如何用梅逊公式求传递函数
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梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
自动控制原理 第六课 动态结构图 梅逊公式
§2-4 传递函数定义控制系统的传递函数为 在零初始条件下 ，输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏变换之比。
表示为Y ( s ) bm s m + bm -1 s m -1 + ... + b1 s + b0 G( s) = = n , n ³ m (2-95) n -1 U (s) s + a n -1 s + ... + a1 s + a0系统的输出可表示为传递函数与控制输入的乘积Y ( s) = G ( s) × U ( s)(2-96)U(s)G(s)Y(s)回章首回节首12-4-3 控制系统的传递函数 1．复数阻抗U R (s) Z R ( s) = =R I R (s)(2-100)ZC ( s) =UC (s) 1 = I C ( s ) Cs(2-101)U L ( s) Z L ( s) = = Ls I L (s)回章首 回节首(2-102)22．典型环节 (1) 比例环节G(s) = Uo (s) =K Ui (s)(2) 积分环节G( s) = Uo ( s) 1 = Ui ( s) Ts(3) 微分环节U o (s) G (s) = = ts U i (s)3(4) 一阶惯性环节U o ( s) 1 G( s ) = = U i ( s) Ts + 1(5) 二阶振荡环节G( s) = U o ( s) 1 = 2 2 U i ( s ) T s + 2xTs + 1(6) 延迟环节G( s) = U o (s) = e -ts U i ( s)4画结构图时，所依据的原则是信号流通关系。
下面以实例来说明。
[例2-25] 已知两级RC网络如图2-33所示，作出该系 统的结构图。
解 设一个中间变量为电容C1 的电压Ux， 采 用复 数阻抗法顺序写出各 算子代数方程和方块图如下:回章首回节首5(1) U i ( s ) - U x ( s ) = U R1 ( s )(2) U R1 ( s ) × 1 = I ( s) R1(3) I ( s ) - I 2 ( s ) = I1 ( s )( 4) I 1 ( s ) × 1 = U x ( s ) C1 s(5) U x ( s ) - U o ( s ) = U R2 ( s )回章首回节首6(6) U R2 ( s ) × 1 = I 2 ( s ) R2 (7 ) I 2 ( s ) × 1 = U o ( s ) C2 s将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来 就可以得到如图2-33所示的系统方块图。
梅逊公式的应用
系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另相加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
P1=G1G2G3 G4G5； ； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2； 有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)
梅逊公式中南大学机械工程控制基础
俩俩互不接触回路:L1,L2
1 Li LiLj 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5 P1 G1G 2G 3 1 1 C ( s ) P11 G ( s) R(s) G1G 2G 3 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5
四.梅逊公式
1 P Pk k
式中 P-- 系统总增益（总传递函数） k -- 前向通路数 Pk --第k条前向通总传递函数 Δ-- 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。 在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是Δ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变化的只是其分子。
1 Li LiLj LiLjLk (1)n (LiLjLk )
P1 G1G 2G 3 1 1
C ( s) P11 G1G 2G 3 G( s) R( s ) 1 G1G 2 H 1 G1G 2G 3 G 2G 3 H 2
例. 图所示系统方块图,用梅森公式求系统的传递函数。
L1 G1G 2 H 1 1 G1G 2 H 1 G 2G 3 H 2 G1G 2G3 G1G 4 G 4 H 2 L 2 G 2G 3 H 2 P1 G1G 2G3 1 1 L3 G1G 2G 3 P 2 G1G 4 2 1 L 4 G1G 4 L5 G 4 H 2
其中： Li ――所有不同回路增益乘积之和；
LL
i j k
i j
――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； ――所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
(L L L )
k :
如何用梅逊公式求传递函数
X4 X5 H2
输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
二、梅逊增益公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到
输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
Sunday, March 22, 2020
12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
2.7 梅逊公式
△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触 条前向通道相接触（ △k：将中△与第 条前向通道相接触（有 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S)：从输入通道到输出通道总的传递 、 ： H1 H2 H3 函数（总增益）。 函数（总增益）。 2、△：称为系统主特征式 、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益 回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解： 3、G(S) 、
△＝1＋G2G3H2 ＋G4G5H3 ＋G3G4H4 ＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式， 应用梅逊公式，将大大简化结构 变换的计算。 变换的计算。但当系统结构较复 杂时，容易将前向通道、 杂时，容易将前向通道、回路数 及余子式判断错，需格外注意。 及余子式判断错，需格外注意。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。 G4 4 G3 2 H2
梅森公式-信号流图
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它
第二章 传递函数-梅逊公式
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
R(s) 1 G(s)H(s)
R(s)
C(s)
Φ(s)
