系统结构图及等效变换梅森公式
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梅逊公式
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21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
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18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
系统结构图及等效变换梅森公式
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 画出图所示电路的动态结构图。
R1
+
U1(s)
R2
ur
-
i1
C1
i1-i2
i2
C2
+
uc
-
解：
Ur(s) _
U1(s)
2(s) I1(s) I_ U1(s) 1 1 C1S _ R1
1 R2
I2(s)
1 C2S
UC(s)
UC(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
不是串联！ 也不是串联！ C1(s)=R(s)G1(s)
C(s)=C1(s)G2(s) =R(s)G(s)1G2(s) C(s) =G (s)G (s) 等效 G(s)= R 2 (s ) 1 n G(s) =ΠGi (s) n个环节串联 i=1
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
(2) 并联
两个环节的并联等效变换：
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
（4）综合点和引出点的移动
1) 综合点之间或引出点之间的位置交换
综合点之间交换： 不改变数学关系 引出点之间的交换： b 不改变数学关系
a
±
c b a aa b c
aa ± cb ± bc ± ± ± a a a
综合点与引出点之间不能交换！
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
U ( s ) – U ( s ) r c 系统动态结构图由四种基本符号构成： Ur(s)=RI(s)+Uc(s) =I(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
绘制动态结构图的一般步骤:
（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。 （2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。 （3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。
控制系统的结构图及其等效变换
2.
通路
沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。
前向通路
从源节点到阱节点的通路上通过任何节点
不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
回路
起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的
闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回 路增益，用Lk表示。
不接触回路
相互间没有任何公共节点的回路
反馈通路断开。 系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。
B( s ) Gk ( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E (s)
(反馈信号B(s)和偏差信号E (s)之间的传递函数)
系统的开环传递函数
GK (s) G1 (s)G2 (s) H (s)
注：开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数， 而是指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。
例2.9 简化下图，求出系统的传递函数。
解： 上图是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采 用比较点、引出点互换的方法处理。 （1）将相加点a移至G2之后
（2）再与b点交换
（3）因 G4与G1G2并联， G3与G2H是负反馈环节
（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为
注： ①以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数， 而是闭环系统简化的结果； ②分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开 环传递函数应根据定义和具体框图定。
闭环系统的传递函数
反馈控制系统的典型结构 ：
R( s) E (s) G1(s) B(s)
N (s)
G2(s)
C (s)
H(s)
输入量R(s)、干扰量N(s)同时作用于系统
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
第二章 传递函数-梅逊公式
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
系统结构图及等效变换、梅森公式
统结构图基础上应用等效变换和梅森 公式进行系统设计和实现，确保系统稳定性和可靠性。
05
结论与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
研究结论
• 通过分析和比较不同系统结构图的特点和性能，本文得出了一些重要的结论。首先，等效变换在系统分析和设 计中具有重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的系统结构，降低分析和设计的难度。其次，梅森公式是一种 有效的系统性能评估方法，它可以用于计算系统的传递函数和频率响应等关键性能指标。最后，通过实例分析 和仿真验证，本文证明了等效变换和梅森公式在系统分析和设计中的有效性和实用性。
案例一
分析一个简单的RC电路，利用梅 森公式计算其传递函数，并与实 验结果进行对比分析。
案例二
针对一个控制系统，利用梅森公 式分析其稳定性，并给出相应的 控制器设计建议。
案例三
