2.4 梅森公式
梅森公式求传递函数
梅森公式求传递函数
梅森公式是一种常用的求解数字滤波器传递函数的方法。
数字滤波器是一种用于数字信号处理的滤波器，其传递函数描述了滤波器对输入信号的影响。
梅森公式可以用于求解各种类型的数字滤波器的传递函数，包括低通、高通、带通和带阻滤波器。
梅森公式的基本形式为：
H(z) = B(z) / A(z)
其中，B(z)和A(z)分别为数字滤波器的分子和分母多项式。
通过对分子和分母多项式进行系数的选择和取值，可以得到不同类型的数字滤波器传递函数。
例如，对于一个二阶低通数字滤波器，其分母多项式可以表示为： A(z) = 1 + a1*z^-1 + a2*z^-2
其中，a1和a2为系数。
通过选择合适的系数值，可以得到所需的滤波器响应特性。
类似地，分子多项式可以表示为：
B(z) = b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2
也需要根据需要的响应特性进行系数的选择。
将分子和分母多项式代入梅森公式，即可求得数字滤波器的传递函数。
需要注意的是，在使用梅森公式求解数字滤波器传递函数时，需要考虑数字滤波器的采样率、截止频率等参数，以确保所得到的传递函数具有所需的滤波性能。
同时，由于数字滤波器的传递函数是离散的，因此在实际应用中需要进行数字信号的抽样和插值等处理，以确保信号处理的准确性和精度。
梅森公式_精品文档
梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。
梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。
如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。
梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。
由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。
本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。
2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。
其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。
梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为。
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介二、梅森公式经典例题解析1.基本形式2.乘积形式3.复合形式4.应用场景三、梅森公式在实际问题中的应用四、总结与拓展正文：一、梅森公式简介梅森公式（Mason"s formula）是一种在概率论和统计学中广泛应用的公式，用于计算离散随机变量概率密度函数的积分。
梅森公式以数学家梅森（Mason）的名字命名，其一般形式如下：若离散随机变量X有n个可能的结果，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的概率密度函数F(x)可以通过梅森公式计算：F(x) = Σ[pi * (1 - p1^(n-i))]二、梅森公式经典例题解析1.基本形式例题1：已知离散随机变量X有3个可能的结果，分别对应的概率为1/3，1/4，1/5。
求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/3) * (1 - 1/3^2) + (1/4) * (1 - 1/4^2) + (1/5) * (1 - 1/5^2)2.乘积形式例题2：已知离散随机变量X有2个可能的结果，分别为A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若事件A和事件B互斥，求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/3^2)3.复合形式例题3：已知离散随机变量X有两个可能的结果A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若随机变量Y = X + 1，求Y的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(y) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/(y-1)^2)4.应用场景梅森公式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如计算离散随机变量的累积分布函数、概率密度函数等。
此外，梅森公式还可以用于求解马尔可夫链、泊松分布等问题。
三、梅森公式在实际问题中的应用在实际问题中，梅森公式可以用于解决各种概率论和统计学问题。
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
自动控制原理C作业(第二章)答案
4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
梅森公式的理解
是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。
对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。
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2.4 信号流图
信号流图是表示线性方程组的示意图。在控制工
程中，信号流图和结构图一样，可以用来表示系统的
结构和变量传递过程中的数学关系。所以，信号流图 也是控制系统的一种图形表示的数学模型。
1. 符号简单、便于绘制； 2. 可以根据统一的公式直接求得系统的传递函数； 3. 适用于结构复杂的系统分析；
R
1
E G H
C
D( s)
3、R( s)
B( s )
E (s)
G1(s)
G2(s)
C (s)
H(s)
R
1
E G1
D 1
G2 C 1
H
[例2.19] 试将方框图化为信号流图
R
1
1
H2
G1
H1
G2
1
G3
1
C
2.4.6 梅森公式
La 第a个回 路的总增益；
Lb Lc 两两不接 触回路乘积
闭环传递函数是指反馈连接的系统输入与输出之
间的传递函数。
对于单回路闭环负反馈系统传递函数的一般公式为
前向通道传递函数 闭环传递函数 1+开环传递函数
G( s) 1 G(s) H (s)
D( s)
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
G2(s)
C (s)
H(s)
[ 例 2.21] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
解 : 前向通道 P1=G1G2G3G4G5
回路，
三个 回路均与前向通道 接触，△1=1
L1=G2G3H1 L2=－G3G4H2 L3=－G1G2G3G4H3
C ( s) 1 G(s) P 11 R( s ) G1G2G3G4G5 1 G2G3 H1 G2G3 H 2 G1G2G3G4 H 3
二、通道及其类别
源节点到阱节点,通过任何节点只能一次的通道 前向通道传输:前向通道中各支路传输的乘积
REPQC
DPQC
G1G2G3G4 G5G3G4
回路
起点与终点是同一节点的通道,其它节点只能通过一次 EPQE 回路传输:回路中各支路传输的乘积 G2G3 H 不接触回路:没有任何公共节点的回路
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3
G1G3 Y (s) D2 ( s ) D2 ( s ) 1 G1G2G3
例[2.24] 系统结构如图，求 r (t ) n(t ) 1 时的输出。
G1 ( s )
G3 ( s )
G2 ( s )
反馈通道: G2 ( s)G3 ( s)
+ + D2 ( s)
G1 Y ( s) ( s) R( s) 1 G1G2G3
2) 扰动D1(s)输入作用下,令R(s)= D2(s)= 0 前向通道:
3) 扰动D2(s)输入作用下,R(s)= D1(s)= 0 前向通道: G1 ( s)G3 ( s) 反馈通道:
G2(s)
C (s)
C(s) D (s) D(s)
G2 ( s) D( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
3.给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出
C(s) (s) R(s) D (s) D(s)
G1 ( s)G2 ( s) G2 ( s) R( s ) D( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
偏差是指给定输入信号r(t)与主反馈信号b(t)之间
的差值,用e(t)表示,即
e(t ) r (t ) b(t )
其拉普拉斯变换为
E ( s ) R( s ) B( s )
下面研究各种输入作用下的偏差传递函数.
