梅逊公式
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介二、梅森公式经典例题解析1.基本形式2.乘积形式3.复合形式4.应用场景三、梅森公式在实际问题中的应用四、总结与拓展正文：一、梅森公式简介梅森公式（Mason"s formula）是一种在概率论和统计学中广泛应用的公式，用于计算离散随机变量概率密度函数的积分。
梅森公式以数学家梅森（Mason）的名字命名，其一般形式如下：若离散随机变量X有n个可能的结果，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的概率密度函数F(x)可以通过梅森公式计算：F(x) = Σ[pi * (1 - p1^(n-i))]二、梅森公式经典例题解析1.基本形式例题1：已知离散随机变量X有3个可能的结果，分别对应的概率为1/3，1/4，1/5。
求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/3) * (1 - 1/3^2) + (1/4) * (1 - 1/4^2) + (1/5) * (1 - 1/5^2)2.乘积形式例题2：已知离散随机变量X有2个可能的结果，分别为A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若事件A和事件B互斥，求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/3^2)3.复合形式例题3：已知离散随机变量X有两个可能的结果A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若随机变量Y = X + 1，求Y的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(y) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/(y-1)^2)4.应用场景梅森公式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如计算离散随机变量的累积分布函数、概率密度函数等。
此外，梅森公式还可以用于求解马尔可夫链、泊松分布等问题。
三、梅森公式在实际问题中的应用在实际问题中，梅森公式可以用于解决各种概率论和统计学问题。
1梅逊增益公式
=1+ G1 +G2+G3 +2G1G2+G2G3 + G1 G3 + 2G1G2G3 6
G1 G1 R R 1 1 1 1
G2 G2 1 1
G3 G3
K K C C
1 1
前向通道：P1 = G1 G2G3 K P2 = G2G3 K P3 = G3 K P4 = G2 (1)G3 K
分别是：P1 = G1G2G3 ，1 = 1； P2 = G1G4 ,2= 1。
梅逊公式小结
梅逊公式同时适用于信号流图和结构图；
关键：数清楚前向通道数、单回环数、互不接触回环数； 注意：反馈环是正反馈还是负反馈；
bc
k , 在所有两两互不接触的 回环中，每次不重复取 其中的两个回环增益之 积之和； L PL — 第K条前向通路的传输；
其余的以此类推
3
例2-20 求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总
传输P。 a
x0
b i
c
d j m
e
f
k
g
h x
8
解：
前向通道：1条， P1 = abcdefgh；
C(s)/R(s)=P=(P=1+1G G H 2 )/ +P2 +G G H 3、 特征式： 1
1 2 1 2 3
2、互不接触回环数： 0
2
+G1G2G3 + G4H2 + G1G4
=4、前向通道数：1G4 )/ (1+ G1G2H1 +G2G3H2 +G1G2G3 + G4H2 + G1G4 ) (G1G2G3 +G 2，
梅森公式-信号流图
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它
梅逊公式
前向通路及前向通路传递函数：信号从输入端到输出端传递 时，通过每个方框只有一次的通路，称为前向通路。前向通路 上所有传递函数的乘积，称为前向通路传递函数。
回路及回路传递函数：信号传递的起点就是其终点，而且每
个方框只通过一次的闭合通路，称为回路。回路上所有传递函
数的乘积（并且包含代表回路反馈极性的正、负号），称为回
路传递函数。
梅逊公式的表达形式
C ( s) pi i ( s) R( s )
式中 称为特征式，且
1 Li Li L j Li L j Lk L
L ——所有不同回路传递函数之和； L L ——所有两两不接触回路传递函数乘积之和； L L L ——所有三个互不接触回路传递函数乘积之和；
i
i j
i j k
Pi ——第i条前向通路传递函数；
i ——在 中，将与第i条前向通路相余子式。
02 数学模型 - 10梅逊公式
第二章控制系统的数学模型第10讲梅逊公式王燕舞梅逊(Mason)公式◆梅逊(Mason)公式是美国麻省理工学院S.J. Mason于20世纪50年代提出的。
借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。
•∑L i ：所有回路(n 条)的回路增益之和。
•∑L i L j ：所有两两互不接触回路(n 2条)的回路增益乘积之和。
•∑L i L j L k ：所有三三互不接触回路(n 3条)的回路增益乘积之和。
•P k ：从输入节点到输出节点第k 条前向通路的增益。
•Δk ：在Δ中，将与第k 条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分的Δ ，称为余子式。
•m ：从输入节点到输出节点所有前向通路的条数。
∆∆=∑=m k kk P s G 1)(+-+-=∆∑∑∑321111n kj i n j i n i L L L L L L ◆梅逊公式的表达式为：•G(s)：待求的总传递函数。
•Δ称为特征式，◆梅逊公式的证明：参见：1.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Some properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 41, no. 9, pp. 1144-1 156, Sept. 1953.2.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Further properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 44, no. 7, pp. 920-926, July 1956.3.W.K. Chen, “Applied Graph Theory, Graphs and ElectricalNetworks,” North-Holland, Amsterdam, 1976.4.陈景明, “S.J. Mason讯号流图增益公式的另一个证明,” 吉林大学自然科学学报, no. 4, pp. 137-146, 1979.G 3H 2G 2G 1G 4H 1CR G 5G 6H 4H 3-H 2G 2G 3-H 4G41G 6G 5-H 3CB E F G x 3H IR A 1G 1-H 11结构图信号流图求图示控制系统的传递函数。
梅森定律-信号流图
由系统结构图绘制信号流图
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 ➢ 注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s)
C(s)
G(s)
D(s)
R(s) E(s) (-) G1(s)
V(s)G2(s) C(s)
H(s)
(a) 结构图
a45 x5
X 5 (s) X1(s)
(b)
x1
a52
x2
x3
x4
P1 a12a23a34a45 x5
1 1
(c)
x1
x2
x3
x5 P1 a12a23a35
2 1 a44
(a) x1
a12 x2
a42
a44
a23 a32 x3
a34 x4
a35
a45 x5
a52 (d) x2
(e) x2 (f) x2 (g) x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44
