(理科数学) 命题及其关系、充分条件与必要条件 单元测试
2020届苏教版（理数）命题及其关系、充分条件与必要条件单元测试一、选择题(每小题5分，共35分)1.(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b，则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c，则a≤bC.若a+c>b+c，则a>bD.若a>b，则a+c≤b+c【解析】选A.将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”.2.(2019·安庆模拟)下面命题中，错误的有_____个. ( )①若f′(x0)=0，则x0是f(x)的一个极值点②函数y=的单调递增区间为[1，+∞)③若函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)<0，对x∈(a，b)恒成立④单位正三角形ABC中，·=A.4B.3C.2D.1【解析】选A.对于①，当f′(x0)=0时，x0不一定是f(x)的极值点，如f(x)=x3在x=0时满足f′(0)=0，且x=0不是f(x)的极值点，所以①错误；对于②，由x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，所以函数y=的单调递增区间为[3，+∞)，所以②错误；对于③，函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)<0，对x∈(a，b)恒成立错误，如f(x)=-x3在R上单调递减，但f′(0)=0；对于④，单位正三角形ABC中，·=1×1×cos 120°=- ，所以④错误.综上，以上错误的命题是①②③④.3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.4.已知a，b∈R，则a>|b|是a|a|>b|b|的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a>|b|，则a>|b|≥0，a>b.则a|a|=a2，则a|a|>b|b|成立，当a=1，b=-2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不成立，即a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件.5.命题“任意x∈[1，2]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5【解析】选C.命题“任意x∈[1，2]，x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，+∞)的真子集，正确选项为C.6．a=﹣1是直线4x﹣（a+1）y+9=0与直线（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线的充要条件即可得出． 解：当a=﹣1时，两条直线分别化为：4x+9=0，y+6=0，此时两条直线相互垂直； 当a=0时，两条直线分别化为：4x ﹣y+9=0，﹣x+6=0，此时两条直线不垂直； 当a≠﹣1，0时，两条直线的斜率分别：，，∵两条直线相互垂直，∴×=﹣1，解得a=．综上可得：a=﹣1是直线4x ﹣（a+1）y+9=0与直线（a 2﹣1）x ﹣ay+6=0垂直的充分不必要条件． 故选：A ．7．()()()0,000,x f x x x p f q x x f x ===函数在处导数存在，若：：是的极值点，则（）A ． p 是q 的充分必要条件B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ． p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C【解析】根据函数极值的定义可知，函数0x x = 为函数y f x =（） 的极值点， '0f x =（） 一定成立． 但当'0f x =（）时，函数不一定取得极值，比如函数3f x x =（）． 函数导数2'3f x x =（）， 当0x = 时， '0f x =（），但函数f 3f x x =（）单调递增，没有极值．则p 是q 的必要不充分条件， 故选C ．8．“2log (23)1x -<”是“48x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．“a ＝2”是“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，直线与直线不垂直，不是充分条件；若直线与直线垂直，则，即，不是必要条件.故选D. 10．“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由,解得：，则；而反之可推出。
命题及其关系
命题及其关系、充分条件与必要条件专项训练自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案 C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0， 可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1.故 选B.3．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可得到cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )． 所以cos 2α＝12不一定得到α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．(2011·枣庄模拟)集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4，a >4a >5，但a >5⇒a >4.故选B.二、填空题(每小题4分，共12分)6．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．答案 充要7．(2011·惠州模拟)已知p ：(x －1)(y －2)＝0，q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的 ____________条件．答案 必要不充分解析 由(x －1)(y －2)＝0得x ＝1或y ＝2，由(x －1)2＋(y －2)2 ＝0得x ＝1且y ＝2，所以由q 能推出p ，由p 推不出q, 所以填必要不充分条件．8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分)B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q .则{x |綈q }Ø{x |綈p }，(6分)而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}Ø{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分)则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分)11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．(4分)于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)， 即数列{a n }为等比数列．(6分)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n 1(p －1)＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分)综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。
苏教版(文科数学) 命题及其关系、充分条件与必要条件 单元测试
