线性时不变系统
第一章 09线性时不变系统
线性时不变系统主要内容线性系统12时不变系统线性时不变系统3满足叠加、比例(齐次、均匀)性(1) 分解性线性系统的三个条件：系统响应可分解为：零输入响应+零状态响应y (t )=y zi (t )+y zs (t )(2)零输入线性(3)零状态线性线性系统的定义：y zi (t )是零输入响应，y zs (t )是零状态响应1、线性系统(2)零输入线性叠加性与比例性。
输入为零时，由各初始状态{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}引起的响应满足则nk =1∑a k x k (0) 若x k (0) →y zik (t )(k =1~n )n ∑→a k y zik (t )k =1零输入响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(3) 零状态线性初始状态为零时，由各激励f 1(t )、f 2(t )、⋅⋅⋅、f m (t ) 引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性）。
若f k (t ) →y zsk (t )则m∑b k f k (t ) →k =1m ∑b k y zsk (t ) k =1零状态响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(k =1~m )y (t )=2+4f (t )例讨论具有如下输入、输出关系的系统是否线性。
解f 2 (t ) →y 2(t )= 2+4f 2(t )f 1 (t ) +f 2(t ) →不满足零输入线性，是非线性系统。
2+4[f 1 (t )+ f 2(t )]≠y 1 (t )+ y 2(t )=4+4[f 1 (t )+ f 2(t )]f 1 (t ) →y 1(t )= 2+4f 1(t)y (t )=2+4f (t )=y zi (t )+y zs (t )在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。
系统参数不随时间变化的系统，也称非时变系统、常参系{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}{x 1(t 0)= x 1(0),x 2(t 0)=x 2(0), ⋅⋅⋅,}f (t −t 0)→y (t −t 0)f (t )→y (t )时不变系统定义统，定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。
线性时不变系统
第6章线性时不变系统尹霄丽6.1 引言MATLAB •••利用函数,和计算LTI系统的输出；研究离散时间LTI系统的多conv ls 个性质主要；连续i 时内容：间卷积m 的filter 数值近似；例1[][][][]1, 040, n x n n y n x n x n ≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑如下有限长信号其余(a)用解析方法计算。
[][][](b) 编程实现% exe2_1_a.m, see also exe2_1_b.mx=ones(1,5);nx=0:4;y=conv(x,x);ny=(min(nx)+min(nx)):(max(nx)+max(nx)); h=stem(ny,y);set(h,'linewidth',2);xlabel('n');ylabel('x[n]*x[n]');作业3[][][][][][][]1, 050, , 050, (a) ;(b) MATLAB(c)conv y n x n nn n h n ny n x n h n x n h n ≤≤⎧=⎨⎩≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑下面有限长信号：其余其余不用编程，请计算卷积和用生成信号和，并画出相应的图形。
用计算卷积和，并用stem画出其图形。
注：图形请加上必要的标注。
6.3 MATLAB函数filterfilterFILTER One-dimensional digital filter.Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed"implementation of the standard difference equation:a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + ... + a(na+1)*y(n-na) =b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)[][][][]00LTI 1 filte r KMk mk m x x x a y n k b x n m x n n n n N y n ==−=−≤≤+−∑∑命令计算由线性常系数差分方程表征的因果系统在某一给定输入时的输出。
[new]xie第二章 线性时不变系统
![[new]xie第二章 线性时不变系统](https://img.taocdn.com/s3/m/3e1827c55fbfc77da269b1fc.png)
1 例2： x[n] (n) 0
n h( n) h[n] 0
0n4 otherwise
1, 0 n 6
otherwise
x[k ]
1
h[n k ]
k
n k
k
n6
0
0
4
n
① n 0 时，
yy(n]) 0 [n
n n
y[n] nk n k ② 0 n 4 时， y ( n) k 0 k 0
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具
有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析
的理论与方法奠定了基础。 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基 本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对 基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性， 将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对 基本信号的响应的线性组合。
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的
线性组合。
至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：
u(t ) ( )d (t )d
0
t
对一般信号 x(t ) ，可以将其分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 近似表示 。当 时，有: x (t ) x(t ) 0
非线性、时不变
y(t ) t 2 x(t 1) 线性、时变
y[t ]
n n0
k n n0
x[k ]
2
线性、时不变 非线性、时不变 线性、时不变
y[n] x [n 2]
y[n] x[n 1] x[n 1]
y[n] xo [n]
线性、时变
观察上述系统后，得到如下结论：
第五章线性时不变系统的变换分析
相位失真：线性相移 一种轻微的失真 产生序列上的移位 延迟失真 （不产生波形上的变形） 近似理想滤波器设计：线性相位响应 理想模型 例：具有线性相位的理想低通滤波器
具有线性相位的理想频率选择性滤波器： 分隔输入信号频带(频率选择) 非因果 输出延迟nd 群延迟（group delay）: 相位特性线性程度的一种度量 定义： 含义：对窄带输入x[n]=s[n]cos(ω0n) s[n] 为包络，ω0载波频率 即X(ejω)仅在ω= ω0附近为非零 系统的相位效果（在ω= ω0附近）： 即系统的输出： 包络的延迟 相位特性导数的负值
表示H(z)的全部零点在单位圆内。 当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。 稳定因果系统 稳定因果逆系统 定义为：最小相位系统（minimum-phase systems）
5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应 H(z)作z反变换（部分分式法） h[n] 一阶极点的有理系统函数：