D( s)
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
D( s)
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
G2(s)
C (s)
H(s)
反馈控制系统的典型结构
2.5.1 系统的开环传递函数
R( s ) E ( s ) G1(s) 前向通道传递函数与反馈 B( s )
D( s)
G2(s)
C (s)
通道传递函数的乘积就称为开 环传递函数。
解:对结构图进行简单变换 给定输入作用下,令N(s)=0
Gr ( s )
C( s ) R( s )
8
1 1 2 (6 s 8) s 8 2 s 6s 8
1 s2
扰动输入作用下,令Ｒ(s)=0 1 C( s ) s Gn ( s ) R( s ) 1 1 [ 1 (6s 8)] s s s 2 s 6s 8
1
C
H1
解 : 前向通道: 反馈回路:
H2 H3
P1=G1G2G3G4G5
P2=G6G4G5
P3=G1G2G7
L1=G2H1 L2=－G4H2 L3=－G1G2G3G4G5H3
L4=－G6G4G5H3
L5=－G1G2G7H3
两两互不接触回路:
L1L2 G2G4 H1H 2
L1L4 G2G4G5G6 H1H3
G2(s)
C (s)
H(s)
1.给定输入作用下的偏差传递函数 令D(s)=0
E ( s) E ( s) R( s)
1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1 R( s ) E(s) E (s) R(s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
D( s)
3 1 1 2 C ( s) 2 s s2 s4
8 s s( s 2 6s 8)
c(t ) 1 3 e2t 1 e4t 2 2
8 s s( s 2)( s 4)
a3 a1 a2 s s2 s4
2.5.3 闭环系统的偏差传递函数
注意:只有输出可以叠加,不存在统一的传递函数.
例[2.23]系统结构如图，求传递函数
X (s) +
Y( s ) Y( s ) Y( s ) , , R( s ) D1( s ) D2( s )
.
++
D1 ( s )
Y ( s)
解:1)给定输入作用下,令D1(s)= D2(s)= 0
前向通道:
-
G1 ( s )
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
G2(s)
C (s)
H(s)
2.扰动作用下的偏差传递函数 令R(s)=0
E ( s) DE ( s) D( s ) G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
E (s)
D( s)
2.4.1 信号流图的基本要素
节点——代表系统中的一个变量或信号。用符号“ ”表示。 支路 —— 是连接两个节点的定向线段。用符号“→”表示， 其中的箭头表示信号的传送方向。 传输 —— 亦称支路增益，支路传输定量地表明变量从支路 一端沿箭头方向传送到另一端的函数关系。用标在支路旁边 的传递函数“G”表示支路传输。
回路:
L1=-G2G3H
C ( s) 1 G(s) （P 11 P 2 2） R( s)
只有一个回路，所以，△=1 －L1
G1G2G3 G3G4 1 G2G3 H1
=1 +G2G3H
[例2.22]
R
用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G6
G7
G3 G4 G5
1
G1
G2
(该通道所有传递函数的乘积) (回路传输之和） (两两不接触回路传输之和）
(特征式中，去掉与第k条通道相接触的 回路增益，剩下的部分
[例2.20] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G4
R
1
G1
G2
H
G3
C
回路与两个前向通道接触， 解 : 前向通道: △1=1， △ 2=1
P1=G1G2G3 P2=G4G3
H(s)
B( s) GK (s) G1 (s)G2 (s) H (s) R( s)
注：开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是 指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。 当H(s)=1时,则开环传递函数和前向通道传递函数一致, 则
GK ( s) G1 ( s)G2 ( s)
2.5.2 系统的闭环传递函数
Y GX
2.4.2 信号流图的常用术语
阱节点
一、节点及其类别
源节点
源节点 只有输出支路而无输入支路的节点称为源
节点或输入节点，对应于系统的输入变量。
混合节点
阱节点 只有输入支路而无输出支路的节点称为阱
节点或输出节点，它对应于系统的输出变量。
混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为 混合节点，
1.给定输入作用下的闭环传递函数 令D(s)=0
C (s) ( s) R( s)
G1 ( s)G2 ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
R( s )
G1(s) H(s)
G2(s)
C (s)
G1 ( s)G2 ( s) R( s ) C (s) (s) R(s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
余子式:
1 1
2 1 G2 H1