材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算
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y
z
S y zdA
A
dA O
y
——图形对于 y 轴的静矩
S z ydA
A
z
——图形对于 z 轴的静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
yຫໍສະໝຸດ Baidu
z
静矩、形心及其相互关系 y
zC
dA
y
C
yC
O
分力之矩之和
z
O A
S y AzC
z
S y zdA
A
合力之矩
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
y
y1
I y1z1 y1 z1dA
A
z
I z 1 y a dA
2 A
I y1z1 y a z b dA
A
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
IP 1 r 2dA 2 2 A
d
1 d 2 π d4 2 r 2 r dr π 0 2 64 πd 4 I P 2I y 32
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 11 y
dA
dy 已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元面积
研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及 强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何 量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯 性矩、惯性积、主轴等。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理
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第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
金茂大厦
第6章 梁的应力分析与强度计算
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
第6章 梁的应力分析与强度计算
应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间 通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布 规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与 变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重 要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规 律的基本方法。
因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与 之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二 者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴 后惯性积有可能增加也可能减少。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
S z ydA
A
S z AyC
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
S y zdA
A
S y AzC
S z ydA
A
S z AyC
ydA A
S yC z A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标
x const.
FN
dA F
A x
N
x dA FN
A
x
y
FN A
x Cy
A
x
dAy M z
C Mz Iz
C y 2dA M z
A
z
O
Mz
I z y 2dA
A
x Cy
Mzy Iz
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y1z1 I y Iz 2 sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y α α O
Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
惯性矩与惯性积的转轴的概念
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴的概念
所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这 些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴公式
y 已知： Iy，Iz，Iyz ,α O α z 求： Iy1，Iz1，Iy1z1
与应力分析相关的截面图形几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
已知图形的形心坐标，可以确定静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
Sz yC A
A
ydA A
zC
Sy A
zdA
A
A
如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。 如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。
I z y 2 dA
A
dA
I yz yzd A
A
A
O
r
y
z
iy Iy A
I P r 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性半径 ——图形对 z 轴的惯性半径
iz
Iz A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质 平面弯曲时梁横截面上的正应力
梁的强度计算
弯曲剪应力与弯曲中心的概念 斜弯曲的应力计算与强度设计 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力
结论与讨论(2)
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形 几何性质
A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y 惯性矩与惯性积的移轴定理 z1
z
I y 1 z1 d A
2 A
dA O a O´ b
2 I y 1 z b dA A
I z1 y1 dA
2 A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
对于组合图形
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1 n Ai y Ci Sz yC i 1 n A Ai i 1 n Ai z Ci Sy zC i 1n A Ai i 1
I y Iz 2
z I y1z1
sin2 I yz cos2
I y1 I z1
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
A
I z y 2 dA
A
dA
A
O
r
I P r 2 dA
A
y
z
IP I y Iz
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr 已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
r C
dA 2 rdr π
z
Iy Iz
α
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
y
y1 zsin ycos z1 zcos ysin
y1 z
α
z1
α z
I y 1 z1 d A
2 A
O
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
A
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
n
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y z 2 dA
A
y
z
——图形对 y 轴的惯性矩 ——图形对 z轴的惯性矩 ——图形对 y z 轴的惯性积 ——图形对 O 点的极惯性矩
z
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
z
I yz yzd A ＞ 0 或 ＜ 0
A
I P r 2 dA
A
＞0
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
y
z
I y z 2 dA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz A dA
y
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a O´ b
y1
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
惯性矩与惯性积的转轴的概念 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的计算方法
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
材料力学
上一章
基础篇之六
第6章 梁的应力分析与强度计算
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第6章 梁的应力分析与强度计算
应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上 的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布 内力的简化结果。因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确 定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下，分布内 力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分 布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力 在各点的数值。
dA bdy
dA
y
h C z dz
z
I z y dA
2 A
h 2 h 2
bh3 y bdy 12
2
dA hdz
I y z dA
2 A b 2 b 2
b
hb3 z hdz 12
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
z
S y zdA
A
dA O
y
——图形对于 y 轴的静矩
S z ydA