若系统因果，可得：
例子：衰减和群延迟的效果
5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系统函数
理想频率选择性滤波器 （近似、逼近）一类频率选择性滤波器 考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统：
a
k 0
N
k
y[n k ] bk x[n k ]
k 0
M
对于初始松弛（initial rest）的辅助条件因果、线性、时不变 z变换 （分析、描述） 线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征 方程两边z变换 N M k k a z Y ( z ) b z k k X ( z)
j 1
极点：z = 0 零点：z = rejӨ 频率响应： ( z
e j )
e re H (e ) j e
线性时不变系统
线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ
第2章 线性时不变系统
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
第二章 线性时不变系统
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
判断系统线性-时变-因果方法
时不变性
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
若 则系统
是非时变系统,否则是时变系统.
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
利用线性证明，可推广至高阶。
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
原方程两端乘A：
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 所给微分方程式分别有：
分别激励系统，则由
当 应有
同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
(3)+(4)得
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统． 系统1： 系统2：
若 则系统 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
二．时变系统与时不变系统
1.பைடு நூலகம்义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮 度…为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
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2）积分特性或求和特性：
若 T{ f(t)}=y(t)
则
t
t
T{ f ( )d} y( )d
若 T{f[k]}= y[k] 则
对序列求和后仍是一个序列
k
k
T{ f [n]} y[n]
n
n
[例] 已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t) ， 试求系统在f2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
0.5(1 e 2(t1) )u(t
1)
连续时间LTI系统的响应
经典时域分析方法 卷积法
零输入响应求解 零状态响应求解
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yx (t) y f (t) yx (t) f (t) * h(t)
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
Ae 2t
Beቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4t
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t ) K1e2t K 2e4t t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
Ksin0t 或 Kcos0t Keatsin0t 或 Keatcos0t
特解
A
A+Bt Aeat Ateat
Asin0t+ Bcos0t Aeatsin0t+ Beatcos0t
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
一、经典时域分析方法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
y(t) yh (t) yp (t)
✓ 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 ✓ 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
n
m
ai y[k i] bj f [k j]
i0
j0
ai 、 bj为常数。
线性时不变系统的描述及特点
线性时不变系统的特点
由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有:
1）微分特性或差分特性：
若 T{ f(t)}=y(t) 则
T{df (t)} dy(t) dt dt
若 T{f[k]}= y[k] 则 T{ f[k] -f[k-1]}= y[k] - y[k-1]
一、经典时域分析方法
齐次解yh(t)的形式 (1) 特征根是不等实根 s1, s2, , sn
yh (t) K1e s1t K 2e s2t K n e snt
(2) 特征根是等实根 s1=s2==sn =s
yh (t) K1e s t K 2te s t K nt n1e s t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
2
6
3
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则 系统的完全响应 y(t) = ？
2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y '(0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。（无法看出哪一部分yx(t)、yf(t)）
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
信号与系统
Signals and Systems
系统的时域分析
线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性
线性时不变系统的描述及特点
线性时不变(LTI)系统的描述
(3) 特征根是成对共轭复根
si i ji , i n / 2
yh (t) e1t (K1 cos 1t K 2 sin 1t) eit (K n1 cos it K n sin it)
一、经典时域分析方法
常用激励信号对应的特解形式
输入信号
K
Kt Keat(特征根 sa) Keat(特征根 s=a)
➢ 连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t) bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) b1 f ' (t) b0 f (t) ai 、 bj为常数。
➢ 离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述
f1(t) 1
y1(t)
1
e2tu(t)
f2(t) 1
t
t
t
0
1
0
1
1 0
解： 从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系
f2(t)
f1(1) (t 1)
t 1
f1( )d
根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系
y2(t)
t 1
y1( )d