八年级数学期末复习之代几综合(一)
初二数学下册综合复习资料
初二数学下册综合复习资料数学是一门广泛应用于科学和技术领域的学科。
在日常生活中，数学也是十分重要的。
通过学习数学，人们可以提高计算能力、逻辑思维和问题解决能力。
初中阶段是数学学习的重要阶段，因为它对高中数学的学习打下了坚实的基础。
本文将为初二数学下册的同学们提供一些综合复习资料。
一、代数与函数篇1. 同项式合并：同一式子中相同字母的项相加或减。
2. 完全平方公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
3. 因式分解：将一个多项式分解成两个或多个多项式的积。
4. 代入法求未知数：利用已知条件将未知数进行代入再进行计算。
5. 一次函数：函数$y=kx+b$为一次函数，其中$k$为斜率，$b$为截距。
二、图形篇1. 识别平面图形：学会识别不同的几何图形，如正方形、矩形、菱形、圆形等。
2. 图形的周长：对于任意一个多边形，它的周长等于所有边长之和。
3. 图形的面积：对于任何一个几何图形，它的面积都是一个数值，可以用来表示这个图形的大小。
4. 平移、旋转和翻转：将平面图形按一定规则进行平移、旋转和翻转，得到新的位置和形状。
三、数与量篇1. 常量与变量：常量是值不变的数，而变量是值可以改变的数。
2. 分数的加减法：相同分母的分数只需将分子相加或相减。
3. 分数的乘除法：两个分数相乘，先将分子相乘，再将分母相乘，最后化简。
两个分数相除，可以转化为一个分数乘另一个分数的倒数。
4. 百分数：百分之一就是1%，百分之十就是10%，以此类推。
5. 速度和时间：速度等于路程除以时间，时间等于路程除以速度，路程等于速度乘以时间。
四、数据处理篇1. 统计量：常用统计量有平均数、中位数、众数和极差。
2. 数据的解读：通过分析和解释数据可以帮助我们更好地理解数据背后的含义。
3. 研究设计：通过制定实验方案和探究变量之间的关系来深入研究数据。
总结初二数学下册是数学学习的重要阶段，本文提供了一些综合复习资料，希望能够帮助同学们更好地掌握数学知识，从而取得更好的成绩。
【经典分类】八年级下学期代几综合问题分类讲解
初二下学期期末数学压轴题解析压轴题中常见的、熟悉的语句：（1）求直线的解析式（求一次函数、反比例函数的解析式）；（2）求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）是否存在……，如果存在，请……；如果不存在，请说明理由．（4）如果将条件改变一下，那么结论是否依然成立？（5）如果……，求点P的坐标．和以上语句相对应，中考数学压轴题共有12个专题，初二可以解决的有10个：专题一等腰三角形的存在性问题专题二相似三角形的存在性问题（初三）专题三直角三角形的存在性问题专题四平行四边形的存在性问题——初二期末热点专题五梯形的存在性问题——初二期末热点专题六面积的存在性问题专题七相切的存在性问题（初三）专题八相等和差最值的存在性问题专题九由线段关系产生的函数关系问题——初二期末热点专题十由面积产生的函数关系问题——初二期末热点专题十一代数计算和说理（寻找规律）专题十二几何计算和说理（图形变换）——初二期末热点解压轴题的点滴经验：尺规必备，三色笔画图，本子宽大；看着图，读着题，自己画一遍图，题意就理解了．这叫磨刀不误砍柴工．没有思路，往往是不会画图；会画图，思路就慢慢有了．图形准确了，答案就在图形中．图形在运动过程中的存在性问题（平行四边形、梯形、全等三角形）例1 2012年浦东新区初二下学期期末第25题如图1，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．（1）求直线AC的表达式；（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0)，点B的坐标为A(0, 4)．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，在平面直角坐标系中，点P在直线12y x=上（点P在第一象限），过点P作P A⊥x轴，垂足为A，且OP＝（1）求点P的坐标；（2）如果点M和点P都在反比例函数kyx=（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．图形运动中的函数关系问题（由面积产生、由线段关系产生）例5 2013年长宁区初二下学期期末第27题如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21．点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿CB以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB＝10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；（2）设E、F为AB、CD的中点，求四边形PEQF是平行四边形时t的值．图1 备用图已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．已知：如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝4．E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．联结BF．（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）①求证：BE＝EF．②设DE＝x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由．图1 备用图如图1，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G．（1）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（2）联结DG，求证：DG⊥EF．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9，点Q是边AC上的动点（点Q不与A、C重合），过点Q作QR//AB，交边BC于R，再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR，设AQ＝x．（1）求∠PRQ的大小；（2）当点P落在斜边AB上时，求x的值；（3）当点P落在Rt△ABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BE＝y，请直接写出y 关于x的函数关系式及定义域．图1 备用图例10 2013年浦东新区初二下学期期末第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形．