2020届苏教版（文数）命题及其关系、充分条件与必要条件单元测试1．(2018·荆州模拟)设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．解析：由S4＝2S2，得a1(1＋q＋q2＋q3)＝2a1(1＋q)，即q3＋q2－q－1＝0，即(q＋1)2(q －1)＝0.∴q＝±1，即|q|＝1. 当|q|＝1时，易得S4＝2S2.∴“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．2．(2018·广东一模)“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的________条件．解析：∵常数m是2与8的等比中项，∴m2＝16，解得m＝±4．∴“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的必要不充分条件．3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．解析：当a＝3时A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.答案：充分不必要4．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的________条件．解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要5．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是________．解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：若x≥1或x≤－1，则x2≥16．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，因为A∪B＝C，所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．答案：充分必要7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：18．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．解析：若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，如y ＝f (x )＝x 2，而它不是奇函数．答案：必要不充分9．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故实数a 的取值范围是－3≤a ≤0.答案：[－3，010．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由题意得A B ，结合数轴易得a >4.答案：(4，＋∞)11．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③12．(2019·扬州四校联考)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案：①②13．(2019·南通数 基地命题)△ABC 中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：条件“△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列”⇔B ＝π3；结论“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”⇔sin(A ＋B )＝3cos A ·cos B ＋sin A cos B ⇔cos A sin B ＝3cos A cos B ⇔cos A＝0或sin B ＝3cos B ⇔A ＝π2或B ＝π3.所以条件是结论的充分不必要条件． 答案：充分不必要14．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1.答案：[1，＋∞)1．若a ，b ∈R ，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集；③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0；⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，命题的序号依次是①③②④.答案：①③②④2．(2019·无锡质检改编)若函数f (x )＝2x －( 2－3)·2－x ，则“ ＝2”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：f (x )＝2x －( 2－3)·2－x ⇒f (－x )＝2－x －( 2－3)·2x ， 因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，则 2－3＝1⇒ ＝±2，“ ＝2”是函数f (x )为奇函数的充分不必要条件．答案：充分不必要3．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．解：若命题p 为真，则当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0，解得a >1. 若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1. 由题意，可知p 、q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是{a |a >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤34或a ≥1＝{a |a >1}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |34<a <1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |34<a <1； 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．4．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5.(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分不必要条件．5．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －（3a ＋1）<0，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时， A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －2x －52<0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <52， B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －94x －12<0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12<x <94， 所以∁U B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤12或x ≥94. 所以(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫94≤x <52. (2)因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，所以－12≤a <13. 综上所述，实数a 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，p ≠1，n ∈N )，求数列{a n }是等比数列的充要条件．解： a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2，n ∈N 时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． 因为p ≠0，p ≠1，所以p n （p －1）p n －1（p －1）＝p . 若{a n }为等比数列，则a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ， 所以p （p －1）p ＋q＝p ， 因为p ≠0，所以p －1＝p ＋q ，所以q ＝－1.这是{a n }为等比数列的必要条件．下面证明q＝－1是{a n}为等比数列的充分条件．当q＝－1时，S n＝p n－1(p≠0，p≠1，n∈N)，a1＝S1＝p－1，当n≥2，n∈N时，a n＝S n－S n－1＝p n－p n－1＝p n－1(p－1)，所以a n＝(p－1)p n－1(p≠0，p≠1)，a n a n－1＝（p－1）p n－1（p－1）p n－2＝p为常数．所以q＝－1时，数列{a n}为等比数列，即“数列{a n}是等比数列”的充要条件为“q＝－1”．。
2018届苏教版 命题及其关系、充分条件与必要条件 单元测试
【母题来源一】【2016高考天津理数】【母题原题】设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与⌝q⇒⌝p，q⇒p与⌝p⇒⌝q，p⇔q与⌝q⇔⌝p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．【母题来源二】【2016高考山东理数】【母题原题】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.【母题1】已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题11:<xq 解得：01x x <>或，q ⌝为； 01x ≤≤，又1:≤x p ， 则：p 推不出q ⌝成立的，而反之可以。
