专题5 梅森增益公式
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
信号流图梅森公式
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
2/5/2020
5
信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1
x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
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信号流图的等效变换
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
ug ue
u1
u2
ua
G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
梅森增益公式适用范围.docx
梅森增益公式适用范围标题：梅森增益公式适用范围的阐述引言：梅森增益公式是电子电路设计中常用的一种分析工具，用于计算电路增益和频率响应。
然而，在实际应用中，梅森增益公式的适用范围有一定限制。
本文将就梅森增益公式的适用范围展开阐述，以帮助读者更好地理解和使用这一公式。
一、梅森增益公式简介梅森增益公式是一种基于网络理论的公式，用于计算复杂电路的总增益。
它是由美国电子工程师梅森提出的，一般用于线性、定常、时不变的电路分析。
二、适用范围的限制1. 线性电路要求梅森增益公式适用于线性电路，即电路的元件和信号是线性的。
对于非线性电路，例如包含二极管、晶体管等非线性元件的电路，梅森增益公式就不再适用。
2. 定常电路要求第1页/共6页梅森增益公式适用于定常电路，即电路的参数是固定的，不随时间变化。
对于具有非定常特性的电路，如含有开关、变阻器等可变元件的电路，梅森增益公式无法提供准确的结果。
3. 时不变电路要求梅森增益公式适用于时不变电路，即电路的参数与时间无关。
在实践中，例如考虑温度变化、电源变化等因素会导致电路参数发生改变，因此这些情况下梅森增益公式不能得到准确的结果。
三、梅森增益公式的优势尽管梅森增益公式存在一定的适用范围限制，但它仍然是电子电路设计中常用的工具。
以下是梅森增益公式的一些优势：1. 简单易用相比其他复杂的电路分析方法，梅森增益公式简单易懂，计算过程相对简单直观。
这使得它成为工程师们在电路设计、故障排除等方面的重要工具。
2. 可模块化分析梅森增益公式支持对电路进行模块化分析。
通过将复杂的电路划分为多个子电路，可以使用梅森增益公式计算每个子电路的增益，进而得到整个电路的总增益。
这种分析方法便于对电路进行优化和调试。
第2页/共6页3. 提供定量分析结果梅森增益公式给出的是数值化的增益结果，可以帮助工程师量化地评估和比较不同电路的性能。
这对于电路设计者来说非常重要，可以在设计初期对各个子电路进行评估和优化。
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
梅森增益公式
具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为
式中
——从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）；
——从源节点到阱节点的前向通路总数；
——从源节点到阱节点的第
条前向通路总增益；
——流图特征式
式中
——所有单路回路增益之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和；
——流图余因子式，它等于流图特征式中除去与第
条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。
[1]。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
Mason增益公式
通路
沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。
输入节点 只有输出的节点，代表系统的输入变量。 输出节点 只有输入的节节点
混合节点 既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。
从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点 前向通路 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之
Lm —任何m个互不接触回路传递函数乘积之和
∆k
—第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式∆，将与第 k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k。
一个前向通道的情况
只有一条前向通路
三个不同回路
L1、L2不接触
P1与L1、L2、L3均接触
多个前向通道的情况
C(s) R(S)
五、 信号流图梅逊公式
G —系统总传递函数
G(s)
1
n k 1
Pk k
Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）
∆ —流图特征式
1
L 1
L2
L3 ... (1)m
Lm
L1 —所有不同回路的传递函数之和
L2 —每两个互不接触回路传递函数乘积之和 L3 —每三个互不接触回路传递函数乘积之和
乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的 回路 闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回
路增益，用Lk表示。
X2、X3 X3、X4 X5
不接触回路 相互间没有任何公共节点的回路
二、信号流程图的简化
三、根据方框图绘制信号流图 方块图转换为信号流图示例1
方块图转换为信号流图示例2
一、信号流图的组成要素及其术语
信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来 描述一个或一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一 种信号传递网络。
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回路有三个:L1 ? ? G2G3H 2 , L2 ? ? G3G4H 3 , L3 ? ? G1G2G3G4 H1 .
没有不接触回路,且前向通路与所有回路都接触,故 ? 1 ? 1.
?