A(0, 4)，C(5, 0)，点D是y轴正半轴上一点，将四边形OABC沿着过点D的直线翻折，使得点O落在线段AB上的点E处．过点E作y轴的平行线与x轴交于点N．折痕与直线EN交于点M，联结DE、OM. 设OD＝t，MN＝s．（1）试判断四边形EDOM的形状，并证明；（2）当点D在线段OA上时，求s关于t的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）用含t的代数式表示四边形EDOM沿折痕翻折后的图形与矩形OABC重叠部分的面积．图1 备用图计算、说理、证明例11 2013年长宁区初二下学期期末第26题已知直角坐标平面内点A(4, 3)，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别是B和C．（1）直线y＝kx＋6把矩形OBAC分成面积相等的两部分，求直线与矩形的交点坐标；（2）在（1）的条件下，设直线y＝kx＋6与直线AB的交点为P，联结CP，以C为中心旋转线段CP，点P落在x轴上的点Q处，直接写出BQ的长度．如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为(0, 1)，点D在y 轴上，经过点B的直线y＝－x＋4与AC相交于横坐标为2的点E．（1）求直线AC的表达式；（2）求点B、C、D的坐标．如图1，平面直角坐标系中点A(4, 0)，已知过点A的直线l与y轴正半轴交于点P，且△AOP的面积是8，正方形ABCD的顶点B的坐标是(2, h)，其中h＞2．（1）求直线l的表达式；（2）求点D的坐标；（用含h的代数式表示）；（3）当边BC经过点P时，求直线CD与y轴的交点坐标．已知，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，∠A为锐角，△ABC的面积为9．点P为边AB 上的动点，过点B作BD//AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．（1）如图1，当CD⊥AB时，求PE的长；（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．图1 图2例15 2013年浦东新区初二下学期期末第25题已知：如图1，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明．。
初中代数几何综合题(一)
代数几何综合题（一）代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0），连结BP，过P点作交过点A的直线a于点C（2，y）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。
解：（1）A（2，0），C（2，y）在直线a上，，（2），的最大整数值为 ,当时，，设Q点坐标为，则点坐标为说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD 为6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；（3分）(2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3分）(3)若AO＋CD＝11，求AB的长。
（4分）2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。
①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线上，求b，c的值；3 若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l 的解析式。
八年级数学代几综合难点题型
八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。
1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。
由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。
2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。
1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。
将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。
设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。
当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。
此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。
中考复习之代几综合问题知识讲解
代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。
代几综合复习(精品) 2
建立代数模型求解
数形结合!! 百般好
代数中的数 量关系
点、线位置及方 程根的情况
以形助数
以数解形
寻找图形中 的几何关系
21
如何解代几综合题？
方法：
1、审题，挖掘隐含条件
2、分解复杂问题 3、恰当使用分析综合法，关注重要 的数学思想方法
22
与特殊三角形、四边形等结合的代几综合
等腰三角形：体会数形结合
如图，在直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（5，0） ， 动点 P 从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从 A 点 出发沿 AB 向终点 B 运动．两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位，设从出发起运动了 x 秒．
y A
（1）Q 点的坐标为 （用含 x 的代数式表示）
Q G
O
P
成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到 达 A 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短.
六年考题
07 年北京市 24（本题满分 7 分）
内容方法
函数解析式的确定 直线的平移 点的坐标 勾股定理
并以此为背景
等边三角形 角平分线
能力考察
数形结合、分类讨论
11
六年考题
08 年北京市 24（满分 7 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧 ） ．． ，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标 为（3，0） ，将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经 过 B、C 两点．