即为；必要不充分条件. 考点：命题的否定与充要条件的判定.【母题2】“点P 到两条坐标轴距离相等”是“点P 的轨迹方程为||x y =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 【答案】B考点：充分条件与必要条件.【母题3】设x R ∈，则“21x -<” 是“220x x +->” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由21x -<有13x <<，解集记为{}13A x x =<<，由220x x +->有(1)(+2)0x x ->，解得1x >或2x <-，解集记为{}12B x x x =><-或，由于A B ≠⊂,,A B B A ⇒≠>,∴“21x -<” 是“220x x +->”的充分不必要条件. 考点：1.绝对值不等式的解集；2.一元二次不等式的解集；3.两个集合之间的关系；4.充分必要条件.【母题4】设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D考点：1、充分条件必要条件；2、平面向量的数量积.【方法点晴】本题是一个关于充分条件、必要条件以及平面向量的数量积方面的综合性问题，属于中档题.关于充分条件必要条件，一般按下面的方法判定，设,p q 是两个命题，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，同时q 也是p 的充分条件；如果p q ⇔，则,p q 互为充要条件；如果p 推不出q ，但是q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；如果p q ⇒，但是q 推不出p ，则p 是q 的充分而不必要条件；如果,p q 中任何一方都推不出另一方，则p 是q 的既不充分也不必要条件.【母题5】设函数)(x f 是定义在R 上的函数，)(x f '是)(x f 的导函数，则“0x 是函数)(x f 的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由题意得，函数0x x =函数()y f x =的极值点，则0)(0='x f 不一定成立，当0)(0='x f 时，如()3f x x =，其导数()23f x x '=，令()00f x x '=⇒=，但()3f x x=是单调递增函数，没有极值点，所以“0x 是函数)(x f 的极值点”是“0)(0='x f ”的既不充分也不必要条件，故选D.考点：导数与函数极值的关系.【母题6】2a =”是“函数()222f x x ax =+-在区间(],2-∞-内单调递减”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：函数()222f x x ax =+-在区间(],2-∞-内单调递减”的可得到22a a -≥-∴≤，∴“2a =”是“函数()222f x x ax =+-在区间内单调递减”的充分不必要条件.考点：函数单调性与充分条件必要条件.【母题7】设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断.【母题8】设R x ∈，则“21≥x ”是“0122≥-+x x ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：)1)(12(122+-=-+x x x x ，当21≥x 时，恒有0)1)(12(122≥+-=-+x x x x ，即21≥x 是0122≥-+x x 的充分条件，当0)1)(12(122≥+-=-+x x x x 时，有121-≤≥x x 或，21≥x 是0122≥-+x x 的不必要条件，综上所述本题正确选项为A. 考点：充分条件与必要条件. 【母题9】“21=a ”是“直线1)2()2(:1=-++y a x a l 与直线2)43()2(:2=-+-y a x a l 相互垂直”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【母题10】已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，则""αβ 是""l m ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当//αβ时,由于直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，∴l m ⊥；当l m ⊥时, 由于直线l ⊥平面α，则m α⊂或直线m α ,当直线m α⊂,又直线//m 平面β，则平面α与平面β相交,或//αβ,当直线//m α,则平面α与平面β相交,或平//αβ,综上，//αβ⇒l m ⊥，l m ⊥≠>//αβ，故"//"αβ是""l m ⊥的充分不必要条件.考点：空间中的点、线、面之间的位置关系.【母题来源一】【2016高考浙江理数】【母题原题】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．【命题意图】 本类型主要考查全称量词与存在量词.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现， 难度一般不大；从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识.高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度： (1)判断全称命题、特称命题的真假性； (2)全称命题、特称命题的否定． 【得分要点】全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．全称命题与特称命题真假的判断方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下： (1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．【母题1】已知命题是，那么，；P x x ⌝>->∃011P 200（ ） A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀≤，210x -≤C ．01x ∃>，2010x -≤D ．01x ∃<，2010x -≤【答案】B考点：全称命题与特称命题的否定.【母题2】设命题:P 2,2,n n N n P ⌝∃∈>则为（ ）A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2nn N n ∃∈≤ C.2,2n n N n ∀∈≤ D.2,2nn N n ∃∈= 【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，∴命题P 的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 考点：原命题与否命题.【母题3】命题“2000,(,x R x kx b k b ∃∈=+为常数）”的否定是（ ） A ．2000,(,x R x kx b k b ∀∈≠+为常数） B ．2000,(,x R x kx b k b ∃∈<+为常数)C ．2000,(,x R x kx b k b ∀∈≥+为常数)D ．2000,(,x R x kx b k b ∃∈>+为常数)【答案】A考点：命题的否定．【母题4】命题()()",0"x R f x g x ∀∈≠的否定是（ ）A ．(),0x R f x ∀∈=且()0g x =B ．(),0x R f x ∀∈=或()0g x =C ．()00,0x R f x ∃∈=且()00g x =D ．()00,0x R f x ∃∈=或()00g x =【答案】C 【解析】试题分析：全称命题:,()p x M p x ∀∈,则 00:,()p x M p x ⌝∃∈⌝,()()0f x g x ≠的否定是()00f x =且()00g x =,故选C. 考点：全称命题的否定.【母题5】命题： “对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是（ ） A ．不存在x R ∈，210x x ++> B ．存在0x R ∈，20010x x ++> C ．存在0x R ∈，20010x x ++≤ D ．对任意的x R ∈，012≤++x x 【答案】C 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题。
【高考一轮复习】2018课标版理数1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 夯基提能作业本