C(s) ? R(s)
1 ?
p1? 1
?
1?
G2G3H 2
G1G2G3G4 ? G3G4 H 3 ?
G1G2G3G4 H1
2. 根据实际系统用解析法建立数学模型，一般必须首先分析系统各元、 部件的工作原理，然后利用基本定律，并舍去次要因素及进行适当的线性 化处理，最后获得既简单又能反映元、部件及系统动态本质的时域数学模 型—微分方程。
3. 传递函数是一种复数域数学模型，结构图是传递函数的图形表示法， 它直观形象地表示出系统中信号的传递变换特征，这将有助于对系统进 行分析研究。同时，根据结构图，应用等效变换法则或者梅森增益公式 可以迅速求得系统的各种传递函数。
?
1?
1 G1(s)G2 (s)H (s)
?G1(s)G2 (s)R(s)
?
G2 ( s) N ( s )?
(3) 闭环系统的误差传递函数
闭环系统在输入信号或扰动作用时，以误差信号E(s) 作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。它们可由梅 森增益公式求得
第二章控制系统数学模型小结
1. 数学模型是描述系统元、部件及系统动态特性的数学表达式，是对 系统进行分析研究的主要依据。
作业 P80 2-12(b),2（-1b5)
?N (s) ?
C(s) N(s)
?
G2 (s) 1 ? G1(s)G2 (s)H (s)
同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)为
C(s)
?
? N (s) N(s)
?
1
?
G2(s) G1(s)G2 (s)H
(s)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N(s)
显然当输入信号 R(s)和扰动作用N(s)同时作用时,系统输出C(s)为
? C(s) ? ? (s) ?R(s) ? ?N (s) ?N(s)
因此,系统的传递函数为
C(s) ? p1? 1 ? p2? 2 ? p3? 3 ? p4? 4
R(s)
?
? P
?
1 ?
n k?1
pk?
k
?
G2G3K(1 ? G1) ? G1G3K(1 ? G2 )
1 ? G1 ? G2 ? G3 ? 2G1G2 ? G1G3 ? G2G3 ? 2G1G2G3
2.闭环系统的传递函数
例 试用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s) .
1
? 解: 单独回路有四个即 La ? ?G1 ? G2 ? G3 ? G1G2
两个互不接触的回路有四组,即
? LbLc ? G1G2 ? G1G3 ? G2G3? G1G2G3 ? 三个互不接触的回路有一组,即 Ld LeLf ? ? G1G2G3
1
则信号流图特征式为
? ? ? ? ? 1 ? La ? LbLc ? Ld LeLf
? 1 ? G1 ? G2 ? G3 ? 2G1G2 ? G1G3 ? G2G3 ? 2G1G2G3
前向通路共有四条,其增益及余因式分别为
p1 ? G1G2G3K , ? 1 ? 1 ; p2 ? G2G3K , ? 2 ? 1 ? G1 ; p3 ? G1G3K , ? 3 ? 1 ? G2 ; p4 ? ? G1G2G3K , ? 4 ? 1 .
R(s) 1 ? G1(s)G2 (s)H (s)
由 ? (s)可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C(s)为
C (s) ? ? (s)R(s) ? G1(s)G2 (s) R(s)
1 ? G1(s)G2 (s)H (s)
⑵ 扰动作用下的闭环传递函数
应用叠加原理,令R(s)=0,可直 接由梅森公式求得扰动作用N(s)到 输出量C(s)之间的闭环传递函数
反馈控制系统的典型结构图和信号流图
图中: R(s)-----输入信号; N(s)------扰动信号; C(s)------输出信号.
⑴ 输入信号下的闭环传递函数
应用叠加原理,令N(s)=0,可 直接求得输入信号R(s)到输出信 号C(s)之间的传递函数为
? (s) ? C(s) ?
G1(s)G2 (s)
自动控制原理
(Principles of Automatic Control）
第5讲
1.梅森(Mason) 增益公式
直接求取从源节点到阱节点的传递函数。
? P
?
1 ?
n k?1
pk?
k
例 试用梅森公式求下图系统的传递函数C(s)/R(s) .
前向通路有一条(即n=1): p1=G1G2G3G4 .