八年级数学全等三角形代几综合(一)
全等三角形代几综合《一》1、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E 是△ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC= 。
（第1题）（第2题）2、如图在△ABC中∠ABC=150°，CD是角平分线BC=Aac=b点E,F分别是BC，CD上的两点，则BF+EF的最小值是（用含a、b、c的代数式表示）。
知识梳理三角形与全等三角形性质判定三角形稳定性三边关系：中线：角度计算：①②③全等三角形边：角：大小：角平分线垂直平分线等腰三角形等边三角形（正三角形）【例题精讲】全等三角形代几综合1、等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上(1) 如图1，求证：∠BCO＝∠CAO；(2) 如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标；(3) 如图3，点C(0，3)，Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围。
2、在平面直角坐标系中，点A坐标为(8，0)，点B坐标为(0，8)，点C为OA中点。
(1) 如图1，过点O作OD⊥BC于点E，交AB于点D，求证：∠OBC＝∠AOD；(2) 点M从C点出发向x轴正方向运动，同时点N从C点出发向x轴负方向运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．射线OE⊥BM于点E，交AB于点D，直线ND交BM于点K①如图2，当0＜t＜4时，请证明△KNM为等腰三角形；②当t＞4时，△KNM是否还是等腰三角形，请画出图形，并说明理由。
3、如图，线段AC∥x轴，点B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x轴于G，连OB、OC。
(1) 判断△AOC的形状，并证明；(2) 如图1，若BO＝CO且OG平分∠BOC，求证：OA⊥OB；(3) 如图2，在(2)的条件下，点M为AO上的一点，且∠ACM＝45°，若点B(1，－2)，求点M的坐标。
八年级 一次函数代几综合
一次函数代几综合1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A．设P点经过的路程为x，以A、P、B为顶点的三角形的面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系式的是（）2、在青山区“海绵城市”工程中，某工程队接受一段道路施工的任务，计划从2016年10月初至2017年9月底(12个月)完成，施工3个月后，实行倒计时，提高工作效率，剩余工程量与施工时间的关系如图所示，那么按提高工作效率后的速度做完全部工程，则工期可缩短____个月．（第2题）(第3题)3、某渔船计划从码头出发到指定海域捕鱼，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该渔船加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该渔船行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该渔船从码头到捕鱼海域的路程是________海里知识一一次函数与几何综合题【知识梳理】1、最短路径：做定点关于动点所在直线的对称点2、一次函数与面积问题：利用面积法求线段比或者根据面积之间的关系求出线段比3、四边形存在性：一般会根据两个或者三个定点，在某个特定的位置上找另两个顶点或第四个顶点，这样的顶点往往不止一个，需要仔细考虑解题策略，如：若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线，如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点位置，否则在分类是就容易漏解。
【例题精讲一】最短路径1、已知A (6，6)、B (1，4)在y 轴上找一点C 使|AC －BC |最大，在x 轴上找一点D 使DA ＋DB 最小，则CD ＝__________2、如图，点Q 在直线y ＝－x 上运动，点A 的坐标为(1，0)．当线段AQ 最短时，点Q 的坐标为_________3、(1) 如图①，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点A 是BC 的中点．，则点C 所表示的数为____________(2) 如图②，直角坐标中，A 、B 两点的坐标分别为(3-，0)和(0，1)，则在y ＝－1上是否存在点P 使得PA ＋PB 的值最小？若存在，求出P 点的坐标，此时PA ＋PB ＝__________（第3题）（第4题）4、如图，已知直线AB ：55355+=x y 分别交x 轴、y 轴于点B 、A 两点，C (3，0)，D 、E 分别为线段AO 和线段AC 上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD ＝CE ．当BD ＋BE 的值最小时，则H 点的坐标为__________ 5、如图，已知直线AB 的函数解析式为y ＝2x ＋10，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B (1) 直接写出A 点的坐标___________，B 点的坐标___________(2) 若点P (a ，b )为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，问： ① 若△PBO 的面积为S ，求S 关于a 的函数关系式② 直接写出EF 的最小值【例题讲解二】一次函数与面积问题1、已知直线AB 分别交x 、y 轴于A (4，0)两点，C (－4，a )为直线y ＝－x 与AB 的公共点 (1) 求点B 的坐标(2) 已知动点M 在直线y ＝x ＋6上，是否存在点M 使得S △OMB ＝S △OMA ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 已知点E (0，8)，P 是x 轴正半轴上动点，Q 是y 轴正半轴上的动点，Q 在点E 上方，OP ＝EQ ，OH 是∠OQP 的角平分线交直线CO 于H ，求OE 、PQ 、OH 之间的数量关系2、如图1，直线y=-3x+33分别与y 轴、x 轴交于点A,点P ，点C 的坐标为(-3，0），D 为直线AB 上一动点，连接CD 交y 轴于点E(1)点占的坐标为____：不等式-3x+33>0的解集为____：(2)若S △COE =S △ADE ，求点D 的坐标；(3)如图2，以CD 为边作菱形CDFG ，且∠CDF=60°，当点D 运动时，点G 在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式;GFBEACBEA CO O D xyD xy3、如图，直线242+=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且OA ＝OC ，点P 从A 出发沿射线AC 方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t (s )(1) 求点B 、C 的坐标；(2) 若△OCP 的面积为4．