现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程
1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式
一. 时间离散系统
离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为
x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k)
二. 线性时变系统
其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数；
线性时变系统的状态空间表达式为：
x =A t x +A t u y=C t x +D t u
三. 非线性系统
x =f (x,u , t ）
y=g (x,u,t)
1.非线性时变系统的状态空间表达式
式中，f ，g 为函数向量；
x =f (x,u ）
y=g (x,u)
2.非线性定常系统的状态空间表达式
当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统
3.非线性系统的线性化
x =f (x,u ）
y =g (x,u)
设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。
f (x 0,u 0)=0 , y 0=
g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项：
x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0
+?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0
δu
则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x ?x 0=?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x
0,u 0δu δy =y ?y 0=?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0
δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为：
δx ，δu ，δy ?x ，?u ，?y ?x
=A ?x +B ?u ?y
=C ?x +D ?u 其中,A =?ef ex x 0,u 0,B =?ef eu x 0,u 0,?C =eg ex x 0,u 0,D =?eg eu x 0,u 0
第一章控制系统的状态空间表达式第一章小结
状态变量、状态空间、状态空间表达式的定义
建立系统状态空间表达式的方法，特别是状态变量选取的方法；
状态空间表达式非奇异线性变换的方法；
由状态空间表达式导出传递函数矩阵的方法；
组合系统状态空间表达式的建立方法；
离散系统、非线性系统状态空间的基本形式；
离散系统的Simulink仿真
电子科技大学中山学院学生实验报告 院别：电子信息学院课程名称：信号与系统实验 一、实验目的 1.掌握离散系统Simulink的建模方法。 2.掌握离散系统时域响应、频域响应的Simulink仿真方法。 二、实验原理 离散系统的Simulink建模、仿真方法与连续系统相似，其系统模型主要有z域模型、传输函数模型和状态空间模型等形式。 现采用图1的形式建立系统仿真模型，结合如下仿真的命令，可得到系统的状态空间变量、频率响应曲线、单位阶跃响应和单位冲激响应的波形。 图1 系统响应Simulink仿真的综合模型 仿真命令： [A,B,C,D]=dlinmod（‘模型文件名’）%求状态空间矩阵，注意：‘模型文件名’不含扩展名 dimpulse(A,B,C,D) %求冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:N 2 ) %求k=N 1 ~N 2 区间（步长为1）的冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:△N: N 2 ) %求冲激响应在k=N 1 ~N 2 区间（步长为△N） 的部分样值 dstep(A,B,C,D) %求阶跃响应 dstep(A,B,C,D,1,N 1:△N:N 2 ) dbode(A,B,C,D,T s )%求频率响应（频率范围： Ts ~ π ω=，即π ~ 0=）。T s 为 取样周期，一般去T s =1. dbode(A,B,C,D, T s ,i u ,w :△w:w 1 ) %求频率响应（频率=范围：ω=w ~w 1 ， 即θ=（w0~w1）T s，△w为频率步长）；i u为系统输入端口的编号，系统只有一个输入端
离散时间系统的状态空间描述
燕山大学 课程设计说明书 题目：离散时间系统的状态空间描述学院（系）：电气工程学院 年级专业： 11级精密仪器二班 学号：徐。。 学生姓名： 指导教师： 教师职称：
电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称：数字信号处理课程设计 说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科
目录 摘要 (4) 一、课题总体描述 (5) 二、计算过程 (一)状态变量及状态空间表达式 (6) 1.状态变量 (6) 2.状态矢量 (6) 3.状态空间 (6) 4.状态方程 (6) 5.输出方程 (6) 6.状态空间表达式 (7) (二)MATLAB语句分析 1.用到的MATLAB函数 (8) 2.Tf2ss：传递函数到状态空间模型 (9) 3.转换为零极点增益模型 (12) 4.用传递函数求冲击响应 (13) 5.状态空间模型求冲击响应 (15) 三、心得体会 (17) 四、参考文献 (18)
摘要 数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。简单的说，数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术。信号是信息的物理体现形式，或是传递信息的函数，而信息则是信号的具体内容，信号处理的内容包括滤波，变换，检测，谱分析，估计，压缩，识别等一系列的加工处理。 MATLAB是一个功能强大的用于算法开发，数据可视化，数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，通过将数字信号处理与MATLAB结合运用的过程可以方便地处理各种运算，包括将传递函数变换为状态方程，输出方程，或者由状态方程求其单位冲击响应，通过MATLAB的辅助都使计算变得异常简便。 根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图像，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。 信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。信号处理方面的课程，如“信号与系统”，“数字信号处理”等不仅是无线电，通信，电子工程等专业的主干课程，也成为相关工科专业非常实用的课程。