A
z
——图形对于 z 轴的静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
yຫໍສະໝຸດ Baidu
z
静矩、形心及其相互关系 y
zC
dA
y
C
yC
O
分力之矩之和
z
O A
S y AzC
z
S y zdA
A
合力之矩
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
y
y1
I y1z1 y1 z1dA
A
z
I z 1 y a dA
2 A
I y1z1 y a z b dA
A
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
IP 1 r 2dA 2 2 A
d
1 d 2 π d4 2 r 2 r dr π 0 2 64 πd 4 I P 2I y 32
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 11 y
dA
dy 已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元面积
研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及 强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何 量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯 性矩、惯性积、主轴等。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理
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第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
金茂大厦
第6章 梁的应力分析与强度计算
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
第6章 梁的应力分析与强度计算
应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间 通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布 规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与 变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重 要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规 律的基本方法。
因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与 之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二 者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴 后惯性积有可能增加也可能减少。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
S z ydA
A
S z AyC
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
S y zdA
A
S y AzC
S z ydA
A
S z AyC
ydA A
S yC z A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标
x const.
FN
dA F
A x
N
x dA FN
A
x
y
FN A
x Cy
A
x
dAy M z
C Mz Iz
C y 2dA M z
A
z
O
Mz
I z y 2dA
A
x Cy
Mzy Iz
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y1z1 I y Iz 2 sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y α α O
Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
惯性矩与惯性积的转轴的概念
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴的概念
所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这 些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴公式
y 已知： Iy，Iz，Iyz ,α O α z 求： Iy1，Iz1，Iy1z1
与应力分析相关的截面图形几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
已知图形的形心坐标，可以确定静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
Sz yC A
A
ydA A
zC
Sy A
zdA
A
A
如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。 如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。
I z y 2 dA
A
dA
I yz yzd A
A
A
O
r
y
z
iy Iy A
I P r 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性半径 ——图形对 z 轴的惯性半径
iz
Iz A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质 平面弯曲时梁横截面上的正应力
梁的强度计算
弯曲剪应力与弯曲中心的概念 斜弯曲的应力计算与强度设计 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力
结论与讨论(2)
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形 几何性质
A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y 惯性矩与惯性积的移轴定理 z1
z
I y 1 z1 d A
2 A
dA O a O´ b
2 I y 1 z b dA A
I z1 y1 dA
2 A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
对于组合图形
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1 n Ai y Ci Sz yC i 1 n A Ai i 1 n Ai z Ci Sy zC i 1n A Ai i 1
I y Iz 2
z I y1z1
sin2 I yz cos2
I y1 I z1
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
A
I z y 2 dA
A
dA
A
O
r
I P r 2 dA
A
y
z
IP I y Iz
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr 已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
r C
dA 2 rdr π
z
Iy Iz
α
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
y
y1 zsin ycos z1 zcos ysin
y1 z
α
z1
α z
I y 1 z1 d A
2 A
O
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
A
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
n
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与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y z 2 dA
A
y
z
——图形对 y 轴的惯性矩 ——图形对 z轴的惯性矩 ——图形对 y z 轴的惯性积 ——图形对 O 点的极惯性矩
z
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
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I yz yzd A ＞ 0 或 ＜ 0
A
I P r 2 dA
A
＞0
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与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
y
z
I y z 2 dA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz A dA
y
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a O´ b
y1
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
惯性矩与惯性积的转轴的概念 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的计算方法
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
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静矩、形心及其相互关系
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应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上 的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布 内力的简化结果。因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确 定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下，分布内 力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分 布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力 在各点的数值。
dA bdy
dA
y
h C z dz
z
I z y dA
2 A
h 2 h 2
bh3 y bdy 12
2
dA hdz
I y z dA
2 A b 2 b 2
b
hb3 z hdz 12
2
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与应力分析相关的截面图形几何性质