四年级上册数学奥数习题-巧妙求和-全国通用
4年级奥数举一反三专题 第十六周 巧妙求和(二)
第十六周巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页?分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答? 练习一1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个?2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页?3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次?分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习二1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次?2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
四年级数学拔高之 巧妙求和(一)
巧妙求和（一）1.有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？2.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？3.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？4.有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？5.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？6.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
7.有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2，6，10，14……的第100项。
3、100+99+98+…+61+604、（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)5、100+95+90+…+15+10+56、4+7+10+13+…+298+301+298+…+13+10+7+47、 2013-2012+2011-2010+…+3-2+18、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每一排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。
问：这个影剧院共有多少个座位？。
小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
四年级奥数巧妙求和
巧妙求和
基本概念
1 数列：若干个数排成一列，称为数列
2 项：数列中的每一个数
首项：数列中的第一项
末项：数列中的最后一项
项数：数列中项的个数
3 等差数列：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列
公差：后项与前项的差
4 等差数列求和
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：数列4,10,16,22…52共有多少项？
例2：等差数列9,12,15,18…，2004，这个数列共有多少项？
例3：等差数列1000,993,986,979，…20，这个数列共有多少项？
例4：已知等差数列3,7,11,15，…，则该等差数列第100项是多少？
例5：求等差数列1,6,11,16，…的第61项。
例6：求等差数列307,304,301,298，…第99项。
例7：有这样一列数：1,2,3,4，…98,99,100.请求出这列数各项相加之和。
例8：求等差数列2,4,6,…48,50的和。
例9：用简便方法计算（100+102+104+...+200）-（1+5+9+13+ (97)
作业：
1.3+5+7+9+…+63
2.100+110+120+…+350
3.160+154+148+…+16
4.2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-103。
小学奥数 巧妙求和 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 108+128+148+168+188
例3、有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一两点钟敲2下，……二十四点钟敲24下，这个钟一昼夜敲多少下？
教学内容
巧妙求和、图形计数、容斥原理
教学目标
掌握巧妙求和、图形计数、容斥原理
重点
巧妙求和、图形计数、容斥原理
难点
巧妙求和、图形计数、容斥原理
教
学
过
程
课堂精讲
1、巧妙求和
例1、高斯求和
1+2+3+4+……+9+10=
巩固（1) 1+2+3+4+……+99+100 (2) 21+22+23+24+……+100
例4、计算991+992+993+994+995+996+997+998+999。
巩固：(1) 9997+9998+9999 (2) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19
课后作业
1、 1+2+3+4+5+……+20
2、48+50+52+54+56+58+60+62
3、体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？
小学四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
四年级奥数课后分层作业-第8讲 巧妙求和(一) 通用版
=（2005+1004）×（2005-1004+1）÷2-2×（2003+1004）×[（2003-1004）÷3+1）÷2
=1507509-1004338
=503171
这个数列共141项
3、求等差数列：1，6，11，16…，的第61项。
a1=1 d=6-1=5则an=1+5(n-1)=5n-4
则a61=5×61-4=301
4、求等差数列：307、304、301、298、……的第99项。
由题意可知：
首项：a1=307
公差：d=304-307=-3
则第99项为：
a99=a1+98d
=307-98x3
=307-294
=13
5、计算：4+5+6+7+8+……+80
=（4×77÷2
=6468÷2
=3234
6、计算：11+12+13+……+200
原式=(200-11+1)(11+200)÷2
=190×211÷2
=20045
提高卷
1、计算：3+5+7+9+……+93
,和=（3+93）×(93-1) ÷2 ÷2
=2208
2、计算：100+110+120+……+350
（首项+末项）乘项数除以2=5850
3、计算：160+154+148+……+16
四年级奥数题第16讲 巧妙求和(二)
第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页？练习1：1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次？练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？【例题3】某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？练习3：1.学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛？2.在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
练习4：1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
练习5：1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
三、课后作业1.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
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巧妙求和
【一】求1~20这20个连续自然数的所有数字之和。
练习
1、求1~50这50个连续自然数的所有数字之和。
2、求3~19连续自然数的全部数字之和。
【二】一把钥匙只能开一把锁。
现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
练习
1、现在有8对钥匙和锁混在一起，不知道哪把钥匙配哪把锁，最多要试多少次就可以把它们全部配成对？
2、有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有一颗比这8颗略轻，用一架天平最多称多少次，就
可以找到那颗较轻的钢珠？
【三】思雨读一本长篇小说，他第一天读20页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多2页，第11天读了40页，正好读完，这本书共有多少页？
练习
1、王师傅做一批零件，第一天做了40个，以后每天都比前一天多做3个，第15天做了82
个，正好做完，这批零件共有多少个？
2、张琳读一本故事书，她第一天读了15页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5
页。
最后一天读了40页恰好读完，这本书共有多少页？
【四】45把锁的钥匙都搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
练习
1、有60把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试45次，就能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共
有几把锁的钥匙搞乱了？
【五】某班有30个同学，每两个同学互通一次电话，那么他们一共通了多少次电话？
练习
1、竹苑小学进行象棋比赛，每个参赛选手都要和其他所有的选手各赛一场，如果有15人参
加比赛，问一共要进行多少场比赛？
2、一次生日party中，参加的有20位同学和3位老师，每两人之间握一次手。
那么一共握了几次手？
【六】求1~99中连续自然数的所有数字之和。
练习
1、求1~199的199个连续自然数的所有数字之和。
2、求1~999的999个连续自然数的所有数字之和。
3、求1~210连续自然数的全部数字之和。
4、求1~299连续自然数的全部数字之和。
5、求1~1008连续自然数的全部数字之和。
课外作业
1、求3~33连续自然数的所有数字之和。
2、仓库里放一批粗细均匀的圆木，最上一层放3根，每向下一层就增加1根，最下面一层
放了8根，这批圆木有多少根？
3、文文背英语单词，第一天背会了10个，以后每天都比前一天多背1个，最后一天背会了
18个，文文在这些天中背会了多少个单词？
4、有9只盒子，35只羽毛球。
能不能把35只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？
5、暑假里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了55次电话，问有多少同学互
通电话？
6、求1~2000的2000个自然数的所有数字之和。
7、求连续自然数1000~3000的全部数字之和。