梅逊增益公式及应用

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梅逊公式

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21
解: 有三条前向通路，前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
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回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L

a a

2.4 梅森公式

(该通道所有传递函数的乘积) (回路传输之和） (两两不接触回路传输之和）
(特征式中，去掉与第k条通道相接触的回路增益，剩下的部分
[例2.20] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G4
R
1
G1
G2
H
G3
C
回路与两个前向通道接触，解 : 前向通道: △1=1， △ 2=1
P1=G1G2G3 P2=G4G3
L2 L5 G1G2G4G7 H 2 H3
特征式:
1 La Lb Lc
1 ( L1 L2 L3 L4 L5 ) (L1L2 L1L4 L2 L5 )
1 G2 H1 G4 H 2 G1G2G3G4G5 H3 G6G4G5 H3 G1G2G7 H 3 G2G4 H1H 2 G2G4G5G6 H1H3 G1G2G4G7 H 2 H3

C ( s) Gr ( s ) R( s) Gn ( s ) N (s) R( s) N ( s) 1 s
3 1 求出：a1 1, a2 , a3 2 2

8 1 s 1 C ( s) 2 2 s 6s 8 s s 6s 8 s
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3
G1G3 Y (s) D2 ( s ) D2 ( s ) 1 G1G2G3
例[2.24] 系统结构如图，求 r (t ) n(t ) 1 时的输出。
1.给定输入作用下的闭环传递函数令D(s)=0
C (s) ( s) R( s)

梅森公式-信号流图

例4 已知系统信号流图，解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b

信号流图梅森公式

回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
2/5/2020
5
信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1

x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
2/5/2020
6
信号流图的等效变换
P

1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
ug ue
u1
u2
ua

G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f

自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件

ABCD
然后，通过分析梅森公式的各项系数，确定系统的极点和零点。
最后，将梅森公式的分析结果转换为信号流图，进一步明确系统各变量之间的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相应的节点，并根据梅森公式的各项系数确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动态系统数学模型的图形表示方法，通过节点和支路表示系统中的信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节点表示系统的动态方程，支路表示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置，判断系统的稳定性、频率响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。

梅森增益公式适用范围.docx

梅森增益公式适用范围标题：梅森增益公式适用范围的阐述引言：梅森增益公式是电子电路设计中常用的一种分析工具，用于计算电路增益和频率响应。

然而，在实际应用中，梅森增益公式的适用范围有一定限制。

本文将就梅森增益公式的适用范围展开阐述，以帮助读者更好地理解和使用这一公式。

一、梅森增益公式简介梅森增益公式是一种基于网络理论的公式，用于计算复杂电路的总增益。

它是由美国电子工程师梅森提出的，一般用于线性、定常、时不变的电路分析。

二、适用范围的限制1. 线性电路要求梅森增益公式适用于线性电路，即电路的元件和信号是线性的。

对于非线性电路，例如包含二极管、晶体管等非线性元件的电路，梅森增益公式就不再适用。

2. 定常电路要求第1页/共6页梅森增益公式适用于定常电路，即电路的参数是固定的，不随时间变化。

对于具有非定常特性的电路，如含有开关、变阻器等可变元件的电路，梅森增益公式无法提供准确的结果。

3. 时不变电路要求梅森增益公式适用于时不变电路，即电路的参数与时间无关。

在实践中，例如考虑温度变化、电源变化等因素会导致电路参数发生改变，因此这些情况下梅森增益公式不能得到准确的结果。

三、梅森增益公式的优势尽管梅森增益公式存在一定的适用范围限制，但它仍然是电子电路设计中常用的工具。

以下是梅森增益公式的一些优势：1. 简单易用相比其他复杂的电路分析方法，梅森增益公式简单易懂，计算过程相对简单直观。

这使得它成为工程师们在电路设计、故障排除等方面的重要工具。

2. 可模块化分析梅森增益公式支持对电路进行模块化分析。

通过将复杂的电路划分为多个子电路，可以使用梅森增益公式计算每个子电路的增益，进而得到整个电路的总增益。

这种分析方法便于对电路进行优化和调试。

第2页/共6页3. 提供定量分析结果梅森增益公式给出的是数值化的增益结果，可以帮助工程师量化地评估和比较不同电路的性能。

这对于电路设计者来说非常重要，可以在设计初期对各个子电路进行评估和优化。

专题5-梅森增益公式

应用叠加原理,令R(s)=0,可直接由梅森公式求得扰动作用N(s)到输出量C(s)之间的闭环传递函数
N (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1(s)G2 (s)H (s)
同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)为
C(s)
N
(s)N
(s)
1
G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
精品资料
精品资料
第二章控制系统(kònɡ zhì xì tǒnɡ)数学模型小结
1. 数学(shùxué)模型是描述系统元、部件及系统动态特性的数学(shùxué)表达式，是对系统进行分析研究的主要依据。
2. 根据实际系统用解析法建立数学模型，一般必须首先分析系统各元、部件的工作原理，然后利用基本定律，并舍去次要因素及进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能反映元、部件及系统动态本质的时域数学模型—微分方程。
应用叠加原理令ns0可直接求得输入信号rs到输出信号cs之间的传递函数为输入信号下的闭环传递函数应用叠加原理令rs0可直接由梅森公式求得扰动作用ns到输出量cs之间的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数显然当输入信号rs和扰动作用ns同时作用时系统输出cs为闭环系统的误差传递函数闭环系统在输入信号或扰动作用时以误差信号es作为输出量时的传递函数称为误差传递函数
精品资料
前向通路(tōnglù)有一条(即n=1): p回1路=G有1G三2个G3:LG14 . G2G3H2 , L2 G3G4H3 ,所有回路都接触,故 1 1.
C(s) R(s)
1
p11
G1G2G3G4 1 G G H 2 3 2 精品资料 G3G4H3 G1G2G3G4H1
(s) C(s) G1(s)G2 (s)