求运动时间t 的值(3) 如图2，在OP 的上方作OQ ⊥OP ，且OP ＝OQ ，连接BQ ，求运动过程中BQ 的最小值【例题讲解三】一次函数与四边形1、如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCD 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴上，P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PQ ⊥OP 交CD 边于点Q(1) 如图，若对角线AC 的解析式为y ＝－x ＋4，直线EF 的解析式为221--=x y ，现将直线EF 向上平移，使直线EF 平分AOCD 的面积，求平移后的直线EF 的解析式；(2) 如图，若PA ＝26，求OQ 2－PC 2的值 (3) 点P 从点A 出发，沿AC 方向移动．若移动的路径长为2，求OQ 的中点M 移动的路径长2、如图，在平面直角坐标系中，直线b x y +-=43分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 坐标为(8，0)，点C 为AB 的中点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足()2
5a b a ＋＋－＝0。
（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，若点C 的坐标为（﹣3，﹣2），且BE ⊥AC 于点E ，OD ⊥OC 交BE 延长线于D ，试求点D 的坐标；
（3）如图，M 、N 分别为OA 、OB 边上的点，OM ＝ON ，OP ⊥AN 交AB 于点P ，过点P 作PG ⊥BM 交AN 的延长线于点G ，请写出线段AG 、OP 与PG 之间的数列关系并证明你的结论。
【例题精讲】
1、如图，直角坐标系中，点A （0，a ），点B （b ，0），若a 、b 满足()2
8240a b a b －－＋＋－＝，C 是B 点关于y 轴的对称点。
（1）求出C 点的坐标；
（2）如图1，动E 点从B 点出发，沿BA 方向向A 点匀速运动，同时，动点F 以相同的速度，从C 点出发，在AC 延长线上沿AC 方向运动，EF 与BC 交点为M ，当E 运动到A 时，两点同时停止运动，在此过程中，EM 与FM 的大小关系是否不变？请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，过M 作MN ⊥EF 交y 轴于点N ，N 点的位置是否改变？若不改变，请求出N 点的坐标，若改变，请说明理由。
2、已知A (a ，0)，B (0，b )，且a ，b 满足0)3
(
182222=++-b a b a （1）如图1，求证：OA ＝OB ；
（2）如图2，将△AOB 沿y 轴翻折得△COB ，D 为线段BC 上一动点，OE ⊥OD 交AB 于点E ，求ODBE S 四边形；
（3）如图3，在(2)的条件下，过点C 作CF ⊥OD 交y 轴于点F （F 在B 的上方），垂足为G ．点H 为y 轴负半轴上任意一点，连DH ，交x 轴于I ．当OH ＝BF 时，下列两个结论：① ∠BCF ＝∠HDO ；② ∠DOH ＝∠DIO 。
有且只有一个是正确的，请指出并证明。
【课堂练习】
1、已知A(a，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a－4b＝－6，以A为直角顶点，且以AB为腰作等腰直角△ABC。
（1）求C点的坐标；
（2）如图1，若点C在第二象限，点M在BC的延长线上，且AM＝AN，AM⊥AN，则CM与BN存在怎样的关系？请予以证明；
（3）如图2，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD之间存在何种数量关系，并证明你的结论。
（图1）（图2）
2、如图，平面直角坐标系中，已知A(a，4)、B(b，0)，且满足1
a＋b2－6b＋9＝0。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，若点C在第一象限内，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标；
（3）如图2，点N(1，0)，R(4，3)，点P为线段AN上的一动点，连接PR，以PR为一边作∠PRM＝45°，交x轴于点M，连PM，请问点P在运动的过程中，线段PM、AP、BM之间有怎样的数量关系，证明你的结论。
1、如图，已知A (0，4)、B (3，0)、M (1，1)，AB ＝5，MH ⊥BO ，P 为x 轴负半轴上一动点．作x 轴关于直线PM 对称的直线PQ 交y 轴于点Q ，交AB 于R ，OD 平分∠POQ 交PM 于D 。
（1）求证：BM 平分∠ABO ；
（2）当21 PQ OQ 时，求DM
OD 的值； （3）记△AQR 的面积和周长分别为S △AQ R 和C △AQ R ．① S △AQ R 是定值；② C △AQ R 是定值，只有一个是正确的，请证明你的判断。
2、如图，平面直角坐标系中，已知A (－a ，a )、B (2a ，0)、C (0，－a )。
（1）求AC 与BC 的关系；
（2）若AC 与x 轴交于点D ，AB 交y 轴于点E ，若a ＝8，求D 点坐标，并求证：∠ADE ＝∠BDC ；
（3）若点M 为BC 中点，DM 交y 轴于点P ，作MN ⊥BC 交y 轴于N ，MH ⊥DM 于M ，交x 轴于H ，请问无论a 如何变化，PN
BH CN 是否改变，请证明你的结论。
3、已知：如图A (m ，0)、B (0，n )，且m 、n 满足n m m m +-+-=242。
（1）求S △AOB ；
（2）AM 平分∠BAx ，AM 交y 轴于C ，作BD ⊥AM 于D ，求证：AC ＝2BD ；
（3）过A 作直线AE 交y 轴于E ，作OH ⊥AE 于H ，交AB 的延长线于F ，G 为y 轴上一点，且BG ＝OE ，FG 交EA 于P ，下面两个结论：① PA
OF PF -为定值；② PA OF PF +为定值，请选择一个证明，并求值。