考虑一个复杂的信号流图，利用 梅森公式进行化简，得到简化的 数学模型，便于后续分析和设计。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
案例分析
案例一
串联等效变换的应用。在某控制系统中，存在两个串联的控制器，通过串联等效变换，可以将这两个控制器 合并为一个等效控制器，从而简化系统分析。
案例二
并联等效变换的应用。在某电力系统中，存在两个并联的电源，通过并联等效变换，可以将这两个电源合并 为一个等效电源，方便进行系统性能评估。
案例三
反馈等效变换的应用。在某通信系统中，存在一个反馈环节，通过反馈等效变换，可以将该反馈环节进行简 化，使得简化后的系统与原系统在性能上保持一致。
系统结构图及等效变换、
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
05
结论与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
研究结论
• 通过分析和比较不同系统结构图的特点和性能，本文得出了一些重要的结论。首先，等效变换在系统分析和设 计中具有重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的系统结构，降低分析和设计的难度。其次，梅森公式是一种 有效的系统性能评估方法，它可以用于计算系统的传递函数和频率响应等关键性能指标。最后，通过实例分析 和仿真验证，本文证明了等效变换和梅森公式在系统分析和设计中的有效性和实用性。
案例一
分析一个简单的RC电路，利用梅 森公式计算其传递函数，并与实 验结果进行对比分析。
案例二
针对一个控制系统，利用梅森公 式分析其稳定性，并给出相应的 控制器设计建议。
案例三
考虑一个复杂的信号流图，利用 梅森公式进行化简，得到简化的 数学模型，便于后续分析和设计。
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案例分析
案例一
串联等效变换的应用。在某控制系统中，存在两个串联的控制器，通过串联等效变换，可以将这两个控制器 合并为一个等效控制器，从而简化系统分析。
案例二
并联等效变换的应用。在某电力系统中，存在两个并联的电源，通过并联等效变换，可以将这两个电源合并 为一个等效电源，方便进行系统性能评估。
案例三
反馈等效变换的应用。在某通信系统中，存在一个反馈环节，通过反馈等效变换，可以将该反馈环节进行简 化，使得简化后的系统与原系统在性能上保持一致。
系统结构图及等效变换、
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
自动控制原理 第二章 梅森公式-信号流图
已知系统信号流图， 例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。 。
∑L
则
a
= − d − eg − bcg
有两个互不接触回路 ∑ Lb Lc = deg
∆ = 1 + d + eg + bcg + deg
f
1. X 1 → X 4 , p1 = aef , p2 = abcf ∆1 = 1 + d , ∆ 2 = 1
G4 G1 H1 G4 G1 H1 H1 G2 G2
作用分解
G3 H3
G3 H3 H3
梅逊公式介绍 R-C :
C(s) = R(s)
∑Pk△k △
其中: 其中
△称为系统特征式 △= 1 - ∑La + ∑LbLc -∑LdLeLf+…
所有单独回路增益之和 所有单独回路增益之和 回路增益 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 —所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R(s) 1
e
g
a f
b
c
h
d
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
信号流图
• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络 是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图的基本性质 基本性质： 信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信 节点标志系统的变量 标志系统的变量， 号的代数和， 表示； 号的代数和，用“O”表示； 表示 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 信号在支路上沿箭头单向传递 在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变 支路相当于乘法器 信号流经支路时， 相当于乘法器， 成另一信号； 成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 x6 信号流图中常用的名词术语： 信号流图中常用的名词术语： x5 x1 • 源节点（输入节点）： 源节点（输入节点）： x2 x3 x7 I(s) x4 o在源节点上，只有信号输出 在源节点上， 在源节点上 1/R1 1+R1C1s R2 支路而没有信号输入的支路， 支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。 它一般代表系统的输入变量。 -1 •阱节点（输出节点）： 阱节点（ 阱节点 输出节点）： 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路， 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它 一般代表系统的输出变量。 一般代表系统的输出变量。
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第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 总 结
自动控制 解析法 建立微分 拉氏变换
系统
方程
系统传递 函数
拉氏变换
建立动态 结构图
等效变换 梅逊公式
Ф(s)=
C(s) R(s)
第三章 第四章 第五章 第六章
时域法 根轨迹法
频率法 性能校正
分析系统 性能
第二章 自动控制系统的数学模型
第五节 反馈控制系统的传递函数
一、系统的开环传递函数 二、系统的闭环传递函数 三、系统的误差传递函数
第五节 反馈控制系统的传递函数
一、系统的开环传递函数
闭环控制 R(s) 系统的典型
结构：
开环传递函数：
E(s)
_ G1(s)
B(s)
U1(s)