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础组1.(2017四川德阳中学期中)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a>b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-12.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为()A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假3.(2014北京,5,5分)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2017安徽六安中学月考)命题“若△ABC中有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题5.(2016上海一模)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.46.(2016天津,5,5分)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7.若p是¬q的充分不必要条件,则¬p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列命题中正确的个数是()①命题“若m>-1,则方程x2+2x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+2x-m=0有实根,则m>-1”;②“x≠1”是“x2-3x+2≠0”的充分不必要条件;③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题.A.0B.3C.2D.19.(2016陕西咸阳模拟)命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤510.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.11.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.12.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围为.B组提升题组答案见357页13.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件14.(2016湖北荆门一模)下列命题中正确的个数为()①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;④“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1B.2C.3D.415.(2016山东济南模拟)若a=log2x,b=,则“a>b”是“x>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.已知p:x2+2x-3>0;q:x>a,且¬q的一个充分不必要条件是¬p,则a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]17.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的条件.18.下面有四个关于充要条件的命题:①“若x∈A,则x∈B”是“A⊆B”的充要条件;②“函数y=x2+bx+c为偶函数”的充要条件是“b=0”;③“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件;④“若a∈R,则a>1”是“<1”的充要条件.其中真命题的序号是.答案全解全析A组基础题组1.C 根据否命题的定义可知:命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-1”.故选C.2.B q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p真,当x<1时,x2<1不一定成立,∴q假.故选B.3.D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.4.D 原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题,故选D.5.D 由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.因此逆命题与原命题也为真命题.故选D.6.C 令x=1,y=-2,则满足x>y,但不满足x>|y|;又若x>|y|,则结合|y|≥y,知x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.7.B ∵p是¬q的充分不必要条件,∴p⇒¬q,且¬q⇒ /p.又p⇒¬q与q⇒¬p等价,且¬q⇒ /p与¬p⇒ /q等价,∴q⇒¬p,且¬p⇒/q.∴¬p是q的必要不充分条件,故选B.8.D 对于①,命题“若m>-1,则方程x2+2x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+2x-m=0有实根,则m>-1”,故①正确;对于②,由x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,∴当x=2时,满足x≠1,但不满足x2-3x+2≠0,∴“x≠1”不是“x2-3x+2≠0”的充分不必要条件,故②错误;对于③,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,故③错误.∴正确命题的个数为1.故选D.9.C 命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”可转化为“∀x∈[1,2],a≥x2”,等价于a≥(x2)max=4(x∈[1,2]),即“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥4,∴要找的一个充分不必要条件所对应的集合即为集合{a|a≥4}的真子集,由选项可知C符合题意.10.答案 3解析易知原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,又易知原命题的逆命题是假命题,故原命题的否命题也是假命题.故假命题的个数为3.11.答案m=-2解析∵f(x)=x2+mx+1图象的对称轴为直线x=-,∴f(x)的图象关于直线x=1对称⇔-=1⇔m=-2.12.答案a>2解析不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因为当-2<x<-1时,不等式成立,所以不等式的解集为{x|-a<x<-1},由题意,有(-2,-1)⫋(-a,-1),所以-2>-a,即a>2.B组提升题组13.B 函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数等价于-=2a≤2,即a≤1,所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选B.14.B ①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,显然错误,故①错误;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,显然正确,根据原命题的逆命题与否命题的等价性知原命题的否命题正确,故②正确;③“奇函数的图象关于原点对称”正确,根据原命题与逆否命题的等价性知原命题的逆否命题正确,故③正确;④“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误,故④错误.故正确的个数是2,故选B.15.A 函数a=log2x,b=的图象如图所示.由图象可知,若a>b,则x>2,即x>1成立;当x=时,满足x>1,但a<b.故“a>b”是“x>1”的充分不必要条件.16.A 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,因¬p是¬q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.17.答案充要解析设f(x)=x|x|,则f(x)=所以f(x)是R上的增函数,所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.18.答案①②③解析由子集的定义知,①为真命题.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c显然为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,就有bx=0恒成立,得b=0,因此②为真命题.当x=1时,x2-2x+1=0成立,反之,当x2-2x+1=0时,x=1,所以③为真命题.对于④,由于<1⇔>0,即a>1或a<0,故a>1是<1的充分不必要条件,所以④为假命题.。
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1_2命题及其关系充分条件与必要条件教师
