讲解数列通项公式的求法-15种类型

数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。

做题时要不断总结经验，多加琢磨。

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21--◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。

变式:设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式◆四、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5. 在数列{}n a 中，11=a ，n nn a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。

◆五、取倒（对）数法a 、rn n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解 b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以,11-n n a a 先求出.,1n na a 再求得c 、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (31∈+=+n a a a n nn 求.n a例7 、 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求通项a n ．2、若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈ ，求通项a n ．3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项a n ．4、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求通项a n ．5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ．◆六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、设a 0为常数，且a n ＝3 n -1－2 a n -1（n 为正整数）证明对任意n≥1 ，a n ＝ [ 3 n ＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n · 2 na 0◆七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。

通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。

一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=1-p q，从而得等比数列{a n +k}。

例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

练习、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．2、递推式为11+++=n n n qpa a （p 、q 为常数）时，可同除1+n q，得111+⋅=++n n n n q a q p q a ，令nnn qa b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．、例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n nn a a )2(≥n ，求n a ．3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .变式:已知数列｛na ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项；n a4、形如21n n a pa an bn c +=+++)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为{}2na xn yn c +++是公比为p 的等比数列。

例12:设数列{}n a ：2114,321,(2)n n a a a n n -==+-≥，求n a .5. 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s例13:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。

变式: 1.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nnb b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列2.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a3.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

◆八：特征根法。

1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.2.对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n nBx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例14：（1）已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。