材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算
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弯曲强度与弯曲模量的关系
弯曲强度与弯曲模量的关系1.引言1.1 概述概述弯曲强度和弯曲模量都是材料力学性能的重要指标，它们描述了材料在受到外部力作用时的抵抗变形和破坏能力。
弯曲强度是指材料在弯曲加载下抵抗破坏的能力，通常用抗弯强度来表示；而弯曲模量则描述了材料在受到外力作用时的抵抗变形能力，它代表了材料的刚性程度。
在工程实践中，了解材料的弯曲强度和弯曲模量对于正确选择材料并进行结构设计具有重要意义。
通过研究材料的弯曲强度和弯曲模量之间的关系，可以了解材料的力学性能和耐久性，并为工程实践中的材料选择、力学设计以及预测材料的破坏行为提供参考依据。
本文将首先对弯曲强度和弯曲模量进行定义和测量方法的介绍，包括常见的试验方法和计算公式。
接着，将分析弯曲强度和弯曲模量之间的关系，探讨两者之间的影响因素和相互作用机制。
最后，将讨论弯曲强度和弯曲模量在实际应用中的意义，并讨论影响其数值的因素，以及如何通过工程手段来调控和优化这些性能。
通过深入研究弯曲强度和弯曲模量之间的关系，有助于我们更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据，并推动材料科学和工程领域的发展和进步。
最后，本文将总结研究结果，提出一些对未来研究的展望。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的结构和各个章节内容的简要描述。
下面是对文章结构部分的一种可能描述：1.2 文章结构本文主要探讨弯曲强度与弯曲模量之间的关系，并分析在实际应用中的意义和影响因素。
文章按照以下章节组织：2.1 弯曲强度的定义和测量方法这一章节首先介绍了弯曲强度的定义，即在外力作用下材料能够承受的最大弯曲应力。
接着详细探讨了测量弯曲强度的方法，包括三点弯曲试验和四点弯曲试验等。
2.2 弯曲模量的定义和测量方法在本章节中，我们首先给出了弯曲模量的定义，即在弯曲过程中材料对应力的抵抗能力。
然后，我们将深入讨论测量弯曲模量的方法，如静态三点弯曲试验和动态振动试验等。
3. 结论在本章节中，我们将对弯曲强度与弯曲模量的关系进行分析和总结。
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
页 退出
材料力学
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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材料力学
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
材料力学-第6章梁的应力分析与强度计算 (B)
dx＝－yd
式中的负号表示 y 坐标为正的线段产生 压缩变形； y 坐标为负的线段产生伸长 变形。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
应用平面假定确定应变分布
dx＝－yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变，于是得到
dx d y ＝ ＝－y ＝－ dx dx
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
对称面—— 梁的横截面具有对称轴，所有相同的对 称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane)。
梁的对称面
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
主轴平面 —— 梁的横截面没有对称轴，但是
加载平面与主轴平面一致
q
FP1
M
FP2
平面弯曲 —— 所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主
轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位 于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
M l
FP M
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二 者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确 定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形， 必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及 变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原 理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力 斜弯曲的应力计算 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 弯曲强度计算 结论与讨论
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第六章
( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解 图(c1)
( ) ∑ M B = 0 ， FC
= − Me l
↓
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
24
EIw′(l) = 0 ，− q l 3 + 3Al 2 + 2Bl = 0
6
解式（a），（b）得
A = ql ， B = − ql 2
12
24
即挠曲线方程为
EIw = − q x4 + ql x3 − ql 2 x2 24 12 24
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z
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
z
I yz yzd A ＞ 0 或 ＜ 0
A
I P r 2 dA
A
＞0
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
y
z
I y z 2 dA
y
y1
I y1z1 y1 z1dA
A
z
I z 1 y a dA
2 A
I y1z1 y a z b dA
A
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
n
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y z 2 dA
A
y
z
——图形对 y 轴的惯性矩 ——图形对 z轴的惯性矩 ——图形对 y z 轴的惯性积 ——图形对 O 点的极惯性矩
因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与 之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二 者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴 后惯性积有可能增加也可能减少。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I z y 2 dA
A
dA
I yz yzd A
A
A
O
r
y
z
iy Iy A
I P r 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性半径 ——图形对 z 轴的惯性半径
iz
Iz A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0
y
z
S y zdA
A
dA O
y
——图形对于 y 轴的静矩
S z ydA
A
z
——图形对于 z 轴的静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
z
静矩、形心及其相互关系 y
zC
dA
y
C
yC
O
分力之矩之和
z
O A
S y AzC
z
S y zdA
A
合力之矩
dA bdy
dA
y
h C z dz
z
I z y dA
2 A
h 2 h 2
bh3 y bdy 12
2
dA hdz
I y z dA
2 A b 2 b 2
b
hb3 z hdz 12
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y Iz 2
z I y1z1
sin2 I yz cos2
I y1 I z1
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
IP 1 r 2dA 2 2 A
d
1 d 2 π d4 2 r 2 r dr π 0 2 64 πd 4 I P 2I y 32
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 11 y
dA
dy 已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元面积
I y1z1 I y Iz 2 sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y α α O
Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
惯性矩与惯性积的转轴的概念
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴的概念
所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这 些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴公式
y 已知： Iy，Iz，Iyz ,α O α z 求： Iy1，Iz1，Iy1z1
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
第6章 梁的应力分析与强度计算
应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间 通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布 规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与 变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重 要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规 律的基本方法。
A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y 惯性矩与惯性积的移轴定理 z1
z
I y 1 z1 d A
2 A
dA O a O´ b
2 I y 1 z b dA A
I z1 y1 dA
2 A
y1=y＋a z1=z＋b
与应力分析相关的截面图形几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