第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④命题“若m >1，则不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③解析 ①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题为：“若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题. ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB ＝BC ＝CA ”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a >b >0，则3a >3b >0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案 既不充分又不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析 易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是________.(填序号)答案③④解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分 解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0， 得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1， 得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1；④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案 若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案 充分不必要解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案 充要解析 由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案 充要解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题.其中真命题的序号为____________.答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立.反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，此时x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________.答案 [32，＋∞) 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[32，＋∞). *14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件.正确的是________.答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)， 当n ＝1时也成立.∴a n ＝p n －1(p －1)，n ∈N *. 又a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p . ∴p p －1p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测第一章第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含答案
第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件,[学生用书P7])1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．辨明两个易误点(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A⇒/B)两者的不同．2．充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．1.教材习题改编命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m≤0B[解析] 根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，故选B.2.教材习题改编“x>4”是“x2－2x－3>0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[解析] 因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，所以x>4⇒x2－2x－3>0.但x 2－2x －3>0⇒/x >4，所以“x >4”是“x 2－2x －3>0”的充分而不必要条件．3.教材习题改编 命题p 的逆命题为“奇函数的图象关于原点对称”，则p 为( ) A ．奇函数的图象不关于原点对称B ．若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称C ．若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数D ．若一个函数的图象不关于原点对称，则它不是奇函数C [解析] 命题p 为：若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数，故选C. 4.教材习题改编 命题：“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是____________．[答案] “若一个三角形的两条边相等，则这两条边所对的角也相等”5.教材习题改编 命题p ：x 2＝3x ＋4，命题q ：x ＝3x ＋4，则p 是q 的________条件．[解析] 当x 2＝3x ＋4时，x ＝－1或4，当x ＝－1时，x ＝3x ＋4不成立，即p ⇒/q .当x ＝3x ＋4时，x ≥0，3x ＋4≥0，则x 2＝3x ＋4，即q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分四种命题的相互关系及真假判断[学生用书P8][典例引领](1)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 (2)若命题“正弦函数不是分段函数”，则( ) A ．其否命题是“正弦函数是分段函数” B ．其逆命题是“分段函数不是正弦函数” C ．其逆否命题是“分段函数是正弦函数” D ．以上都不正确【解析】 (1)a n ＋a n ＋12<a n ，即a n ＋a n ＋1<2a n ， 则a n ＋1<a n ，所以{a n }为递减数列，故原命题为真，则其逆否命题也为真； 若{a n }是递减数列，则a n ＋1<a n ， 所以a n ＋a n ＋1<2a n ， 所以a n ＋a n ＋12<a n ，故其逆命题也是真命题，则其否命题也是真命题．故选A.(2)命题“正弦函数不是分段函数”可写成若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数，易知A、B、C都是错误的，故选D.【答案】(1)A(2)D判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．[通关练习]1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y ＝0，其否定是x≠0或y≠0.2．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．[解析] ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．[答案] ①②③充分条件、必要条件的判断(高频考点)[学生用书P9]充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[典例引领](1)(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．【解析】(1)若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．(2)对于①，当数列{a n}为等比数列时，易知数列{a n a n＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}为等比数列时，数列{a n}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得ba＝sin Bsin A＝3，若B＝60°，则sin A＝12，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝32，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案](1)A(2)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．[题点通关]角度一判断指定条件与结论之间的关系1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C[解析] 由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．角度二探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件2．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥1B．a>1C．a≥4 D．a>4D[解析] 命题可化为∀x∈[1，2)，a≥x2恒成立．因为x∈[1，2)，所以x2∈[1，4)．所以命题为真命题的充要条件为a≥4.所以命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.角度三与命题的真假性相交汇命题3．下列命题中真命题的个数是()①x＝2是x2－4x＋4＝0的充要条件；②α＝β是sin α＝sin β的充分条件；③a>b既不是a2>b2的充分条件也不是必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3D [解析] ①真，②真，③真．故选D. 