自动控制原理第7章离散系统题库习题
7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()C z 。 （a ）2 ()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()at c t t te -= （e ）()1()sin at c t t e t ω-= （f ）()1()cos at c t t te t ω-= 7-2已知()x t 的拉氏变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()X z 。 （a ）21()C s s = （b ）()()a C s s s a = + （c ）2()() a C s s s a = + （d ）1 ()()()()C s s a s b s c = +++ （e ）2221 ()() C s s s a = + （f ）()1 ()1sT C s e s -= - 7-3求下列函数的z 反变换。 （a ） 0.5(1)(0.4)z z z -- （b ） 2()() T T z z e z e ---- （c ）2 2 (1)(2) z z z ++
7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所示的有理分式 120121212()1n n n n b b z b z b z C z a z a z a z ------++++=++++L L 则有 0(0)c b = 以及 []1 ()()n k i i c kT b a c k i T ==--∑ 式中k n >时，0k b =。 （a ）试证明上面的结果。 （b ）设 23220.5 ()0.5 1.5 z z C z z z z +-=-+- 应用（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。 7-5试用部分分式法、幂级数法和反演积分法，求下列函数的z 反变换： （a ）10()(1)(2) z E z z z = -- （b ）1 12 3()12z E z z z ----+=-+ （c ）2()(1)(31)z E z z z = ++ （d ）2 ()(1)(0.5) z E z z z = -+ 7-6用z 变换法求下面的差分方程 (2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++=== 并与用迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相比较。 7-7求传递函数为
现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程 1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式
一. 时间离散系统 离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为 x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k) 二. 线性时变系统 其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数； 线性时变系统的状态空间表达式为： x =A t x +A t u y=C t x +D t u
三. 非线性系统 x =f (x,u , t ） y=g (x,u,t) 1.非线性时变系统的状态空间表达式 式中，f ，g 为函数向量； x =f (x,u ） y=g (x,u) 2.非线性定常系统的状态空间表达式 当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统
3.非线性系统的线性化 x =f (x,u ） y =g (x,u) 设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。 f (x 0,u 0)=0 , y 0= g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项： x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0 +?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu
则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x ?x 0=?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu δy =y ?y 0=?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为： δx ，δu ，δy ?x ，?u ，?y ?x =A ?x +B ?u ?y =C ?x +D ?u 其中,A =?ef ex x 0,u 0,B =?ef eu x 0,u 0,?C =eg ex x 0,u 0,D =?eg eu x 0,u 0
实验一 MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换