α
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
y
y1 zsin ycos z1 zcos ysin
y1 z
α
z1
α z
I y 1 z1 d A
2 A
O
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
A
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
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第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
金茂大厦
第6章 梁的应力分析与强度计算
S z ydA
A
S z AyC
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
S y zdA
A
S y AzC
S z ydA
Aห้องสมุดไป่ตู้
S z AyC
ydA A
S yC z A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz A dA
y
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a O´ b
y1
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
材料力学
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第6章 梁的应力分析与强度计算
应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上 的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布 内力的简化结果。因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确 定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下，分布内 力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分 布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力 在各点的数值。
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
z
I yz yzd A ＞ 0 或 ＜ 0
A
I P r 2 dA
A
＞0
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
y
z
I y z 2 dA
y
y1
I y1z1 y1 z1dA
A
z
I z 1 y a dA
2 A
I y1z1 y a z b dA
A
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
n
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y z 2 dA
A
y
z
——图形对 y 轴的惯性矩 ——图形对 z轴的惯性矩 ——图形对 y z 轴的惯性积 ——图形对 O 点的极惯性矩
因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与 之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二 者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴 后惯性积有可能增加也可能减少。
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与应力分析相关的截面图形几何性质
I z y 2 dA
A
dA
I yz yzd A
A
A
O
r
y
z
iy Iy A
I P r 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性半径 ——图形对 z 轴的惯性半径
iz
Iz A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0
y
z
S y zdA
A
dA O
y
——图形对于 y 轴的静矩
S z ydA
A
z
——图形对于 z 轴的静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
z
静矩、形心及其相互关系 y
zC
dA
y
C
yC
O
分力之矩之和
z
O A
S y AzC
z
S y zdA
A
合力之矩
dA bdy
dA
y
h C z dz
z
I z y dA
2 A
h 2 h 2
bh3 y bdy 12
2
dA hdz
I y z dA
2 A b 2 b 2
b
hb3 z hdz 12
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y Iz 2
z I y1z1
sin2 I yz cos2
I y1 I z1
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
IP 1 r 2dA 2 2 A
d
1 d 2 π d4 2 r 2 r dr π 0 2 64 πd 4 I P 2I y 32
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 11 y
dA
dy 已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元面积
I y1z1 I y Iz 2 sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y α α O
Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2 Iz I y 2
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
惯性矩与惯性积的转轴的概念
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴的概念
所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这 些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴公式
y 已知： Iy，Iz，Iyz ,α O α z 求： Iy1，Iz1，Iy1z1
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
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应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间 通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布 规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与 变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重 要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规 律的基本方法。
A
y1=y＋a z1=z＋b
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与应力分析相关的截面图形几何性质
y 惯性矩与惯性积的移轴定理 z1
z
I y 1 z1 d A
2 A
dA O a O´ b
2 I y 1 z b dA A
I z1 y1 dA
2 A
y1=y＋a z1=z＋b
与应力分析相关的截面图形几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
α
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与应力分析相关的截面图形几何性质
y
y
y1 zsin ycos z1 zcos ysin
y1 z
α
z1
α z
I y 1 z1 d A
2 A
O
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
A
I y1 I z cos 2 I y sin 2 I yz sin2 I z1 I z sin 2 I y cos 2 I yz cos2
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与应力分析相关的截面图形几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。
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S z ydA
A
S z AyC
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与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
S y zdA
A
S y AzC
S z ydA
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S z AyC
ydA A
S yC z A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标
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惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz A dA
y
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a O´ b
y1
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
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惯性矩与惯性积的移轴定理
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应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上 的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布 内力的简化结果。因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确 定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下，分布内 力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分 布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力 在各点的数值。