充分条件、必要条件的应用[学生用书P9][典例引领]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． [解] 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(2017·常德一中月考)若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a的最小值为________．[解析] 由x 2－x －6>0， 解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件， 所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集， 即a ≥3， 故a 的最小值为3. [答案] 3, [学生用书P10])——等价转化思想在充要条件中的应用已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]【解析】 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ， 可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件． 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1. 【答案】 A本题将“¬q 的一个充分不必要条件是¬p ”转化为“q 是p 的充分不必要条件”；将p 与q 之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．1.给定两个命题p 、q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 由q ⇒¬p 且¬p ⇒/q 可得p ⇒¬q 且¬q ⇒/p ，所以p 是¬q 的充分而不必要条件． 2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] (等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1， 所以¬p ：x ＋y ＝－2，¬q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为¬q ⇒¬p 但¬p ⇒/¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A., [学生用书P237(独立成册)])1．下列命题中的真命题为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2 A [解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C ；取x ＝－2，y ＝－1，排除D.2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A ．若a >b ，则a －1≤b －1 B ．若a >b ，则a －1<b －1 C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1C [解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”． 3．(2017·陕西五校模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定B [解析] 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 4．(2017·合肥模拟)“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件C [解析] 由x 2＋2x －8>0，可解得x <－4或x >2，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件，故选C.5．a <0，b <0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0C ．a b >1D ．a b<－1A [解析] 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.6．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝－4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题 B ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题 C ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题 D ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题C [解析] 根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故选C.7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题B [解析] 对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项D 为假命题．8．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [解析] 当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B.9．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．10．(2017·太原模拟)已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 法一：若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z )，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．法二：¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，则有¬p ⇒/¬q ，¬q ⇒¬p ，即¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p 是q 的充分不必要条件．11．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2abD ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dD [解析] A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D. 12．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]B [解析] 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．[解析] 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案] 114．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则¬B 也是¬A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析] 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． [答案] ①②15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. [答案] [－3，0]16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．[解析] α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， 因为β：|x －1|<1，所以0<x <2， 所以β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又因为α是β的必要不充分条件． 所以B A ，所以a ≤0. [答案] (－∞，0]17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． [解析] 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2. [答案] m ＞2 18．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 因为¬p 是¬q 的必要而不充分条件， 所以p 是q 的充分而不必要条件， 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m ，设q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以PQ ，所以⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.所以m ≥9.19．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．[解] 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程， 所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。
