【经典分类】八年级下学期代几综合问题分类讲解

初二下学期期末数学压轴题解析
压轴题中常见的、熟悉的语句：
（1）求直线的解析式（求一次函数、反比例函数的解析式）；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）是否存在……，如果存在，请……；如果不存在，请说明理由．
（4）如果将条件改变一下，那么结论是否依然成立？
（5）如果……，求点P的坐标．
和以上语句相对应，中考数学压轴题共有12个专题，初二可以解决的有10个：专题一等腰三角形的存在性问题
专题二相似三角形的存在性问题（初三）
专题三直角三角形的存在性问题
专题四平行四边形的存在性问题——初二期末热点
专题五梯形的存在性问题——初二期末热点
专题六面积的存在性问题
专题七相切的存在性问题（初三）
专题八相等和差最值的存在性问题
专题九由线段关系产生的函数关系问题——初二期末热点
专题十由面积产生的函数关系问题——初二期末热点
专题十一代数计算和说理（寻找规律）
专题十二几何计算和说理（图形变换）——初二期末热点
解压轴题的点滴经验：
尺规必备，三色笔画图，本子宽大；
看着图，读着题，自己画一遍图，题意就理解了．这叫磨刀不误砍柴工．
没有思路，往往是不会画图；会画图，思路就慢慢有了．图形准确了，答案就在图形中．
图形在运动过程中的存在性问题
（平行四边形、梯形、全等三角形）
例1 2012年浦东新区初二下学期期末第25题
如图1，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
（1）求直线AC的表达式；
（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．
【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0)，点B的坐标为A(0, 4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，在平面直角坐标系中，点P在直线
1
2
y x
=上（点P在第一象限），过点P作P A
⊥x轴，垂足为A，且OP＝（1）求点P的坐标；
（2）如果点M和点P都在反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，
垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．
图形运动中的函数关系问题
（由面积产生、由线段关系产生）
例5 2013年长宁区初二下学期期末第27题
如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21．点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿CB以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．
（1）当AB＝10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
（2）设E、F为AB、CD的中点，求四边形PEQF是平行四边形时t的值．
图1 备用图
已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB上，CE＝CD．
（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．
已知：如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝4．E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．联结BF．（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证：BE＝EF．
②设DE＝x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由．
图1 备用图
如图1，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G．
（1）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）联结DG，求证：DG⊥EF．
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9，点Q是边AC上的动点（点
Q不与A、C重合），过点Q作QR//AB，交边BC于R，再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR，设AQ＝x．
（1）求∠PRQ的大小；
（2）当点P落在斜边AB上时，求x的值；
（3）当点P落在Rt△ABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BE＝y，请直接写出y 关于x的函数关系式及定义域．
图1 备用图
例10 2013年浦东新区初二下学期期末第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形．A(0, 4)，C(5, 0)，点D是y轴正半轴上一点，将四边形OABC沿着过点D的直线翻折，使得点O落在线段AB上的点E处．过点E作y轴的平行线与x轴交于点N．折痕与直线EN交于点M，联结DE、OM. 设OD＝t，MN＝s．
（1）试判断四边形EDOM的形状，并证明；
（2）当点D在线段OA上时，求s关于t的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）用含t的代数式表示四边形EDOM沿折痕翻折后的图形与矩形OABC重叠部分的面积．
图1 备用图
计算、说理、证明
例11 2013年长宁区初二下学期期末第26题
已知直角坐标平面内点A(4, 3)，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别是B和C．
（1）直线y＝kx＋6把矩形OBAC分成面积相等的两部分，求直线与矩形的交点坐标；
（2）在（1）的条件下，设直线y＝kx＋6与直线AB的交点为P，联结CP，以C为中心旋转线段CP，点P落在x轴上的点Q处，直接写出BQ的长度．
如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为(0, 1)，点D在y 轴上，经过点B的直线y＝－x＋4与AC相交于横坐标为2的点E．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求点B、C、D的坐标．
如图1，平面直角坐标系中点A(4, 0)，已知过点A的直线l与y轴正半轴交于点P，且△AOP的面积是8，正方形ABCD的顶点B的坐标是(2, h)，其中h＞2．（1）求直线l的表达式；
（2）求点D的坐标；（用含h的代数式表示）；
（3）当边BC经过点P时，求直线CD与y轴的交点坐标．
已知，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，∠A为锐角，△ABC的面积为9．点P为边AB 上的动点，过点B作BD//AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．（1）如图1，当CD⊥AB时，求PE的长；
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
图1 图2
例15 2013年浦东新区初二下学期期末第25题
已知：如图1，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明．。