利用梅森公式求传递函数
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梅森公式求传递函数
梅森公式求传递函数
梅森公式是一种常用的求解数字滤波器传递函数的方法。
数字滤波器是一种用于数字信号处理的滤波器，其传递函数描述了滤波器对输入信号的影响。
梅森公式可以用于求解各种类型的数字滤波器的传递函数，包括低通、高通、带通和带阻滤波器。
梅森公式的基本形式为：
H(z) = B(z) / A(z)
其中，B(z)和A(z)分别为数字滤波器的分子和分母多项式。
通过对分子和分母多项式进行系数的选择和取值，可以得到不同类型的数字滤波器传递函数。
例如，对于一个二阶低通数字滤波器，其分母多项式可以表示为： A(z) = 1 + a1*z^-1 + a2*z^-2
其中，a1和a2为系数。
通过选择合适的系数值，可以得到所需的滤波器响应特性。
类似地，分子多项式可以表示为：
B(z) = b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2
也需要根据需要的响应特性进行系数的选择。
将分子和分母多项式代入梅森公式，即可求得数字滤波器的传递函数。
需要注意的是，在使用梅森公式求解数字滤波器传递函数时，需要考虑数字滤波器的采样率、截止频率等参数，以确保所得到的传递函数具有所需的滤波性能。
同时，由于数字滤波器的传递函数是离散的，因此在实际应用中需要进行数字信号的抽样和插值等处理，以确保信号处理的准确性和精度。
用梅逊公式求传递函数
C(s) R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H (s)
Φr(s)为输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。此时系统输出的 拉氏变换式为
C
(s)
r
(s)R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
R(s)
7
2). 扰动 n(t)作用下系统的闭环传递函数
在下图(a)所示的反馈系统中，为求取r(t)作用下系统的闭环传递 函数，可令n(t)=0。
R(s)
E(s)
- B(s)
G1(s)
N(s)
+
C(s)
G2(s)
H(s)
(a)
R(s)
- B(s)
G1(s)
C(s) G2(s)
H(s)
(b)
6
由图(b)求得输出C(t)和输入r(t)之间的传递函数为
r
(s)
用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数
梅逊公式一般形式为
n
Pk k
(s) k1
式中 (s)为待求的总传递函数。
称为特征式，且
其中
1 Li Li L j Li L j Lk Li ——所有不同回路传递函数之和。 Li L j ——所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和。 Li L j Lk ——所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。
n
(s)
N
(s)
1
G1
G2 (s) (s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
2-5 信号流图与梅森公式
G12 ( s ) R2 ( s )
G21 ( s )
C2 ( s ) G22 ( s )
G22 ( s )
+
+
C2 ( s )
5
2、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下：
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 x4 x5 bx2 cx3 x5
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s)和反馈 通路传递函数H(s)的乘积。
30
推广到一般情况：
b m s m b m 1s m 1 b1s b 0 G(s)H(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
2 2 Π( τ i s 1) Π( τ di s 2ζ di τ d s 1) i 2 s ν Π(Ti s 1) Π(Tni s 2ζ ni Tni s 1) i 1 i 1 i 1 ρ i 1 σ u η
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)
+
A
_
1 R1
+
-
B
1 C1 s
C +
D _
1 R2
E
1 C2 s
自动控制原理 第二章 梅森公式-信号流图
已知系统信号流图， 例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。 。
∑L
则
a
= − d − eg − bcg
有两个互不接触回路 ∑ Lb Lc = deg
∆ = 1 + d + eg + bcg + deg
f
1. X 1 → X 4 , p1 = aef , p2 = abcf ∆1 = 1 + d , ∆ 2 = 1
G4 G1 H1 G4 G1 H1 H1 G2 G2
作用分解
G3 H3
G3 H3 H3
梅逊公式介绍 R-C :