命题及其关系、充分条件与必要条件专题梳理及经典练习及答案详解
课时作业A组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1、解析：由|x－1|≤1，得0≤x≤2，∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数2、解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题3、解析：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤05、解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6、解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.答案：C7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．37、解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.答案：D8．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8、解析：向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.答案：A9．(2018·武汉市模拟)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是＋a2n＜0”的()“对任意的正整数n，a2n－1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9、解析：a1＞0，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2(1＋q)＜0⇒1＋q＜0⇒q＜－1⇒q＜0，而a1＞0，q＜0，取q＝－1，此时a2n－1＋a2n＝a1q2n－2(1＋q)＞0.故“q＜0”是“对任2意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要不充分条件．答案：B10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10、解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案：B11．(2018·南昌市模拟)a2＋b2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11、解析：因为a sin θ＋b cos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2，所以由a2＋b2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a＝2，b＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a2＋b2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a2＋b2＝1，故a2＋b2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.答案：A12．(2018·洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B ＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12、解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件． 答案：A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．13、解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B . 答案：充要 14．“x ＞1”是“”的__________条件．14、解析：由，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________． 15、答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________． 16、解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1. 答案：－1B 组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1、解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x )，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、解析：由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x＋7－x 为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．故选C. 答案：C3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3、解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 答案：A4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、、解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A.答案：A5．若a，b为正实数，且a≠1，b≠1，则“a＞b＞1”是“log a 2＜log b 2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5、解析：当a＞b＞1时，log a 2－log b 2＝ln 2ln a－ln 2ln b＝ln 2(ln b－ln a)ln a·ln b＜0，所以log a2＜log b 2.反之，取a＝12，b＝2，log a 2＜log b 2成立，但是a＞b＞1不成立．故“a＞b＞1”是“log a 2＜log b 2”的充分不必要条件，选A.答案：A6．已知数列{a n}的前n项和为S n，则“a3>0”是“数列{S n}为递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、解析：当a1＝1，a2＝－1，a3＝1，a4＝－1，…时，{S n}不是递增数列，反之，若{S n}是递增数列，则S n＋1>S n，即a n＋1>0，所以a3>0，所以“a3>0”是“{S n}是递增数列”的必要不充分条件，故选B.答案：B7．“a≤－2”是“函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7、解析：结合图象可知函数f(x)＝|x－a|在[a，＋∞)上单调递增，易知当a≤－2时，函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.答案：A8．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D9．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 答案：A10．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x ＞0，e x －ax ＜1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、解析：作出y＝e x与y＝ax＋1的图象，如图．当a＝1时，e x≥x＋1恒成立，故当a≤1时，e x－ax＜1不恒成立；当a＞1时，可知存在x∈(0，x0)，使得e x －ax＜1成立，故p成立，即p：a＞1，由函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，可得a －1＞1，得a＞2，即q：a＞2，故p推不出q，q可以推出p，p是q的必要不充分条件，选B.答案：B11．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11、解析：若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S△OAB＝12×1×1＝12，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为12”；若△OAB的面积为12，则k＝±1，所以“△OAB的面积为12”⇒/ “k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A12．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的序号是__________．