同理 E(s) R(s) B(s)(正反馈时） (s)= C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
闭环传递函数的通式为
前向通道的传递函数
(s) 1闭环的开环传递函数
负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取 “-”
（1）前向通道：G(s)
传递函数为： G(S)= Uc(S)/ Uc(S) =1/(TS)＝k/S
2.2 传递函数
惯 性
惯性环节：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)
当T=∞时，惯性 环节近似为积分 环节；当T=0时，
环 节
阶跃响应： R(S)=1/S C(t)=k(1-e-1/T) C(S)=kR(S)
a
n
sn1
1
……
a1s
a
0
R(s)
传递函数，记作G（s）
传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初 始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比， 记作G(s)
G(s)
C(s) R(s)
|零初始条件
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Sunday, October 21, 2018
7
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]： 根据结构图 列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制 例1：速度控制系统的结构图为： u1 ( s) u g ( s ) ue ( s ) ua ( s ) u2 ( s )
u f ( s)
G1
G2
G3
M c ( s)
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和； 路传输乘积之和；
b c
1 n P Pk k k 1
L L 所有互不接触回路中，每次取其中两个回 L L L
d e f
回路传输乘积之和；
所有互不接触回路中，每次取其中三个
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
n 1 其表达式为：P Pk k k 1 式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
Sunday, October 21, 2018
11
梅逊公式
1 La Lb Lc Ld Le L f ...（正负号间隔）
g
V1
b
d l f
V3
e h
C (S b Ⅲ V1 d Ⅴ e V2 1 g Ⅰ
m
h l
R1
Sunday, October 21, 2018
9
信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后 的代数方程所表示的变量间 数学关系绘制。如前例所对 应的代数方程为:
f R1
Ⅳ V3 k C Ⅱ b Ⅲ V1 d Ⅴ e V2 1 g Ⅰ
Sunday, October 21, 2018
2
信号流图的术语
X1
G1
X2
X3
G2
H1
G3
H3 G4
X4 X5
G5
X6
H2
X9 G6X 7 G7 X8
[几个术语]：
输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。 通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
Sunday, October 21, 2018
3
信号流图的术语
X1
G1
X2
X3
G2
H1
G3
H3 G4
X4 X5
G5
X6
H2
X9 G6X 7 G7 X8
回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终 点为同一节点的通路称为回路。 互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互 不接触回路。 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回 路增益。 4 Sunday, October 21, 2018
m
h l
V1 mV 1 lV3 bR C V2 gV1 hV2 eV3 fR
V3 dV1 kV2
按方程可绘制信号流图。
Sunday, October 21, 2018
10
梅逊公式
二、梅逊增益公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到 输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关 系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。 一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
N 1 R 1 E G1 P G2 Q 1
R( s ) E ( s ) G1 ( s) C -
N (s) + C (s) G2 (s)
2
混合支路的清除：
ad
x4
bd
bc
x1 ac x1
x2 x4
1 1 b
x3 ac
x2 bc
ab
自回路的消除：
a
b x3
1
x1
x2
b
x1 x3 b x4
x1
ab
x3
x4
Sunday, October 21, 2018
6
信号流图的性质
信号流图的性质
节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每 个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而 从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而 变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
H
H (s)
Sunday, October 21, 2018
1
信号流图的概念
节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。 支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示 信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
x
G
y
x
G
y
上图中， 两者都具有关系: y( s) G( s) x( s)。支路对节点x来说 是输出支路，对节点y来说是输入支路。
Gm
Gu
( s )
Gf
先在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图 M c 如下图所示。 G
1
G1
G2
G3
Gu
m
1
ug
ue
u1
u2
G
f
ua
8
Sunday, October 21, 2018
例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
k m
R (S )
前向通道接触的回路后的剩余部分。
Sunday, October 21, 2018
12
梅逊公式||例2-13a
P
P
k 1 k
信号流图的等效变换
串联支路合并：
x1
a
x2
a
b
x3
x1
ab
x3
并联支路的合并：
x1
b
x2
x1
ab
x2
回路的消除：
x1 x2
a
b
c
x3
x1
b a 1 bc
x2
x3
Sunday, October 21, 2018
5
信号流图的等效变换
x4 ad b x1 c x2 x3 x1 a c b x3 x4 x