C(s) = R(s)
∑Pk△k △
其中: 其中
△称为系统特征式 △= 1 - ∑La + ∑LbLc -∑LdLeLf+…
所有单独回路增益之和 所有单独回路增益之和 回路增益 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 —所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R(s) 1
e
g
a f
b
c
h
d
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
信号流图
• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络 是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图的基本性质 基本性质： 信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信 节点标志系统的变量 标志系统的变量， 号的代数和， 表示； 号的代数和，用“O”表示； 表示 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 信号在支路上沿箭头单向传递 在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变 支路相当于乘法器 信号流经支路时， 相当于乘法器， 成另一信号； 成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 x6 信号流图中常用的名词术语： 信号流图中常用的名词术语： x5 x1 • 源节点（输入节点）： 源节点（输入节点）： x2 x3 x7 I(s) x4 o在源节点上，只有信号输出 在源节点上， 在源节点上 1/R1 1+R1C1s R2 支路而没有信号输入的支路， 支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。 它一般代表系统的输入变量。 -1 •阱节点（输出节点）： 阱节点（ 阱节点 输出节点）： 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路， 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它 一般代表系统的输出变量。 一般代表系统的输出变量。
如何用梅逊公式求传递函数
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
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第21页，本讲稿共29页
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2 1
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
11,21G 1H 1
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
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第19页，本讲稿共29页
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梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
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梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2 1
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
11,21G 1H 1
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
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梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
梅森公式的理解
是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。
对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。
基于梅森公式求解复杂系统传递函数方法浅析
教 育 时 空
基 于梅森 公 式求 解复杂 系统传 递 函数方 法浅析
张 昌龙
（ 空军工程 大学导弹 学院 陕西 西安 ７ ３ ０ １ ８ ０）
［ 要］ 摘 系统化 由梅 森公 式求解 系统传递 函数 的流程 ，尤其针 对解复杂 系统 的传 递 函数 。并将其 分为 四个 阶段， 对各 阶段 的计算 分别给 出 了简明的算法 。 ［ 关键词］ 梅森公式 传 递函数 流程 图 中图分类 号：Ｔ １ 文章标识码 ：Ａ Ｐ ３ 文章编号 ：１ ０ － １ ｘ ２ ０ ） （ ） Ｏ ３ Ｏ ９ ９ （ ０ ９ ９ ａ 一 １ 一 ２ ０ ４ ２