12、解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a>b时a2>b2不一定成立，所以③错误，④中“a<5”得不到“a<3”，但“a<3”可得出“a<5”，“a<5”是“a<3”的必要条件，正确．答案：②④13．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的__________条件．13、解析：若函数y＝2x＋m－1有零点，则m＜1；若函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m＜1.答案：必要不充分14．(2018·江西九校联考)下列判断错误的是__________．①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1＞0”③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题14、解析：选项①、②中的命题显然正确；选项④中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项④正确；对于选项③中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故填③.答案：③15．下列四个结论中正确的个数是__________．①“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”；③“若x＝π4，则tan x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.15、解析：对于①，由x 2＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞1，故“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”，故②正确；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误；对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．答案：1。
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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.(2016·四川高考理科·T15)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'2222y x ,x y x y ⎛
⎫
-
⎪
++⎝⎭
;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身,平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题:
①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身;
③若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线”C'关于y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是 (写出所有真命题的序号). 【解题指南】根据题中所给定义逐个判断. 【解析】①设A 的坐标(x,y),伴随点A'2222y x ,x y x y ⎛
⎫
-
⎪++⎝⎭
,A'的伴随点,横坐标为22
2
2
2222x x y y
x x y x y -+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭
=-x,同理可得纵坐标为-y,故A ″=(-x,-y).错误;
②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ,sin θ),则P 的伴随点的坐标为P'=(sin θ,-cos θ)=ππcos θ,sin θ22⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎫-
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭,所以P'也在单位圆上,即:P'点是P 点延顺时针方向旋转π
2
.正确;
③设曲线C 上点A 的坐标(x,y),其关于x 轴对称的点A 1=(x,-y)也在曲线C 上,所以点A 的伴随点A'=2
222
y x
,x y x y
⎛
⎫-
⎪++⎝⎭,点A 1的伴随点A'1=2222
-y x
,x y x y ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
,A'与A'1关于y 轴对称.正确;
④反例:例如y=1这条直线,则A=(0,1),B=(1,1),C=(2,1),而这三个点的伴随点分别是A'=(1,0),B'=1
1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭,C'1
2,5
5⎛⎫
- ⎪⎝⎭,而这三个点不在同一直线上,下面给出严格证
明:设点P(x,y)在直线l:Ax+By+C=0上,P 点的伴随点为P'=(x 0,y 0),则022
022y
x ,x y x y ,x y ⎧=⎪+⎪
⎨
-⎪=⎪+⎩解得0
22
00
02200
y x ,x y x y .
x y ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入直线方程可知:0022220000y x 0x y x y A B C -++=++,化简
得:-Ay 0+Bx 0+C(
22
00
x y +)=0,
当C=0时,C(2200
x y +)是一个常数,P'的轨迹是一条直线; 当C ≠0时,C(2200x y +)不是一个常数,P'的轨迹不是一条直线. 所以,直线的“伴随曲线”不一定是一条直线.错误. 答案:②③
2.(2016·四川高考文科·T15)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'2222y x ,x y x y ⎛
⎫
- ⎪
++⎝⎭
;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题:
①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;
③若两点关于x 轴对称,则它们的“伴随点”关于y 轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 (写出所有真命题的序号).
【解析】根据定义求解.
①设A(2,1),则其伴随点为A'12,5
5⎛⎫
- ⎪⎝⎭,而A'的伴随点为(-2,-1),故①错.
②设P(x,y),其中x 2+y 2=1,则其伴随点为(y,-x),该点也在圆x 2+y 2=1上,故②正确. ③设A(x,y),B(x,-y),则它们的伴随点分别为A'2
222y x ,x y x y ⎛
⎫-
⎪++⎝⎭,B'2222-y x ,x y x y ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
,A'与B'关于y 轴对称,故③正确. ④设共线的三点A(-1,0),B(0,1),C(1,2),则它们的伴随点分别为A'(0,1),B'(1,0),C'2
1,55
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
,此三点不共线,故④不正确.
答案:②③
3.(2016·浙江高考文科·T6)已知函数f(x)=x 2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是p ⇒q 还是q ⇒p.
【解析】选A.由题意知f(x)=x 2+bx=2
2b b x 24⎛⎫⎪⎭-+ ⎝,最小值为-2
b 4,令t=x 2+bx,则
f(f(x))=f(t)=t 2+bt=2
2b b 24t ⎛⎫⎪⎭
-+ ⎝,t ≥-2b 4当b<0时,f(f(x))的最小值为-2
b 4,所以“b<0”能
推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”;当b=0时,f(f(x))=x 4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.
4.(2016·四川高考文科·T5)设p:实数x,y 满足x>1且y>1,q:实数x,y 满足x+y>2,则p 是q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解.
【解析】选A.由题意,x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.
5.(2016·天津高考文科·T5)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】分y≥0和y<0取绝对值讨论.
【解析】选C.当y≥0时,x>y⇔x>|y|;当y<0时x>|y|⇒x>y但x>y⇒/ x>|y|.所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
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