UC(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
二、 动态结构图的等效变换与化简
系统的动态结构图直观地反映了系统内部各 变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行 化简可求出传递函数。
1．动态结构图的等效变换
等效变换： 被变换部分的输入量和输出量 之间的数学关系，在变换前后 保持不变。
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
G(s)
s)
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)
R(s)
C(s) G(s)
R(s)
1 R(s) G(s)
被移动的支路中串入适当R的(s传) 递函数。
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
2．梅逊公式
n
梅逊公式： Φ(s)=
Σk=1Pk Δk
Δ
Pk回Σ—路Li传第k—递条函各前数回向：路通道传的递传函递数函之数和。。 函△k数Σ的—回L乘i的路将L积j回内△中—路。前与所两 递向第在两 函通项k互 数道条去不 乘前和掉向相 积之反通后接 之馈道的触 和通相剩回。道接余路触传部的递传 Σ△Li—Lj分特L，z 征—称式所为余有子三式个。互不相接触回路
（1）串联
R(s)
两个F(环s) 节串C联(s) 的R等(s)效变换：
C1(s) C(s)
G1(s)
RG(s2()GsG)11((ss))GC2(1s()s)CG(Gs2()s1)(s)C(s) G2(s)
不是串C联1(s！)=R(s)G1(s也) 不是串联！
C(s)=C1(s)G2(s) =R(s)G(s)1G2(s)
G(s)=
C(s) R(s)
=G1(s)G2(s)
等效
n个环节串联
n
G(s) =Πi=1Gi (s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
（3）反馈连接
环节的反馈连接等效变换：
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
R(s)
G(s)
C(s)
±
B(s)
1±G(s)H(s)
H(s)
根据框图得： E(s)=R(s) +–B(s)
自动控制理论
第二章 自动控制系统的数学模型
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
动态结构图是系统数学模型的另一种形 式，它表示出系统中各变量之间的数学关 系及信号的传递过程。
一、建立动态结构图的一般方法
二、动态结构图的等效变换与化简
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
一、 建立动态结构图的一般方法
R(s)
C(s)
± G(s)
后移：
F(s)
R(s)
C(s)
G±(s) G(s)±
F(s)
C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)
F(s) FG(s()s) C(s)
数学关G系(s)不变！
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
3）引出点相对方框的移动
R(s) G(s)
C(s)
C(s)
前移：
R(s)
C(s)
aa±±cb±±bc ±
bc cb
引出点之间的交换： b
aa
不改变数学关系
a
a
aa
综合点与引出点之间不能交换！
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
2）综合点相对方框的移动
R(s) G(s)
C(s) ±
前移： R(s)
G±(s)
C(s) G(s)±
F(s)
C(s)=R(s)G(s)±F(s)
C(s)G1(s) F(s)F(s) ±
的传递函数乘积之和。
Δ = 1 – ΣΣ Lii +ΣΣ Li Lj –ΣΣ LLiiLLjjLLzz + ···
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 系统的动态结构图如图所示，求
闭环传递函数。
R(s)
_ _ G1
_
L1
G4
L4
G2
G3
L2
L5 H2
+ C(s)
H1
L3
解将L1Δ3+：△==GL系、11–1G+PΣ统PG=G12kHΔ11=–有LGG、11i=GG2+△25LHGG11k1个j1GG代3=2+G22回01GG入H32H路3G12L梅G324H，3+逊=+2G+各G–公G1ΣL1G回1G式2G21P4GL=2路2G得Δi34–=L3+2的+传=jGGGGL传1L21递11zGGGG5=递34函4=4+0H+函G–G数24G4H数H：42H为2 2
以电设流一作R为C电路如U图r(s:)
初输始出微：分 ur=Ri+uc -
取方拉程氏组变换综：合i=点c方ddUu框t cc(s)
R
+ 1 I(s)
+
R
1ur
i 引C 出点uc
C-S
信号线-
系系UI统(统rs(动)s动=)态=C态RS结结UI(构cs构()图s+图)U将由c(各四s)变种量基之本UU间符rc((的ss号))R–=数构UI学(成cs()s关：·)C=系1SI(用s)结
E(s)=1±GR((ss))H(s) C (s)=E(s)G(s)
=R(s) +– E(s)G(s)H(s)
RC((ss))=1±GG((ss))H(s) 等效
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
（4）综合点和引出点的移动
1) 综合点之间或引出点之间的位置交换
综合点之间交换： 不改变数学关系
a ±
表 组构意示合两图为变表量：示之出U间来r(s的，) 传将U-递c结(s)函构R1数图。I简(s)化C1，SI(可sU) c方(sC)1S便地Uc(求s) 出任
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
绘制动态结构图的一般步骤:
（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。
（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。
（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 画出图所示电路的动态结构图。
+
R1
U1(s) R2
+
i1
i2
ur
C1 i1-i2 C2 uc
-
-
解：
Ur(s) _
I1(s) 1
I_2(s) 1
U1(s)
R1
C1S
_
1
1 UC(s)
R2 I2(s) C2S