式 中 ，Ｐ为 从源 节 点 到 井 节 点 的传 递 函数 ；ｎ为 从 源 节 点 到 井 节 点 的前 向通 路总数 ；Ｐ， 为从 源节 点到 井节 点的第 ｋ条前 向通路 的总增 益 ；其中 Ａ
： ∑ ∑ 一 ‘ ＋． ｌ ＋ ∑ Ｍ ｌ 一 １
（ ２ ）
∑ 为所有单独 回路增益 的乘 积之和 ， 厶厶为所有互不接触 单独
在 其 右 下 方 按数 字 标 记 。
主线 下方 各箭 头 （ 主线 除外 ）所标 路 径线 皆与前 向通路 一部 副 分 够 成 各 单 独 回 路 ，要 分 别 计 算 出 各 回 路 的 增 益 。对 于 回 路 的 求法 ，采 取 步 长 寻 找 替 换 的 思 路 ，将 任 意 一 节 点 到 相 邻 节 点 的 反 向 路 径 长 度 定 义为步长 １ ，相 隔 ２个 步 长 为 １的 的 路 径 定 为 步 长 ２ 以此 类 推 ， 自环 ， 定 义 为 步 长 １。
传递 函数作 为经 典控制 理论 的基 础 ，不仅 可 以反映 系统动 态性 能的指标 ，而且 能用来研 究系统的结构或参数变化对系统性 能的影 响， 在系统研究 中占有 重要地位 。求解 传递 函数 的方法很 多，而 利用梅森 增益公式求解是 目前最快捷 的途径 之一 。对 于简单系统而 言，其传递 函数的解直观易求 。而对于较 复杂的系统 ，由于其 内部 各环节 闭环数 及 前 向通路复杂难 辨且容 易遗漏 （ 下面三 图 ） 如 ，易造成 计算失误 。 替 换原 则是 ，按字 母顺 序 ，替 换 该阶 段之 前出现 的所 有符合 条件 的 前 向通路增益 。首 次替换 的内容为主线前 向通路增益 。图 （ ）中主线 ４ 上 的前 向通路增 益替换 步骤及结 果如下 ：
基 于梅森 公 式求 解复杂 系统传 递 函数方 法浅析
张 昌龙
（ 空军工程 大学导弹 学院 陕西 西安 ７ ３ ０ １ ８ ０）
［ 要］ 摘 系统化 由梅 森公 式求解 系统传递 函数 的流程 ，尤其针 对解复杂 系统 的传 递 函数 。并将其 分为 四个 阶段， 对各 阶段 的计算 分别给 出 了简明的算法 。 ［ 关键词］ 梅森公式 传 递函数 流程 图 中图分类 号：Ｔ １ 文章标识码 ：Ａ Ｐ ３ 文章编号 ：１ ０ － １ ｘ ２ ０ ） （ ） Ｏ ３ Ｏ ９ ９ （ ０ ９ ９ ａ 一 １ 一 ２ ０ ４ ２
式 中 ，Ｐ为 从源 节 点 到 井 节 点 的传 递 函数 ；ｎ为 从 源 节 点 到 井 节 点 的前 向通 路总数 ；Ｐ， 为从 源节 点到 井节 点的第 ｋ条前 向通路 的总增 益 ；其中 Ａ
： ∑ ∑ 一 ‘ ＋． ｌ ＋ ∑ Ｍ ｌ 一 １
（ ２ ）
∑ 为所有单独 回路增益 的乘 积之和 ， 厶厶为所有互不接触 单独
在 其 右 下 方 按数 字 标 记 。
主线 下方 各箭 头 （ 主线 除外 ）所标 路 径线 皆与前 向通路 一部 副 分 够 成 各 单 独 回 路 ，要 分 别 计 算 出 各 回 路 的 增 益 。对 于 回 路 的 求法 ，采 取 步 长 寻 找 替 换 的 思 路 ，将 任 意 一 节 点 到 相 邻 节 点 的 反 向 路 径 长 度 定 义为步长 １ ，相 隔 ２个 步 长 为 １的 的 路 径 定 为 步 长 ２ 以此 类 推 ， 自环 ， 定 义 为 步 长 １。
传递 函数作 为经 典控制 理论 的基 础 ，不仅 可 以反映 系统动 态性 能的指标 ，而且 能用来研 究系统的结构或参数变化对系统性 能的影 响， 在系统研究 中占有 重要地位 。求解 传递 函数 的方法很 多，而 利用梅森 增益公式求解是 目前最快捷 的途径 之一 。对 于简单系统而 言，其传递 函数的解直观易求 。而对于较 复杂的系统 ，由于其 内部 各环节 闭环数 及 前 向通路复杂难 辨且容 易遗漏 （ 下面三 图 ） 如 ，易造成 计算失误 。 替 换原 则是 ，按字 母顺 序 ，替 换 该阶 段之 前出现 的所 有符合 条件 的 前 向通路增益 。首 次替换 的内容为主线前 向通路增益 。图 （ ）中主线 ４ 上 的前 向通路增 益替换 步骤及结 果如下 ：
梅森公式例子
-H2
-H3
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第三条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ? 3=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6
第四条前向通路与各个回路都接触，
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
1
C(s) 1
-H1
-H2
-H3
三三互不接触回路增益乘积
L1 L2 L7= - G2 G4 G6 G8H1 H2 H3 ? =1-(L1+ L2 + L3+ L4 + L5+ L6 + L7)+ L1 L2+ L1 L7+ L2 L7- L1 L2 L7 =1+ G4 H1 + G6 H2 + G2 G3 G4 G5 G6 H3 + G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积 L1 L2= G4 G6 H1 H2 L1 L7= G2 G4 G8 H1 H3