x4 x3
x4 x5
L2 a23a34a42
L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
自动控制原理 第六课 动态结构图 梅逊公式
§2-4 传递函数定义控制系统的传递函数为 在零初始条件下 ，输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏变换之比。
表示为Y ( s ) bm s m + bm -1 s m -1 + ... + b1 s + b0 G( s) = = n , n ³ m (2-95) n -1 U (s) s + a n -1 s + ... + a1 s + a0系统的输出可表示为传递函数与控制输入的乘积Y ( s) = G ( s) × U ( s)(2-96)U(s)G(s)Y(s)回章首回节首12-4-3 控制系统的传递函数 1．复数阻抗U R (s) Z R ( s) = =R I R (s)(2-100)ZC ( s) =UC (s) 1 = I C ( s ) Cs(2-101)U L ( s) Z L ( s) = = Ls I L (s)回章首 回节首(2-102)22．典型环节 (1) 比例环节G(s) = Uo (s) =K Ui (s)(2) 积分环节G( s) = Uo ( s) 1 = Ui ( s) Ts(3) 微分环节U o (s) G (s) = = ts U i (s)3(4) 一阶惯性环节U o ( s) 1 G( s ) = = U i ( s) Ts + 1(5) 二阶振荡环节G( s) = U o ( s) 1 = 2 2 U i ( s ) T s + 2xTs + 1(6) 延迟环节G( s) = U o (s) = e -ts U i ( s)4画结构图时，所依据的原则是信号流通关系。
下面以实例来说明。
[例2-25] 已知两级RC网络如图2-33所示，作出该系 统的结构图。
解 设一个中间变量为电容C1 的电压Ux， 采 用复 数阻抗法顺序写出各 算子代数方程和方块图如下:回章首回节首5(1) U i ( s ) - U x ( s ) = U R1 ( s )(2) U R1 ( s ) × 1 = I ( s) R1(3) I ( s ) - I 2 ( s ) = I1 ( s )( 4) I 1 ( s ) × 1 = U x ( s ) C1 s(5) U x ( s ) - U o ( s ) = U R2 ( s )回章首回节首6(6) U R2 ( s ) × 1 = I 2 ( s ) R2 (7 ) I 2 ( s ) × 1 = U o ( s ) C2 s将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来 就可以得到如图2-33所示的系统方块图。
自动控制原理第07 讲 梅逊公式
例1：根据微分方程绘制信号流图
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、 I2(s)、Uo(s)作为信号 流图的节点，其中， Ui(s)、 Uo(s)分别为 输入及输出节点。按 上述方程绘制出各部 分的信号流图，再综 统方框图
信号流图
◇Xi(t)作用下系统的闭环传递函数 令n(t)=0，此时在输入Xi(t)作用下系 统的闭环传递函数为：
◇输入作用下系统的偏差传递函数
令n(t)=0，此时系统输入Xi(s)与偏差ε(s)之间 的传递函数称为输出作用下的偏差传递函 数。用Φεi(s)表示。
◇n(t)作用下系统的闭环传递函数
令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的 闭环传递函数（干扰传递函数）为：
◇闭环系统的开环传递函数
将闭环控制系统主反馈通道的输出断开， 即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传 递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环 传递函数。记为Gk(s)。 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈 信号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数， 即：
※比较点与节点的对应关系
◇梅逊公式
式中，P—系统总传递函数 Pk—第k条前向通路的传递函 数（通路增益） Δ—流图特征式
ΣLa —所有不同回路的传递函数之和； ΣLbLc—每两个互不接触回路传递函数乘积 之和； ΣLdLeLf—每三个互不接触回路传递函数乘 积之和；
Δk—第k条前向通路特征式的余因子，即对于 流图的特征式Δ，将与第k条前向通路相接触 的回路传递函数代以零值，余下的Δ即为Δk。
□系统的固有特征与输入、输出的形式、位 置均无关；同一个外作用加在系统的不同 位置上，系统的响应不同，但不会改变系 统的固有特性；
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2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。
2.4.1 方块图元素（1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。
C(s)图2-14 方块图中的方块信号线方块r(t)c(t)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。
（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。
“+”表示相加，“-”表示相减。
“+”号可省略不写。
2)2+Υ3图2-15比较点示意图注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置图2-16分支点示意图注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
2.4.2 几个基本概念及术语R(s)N(s)打开反馈图2-17 反馈控制系统方块图(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。
在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。
)()()()()(21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
)()()(s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
)()()()()()()(21s H s G s H s G s G s E s B == (4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
)()(1)()()(1)()()()(21s G s H s G s G s H s G s G s R s C +=+= 推导：因为)()]()()([)()()(s G s H s C s R s G s E s C -== 右边移过来整理得)()(1)()()(s G s H s G s R s C += 即开环传递函数前向通路传递函数+=+=1)()(1)()()(s G s H s G s R s C **(5) 误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。
将)()()(s G s E s C =代入上式，消去G(s)即得：开环传递函数+=+=11)()(11)()(s G s H s R s E (6) 输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0N(s)C(s)图2-18 输出对扰动的结构图由图2-18，利用公式**，直接可得：)()(1)()()()(2s H s G s G s N s C s M N +== (7) 误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0N(s)E(s)图2-19 误差对扰动的结构图由图2-19，利用公式**，直接可得：)()(1)()()()()(2s H s G s H s G s N s E s M NE +-==线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：)()()(1)()()()(1)()(2s N s H s G s G s R s H s G s G s C +++=)()()(1)()()()()(11)(2s N s H s G s H s G s R s H s G s E +-+=注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。