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T G(s)
G1G2G3G4 G1G6 G1G3G5G6
1 G3G5 G1G2G3G4G7 G1G6G7 G1G3G5G6G7
例: 试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。
解：首先确定信号流图中由输入节点到输出节点间的前向通路数,由图可知：
n= 2，且有： P1=acegi P2=kgi L1=ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij
P k——为第K条前向通路的增益； ——信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数
行列式；
1 (所有不同回路增益之和) (所有两个互不接触回路增益乘积之和) (所有三个互不接触回路增益乘积之和)
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
i 1
1 1
T

C(s) R( s )

1
P11

1
G1G2 H1
G1G2G3 G2G3H2
G1G2G3
例：求系统的总增益。
R(s)+
G1(s)
G2(s) +
G6(s) ③
G3 ( s)
①
G5(s)
②
G7 ( s)
+ + C(s) G4 ( s )
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
梅逊增益公式及应用
信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：
T

G(s)

C(s) R( s )

1
n
Pk k
k 1
式中：
一定要记住的公式！
T——G(s)从输入节点到输出节点之间的总增益(即传递函数)；
n——为从输入节点到输出节点之间前向通路的总数；
三根T 个据 G回梅(环逊s) 均公 CR与式((前，ss)) 向系 1通统k路总n1增PPk1接益k触为，：所以1=1
G(s) C(s) P11
G1G2G3G4
R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
R(s)+ +
H2(s)
—

1
P11 P22
L1 L2
L3

(acegi

kgi

kgicd) /
[1 (ab cd ef gh ij kfab) (abef abgh
abij cdgh cdij efij kfabij) abefij]
求C(s)/R(s)与E(s)/R(s)
式中： L1——信号流图中所有不同回环的增益之和； L2——所有两个互不接触回环增益的乘积之和； L3——所有三个互不接触回环增益的乘积之和； ………………… Lm——所有m个互不接触回环增益的乘积之和。
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
k——第K条前向通路的信号流图特征式的余子式，即从中除去与第K条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分( 又称为因子)。
L2 =—G3G4G5 L3 =—G1G2G3G7 L1 = - G2G3G6 - G3G4G5 - G1G2G3G7
-G6
s) 1
G1
G2① G3
G4
-G5 ②
③ -G7
三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：
1 C(s)
=1- L1- L2-…….. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7
G1(s) +
G2 ( s )
G3 ( s )
C(s)
——
H1(s)
R(s) 1
-H2
1
G1 G2
G3
1 C(s)
-H1
-1
R(s) 1
P1 G1G2G3
L1 G1G2H1 L2 G2G3H2 L3 G1G2G3
-H2
1
②
G1 G2
G3
1 C(s)
① -H1
-1 ③
3
1 Li 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3
G3
G4
①
② -G7 -G5
1 C(s)
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
G3
G4
1 C(s)
①
② -G7 -G5
解：两条前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6
闭环回路三条:
L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7
互不接触回路为: L1和L3 =1- Li + Li Lj =1+G3G5+G1G2G3G4G7+ G1G6G7+ G1G3G5G6G7 1=1 2= 1+G3G5
Es Rs

1
P11

1
1 G1G2 H1
G1G2H1 G2G3H2 G4H2 G2G3H2 G1G2G3 G1G4

G4 H 2
=1-L1+L2-L3 =1- （ ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）- abefij
第一条前向通路与所有回路均有接触，所以1=1
第二条前向通路与回路cd不接触，所以2=1-cd
T

G(s)
这个公式看起来是不是很难呢？实际上
！它很容易掌握的，我们来做几个例题吧
试用梅逊公式计算图示系统的总增益。 -G6
R(s) 1
G1
G2① G3
G4
1 C(s)
-G5 ②
③ -G7
解：输入节点R(s)和输出节点C(s)之间只有一条前向通路。
n=1，通路增益为： P1=G1G2G3G4 三个回路： L1 =—G2G3G6
Gs 1
Pk k

1 G1G2H1
G1G2G3 G1G4 G2G3H2 G1G2G3
G1G4
G4H2
② E(s)/R(s) E(s)
1
R(s)
1 1 G1
-H1
④⑤
G4
G2
G3
① -H2 ②
前向通道： P1 1
-1 ③
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2
R(s)+ E(s)+
+ G1
H1
G4
G2
G3 + + C(s)
H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
①C(s)/R(s)
④⑤
R(s) 1
1
G1
G4
G2
G3
1 C(s)
-H1
① -H2 ②
-1 ③
前向通道：
P1 G1G2G3 P2 G1G4
反馈回路： L3 G1G2G3
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
前向通道： P1 1
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
反馈回路：
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2 L3 G1G2G3
1 2 1
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
P1 G1G2G3 P2 G1G4
1 2 1 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2