2.4.3 方块图的绘制（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。
（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。
系统方块图-也是系统数学模型的一种。
例2-8 画出下列RC 电路的方块图。
R（a ）图2-20一阶RC 网络解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎰c idt u R u u i o o i 对其进行拉氏变换得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=)2()()()1()()()(sC s I s U R s U s U s I o o i由（1）和（2）分别得到图（b ）和(c)。
（b ）U（c ）)(s U o将图（b ）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC 网络的方块图。
（d ）(s U i例2-9 画出下列R-C 网络的方块图。
解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=)4()()()3()()()()2()()()()1()()()(222212111111sC s I s U R s U s U s I sC s I s I s U R s U s U s I c c C C C r图2-21 二阶RC 网络根据公式(1)~(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。
由图清楚地看到，后一级R 2-C 2网络作为前级R 1-C 1网络的负载，对前级R 1-C 1网络的输出电压1c u 产生影响，这就是负载效应。
如果在这两极R-C 网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。
则此电路的方块图如图(b)所示。
图2-22 带隔离放大器的两级RC 网络（a ）2.4.4 方块图的简化——等效变换为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。
方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。
在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。
三种基本形式的等效法则一定要掌握。
（1）串联连接（a ）（b ）图2-23 环节的串联连接在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。
)()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211s R s G s G s G s U s G s C s R s G s G s U s G s U s R s G s U =====)()()()()()(321s G s G s G s G s R s C == 结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。
∏==ni i s G s G 1)()(式中，n 为相串联的环节数。
（2）并联连接（a ）（b ）图2-24 环节的并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，即:)()]()()([)()()()()()()()()()(321321321s R s G s G s G s R s G s R s G s R s G s C s C s C s C ++=++=++= )()()()()()(321s G s G s G s G s R s C =++= 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。
即：)()(1s G s G ni i ∑==式中，n 为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。
（3）反馈连接（a）（b ）图2-25 环节的反馈连接（4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。
C(s)☟放大→缩小 ☟缩小→放大☟ ☟)(])()()([)()()()(s G s G s Q s R s Q s G s R s C +=±= )()()()()()]()([)(s G s Q s G s R s G s Q s Rs C ±=±= 图2-26 比较点移动示意图分支点（引出点）前移C(s)C(s)☟☟☟ ☟)()()(s G s R s C = 右)()(1)()()(s R s G s G s R s R ==左图2-27 分支点移动示意图例2-10 用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。
图2-28 多回路系统方块图解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。
本题的求解方法是把图中的点A 先前移至B 点，化简后，再后移至C 点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。
6G 7G4325G G G G += 串联和并联25561H G G G +=反馈公式211255125211255152161617111111G H G H G G G H G G H G H G G G G G H G G G G G ++=+++=+= 反馈公式 21121432432151211255177))((1)(11)()()(G H G H G G G G G G G G G G G H G H G G G G G s G s R s C +++++=+++=+==例2-11 将例2-9的系统方块图简化。
分支点A 后移（放大->缩小），比较点B 前移（放大->缩小）。
比较点1和2交换。
)s)(s U r )(s U c)(s U r )(s c图2-29 方块图的简化过程2.4.5 信号流图和梅逊公式（S ·J ·Mason ）方块图是一种很有用的图示法。
对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。
Mason 提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。
因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。
2.4.5.1信号流图中的术语因果增益节点 输出方向2x 1x 1122x a x =12a6x图2-30 信号流图输入节点：具有输出支路的节点。
图2-30中的1x 。
输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。
有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。
我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图2-30中的5x 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。
如图2-30中的432,,x x x前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。