实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换 一、 实验目的 1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法； 2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法； 3、掌握相应的MATLAB 函数。 二、 实验原理 设系统的模型如式（1.1）所示： ?? ?+=+=D Cx y Bu Ax x ' x ''R ∈ u ∈R ’’’ y ∈R P (1.1) 其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵，D 为直接传递函数。系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示 G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2) 式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幂排列的分母。 表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数如下： 函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D) 函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是: G=tf(num ，den) 其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。 函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
离散时间系统及离散卷积
实验一、离散时间系统及离散卷积 1、单位脉冲响应 源程序： function pr1() %定义函数pr1 a=[1,-1,0.9]; %定义差分方程y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n) b=1; x=impseq(0,-20,120); %调用impseq函数（matlab软件的函数库） n=[-20:120]; %定义n的范围，从-20 到120 h=filter(b,a,x); %调用函数给纵坐标赋值 figure(1) %绘图figure 1 (冲激响应) stem(n,h); %在图中绘出冲激 title('单位冲激响应（耿海锋）'); %定义标题为:'冲激响应（耿海锋）' xlabel('n'); %绘图横座标为n ylabel('h(n)'); %绘图纵座标为h(n) figure(2) %绘图figure 2 [z,p,g]=tf2zp(b,a); %绘出零极点图 zplane(z,p) function [x,n]=impseq(n0,n1,n2) %声明impseq函数 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0]; 结果： Figure 1:
Figure 2:
2、离散系统的幅频、相频的分析 源程序： function pr2() b=[0.0181,0.0543,0.0543,0.0181]; a=[1.000,-1.76,1.1829,-0.2781]; m=0:length(b)-1; % m的范围，从0 到3 l=0:length(a)-1; % l的范围，从0 到3 K=5000; k=1:K; w=pi*k/K; %角频率w H=(b*exp(-j*m'*w))./(a*exp(-j*l'*w));%对系统函数的定义 figure(1) magH=abs(H); %magH为幅度 angH=angle(H); %angH为相位 plot(w/pi,magH-耿海锋); %绘制w(pi)-magH-耿海锋的图形 figure(2) axis([0,1,0,1]); %限制横纵座标从0到1 xlabel('w(pi)'); %x座标为 w(pi) ylabel('|H|'); %y座标为 angle(H)-耿海锋 title('幅度，相位响应（耿海锋）'); %图的标题为:'幅度，相位响应（耿海锋）' plot(w/pi,angH); %绘制w(pi)-angH的图形 grid; %为座标添加名称 xlabel('w(pi)'); %x座标为 w(pi) ylabel('angle(H)'); %y座标为 angle(H) 结果： Figure1
状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：
i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1 t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ΛΛ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述
答案 控制系统的状态空间描述 习题解答
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分 器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 》 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ；(2) u u y y -=+ 32； (3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。
(1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有： 1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? [ (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得：
非线性与离散系统
《非线性与离散系统》课程教学大纲 Nonlinear and Discrete Control System 课程编号：2000492 学时数：32 适用专业：电气工程及其自动化学分数：2学分 执笔者：王艳邱瑞昌编写日期：2002.5 一、课程的性质和目的 课程性质：非线性离散控制系统是电气工程及其自动化专业的技术基础选修课之一。 主要目的：培养学生 １、掌握非线性控制系统、离散控制系统的分析方法； ２、学会使用非线性环节改善系统的动态性能及用离散系统的理论分析数字系统； ３、掌握典型非线性环节及采样系统的实验方法，获得实验技能的基本训练。 4．了解非线性控制系统和离散控制系统的发展方向。 二、课程教学内容 第一章非线性控制系统 内容：理解非线性控制系统的基本概念及其与线性控制系统的区别，掌握非线性控制系统的两种分析方法 描述函数法和相平面法；学会利用非线性特性改善系统的动态性能。了解如何运用计算机对非线性系统进行辅助分析和设计。 重点：描述函数法、相平面法。 难点：运用两种分析法分析非线性系统。 作业：9个。 自学内容：典型环节描述函数的求取，（自学不占课时，但要考试）。自学前给出求取描述函数的一般方法，自学后布置作业检验自学效果。 课堂讨论：如何利用非线性特性改善控制系统的动态性能。 实验环节：非线性控制系统的综合与校正、采样控制系统设计实验。 第二章线性离散控制系统 理解采样过程的数学描述，掌握采样定理，会确定采样周期；掌握信号如何恢复和保持，会运用Ｚ变换求取系统的脉冲传递函数；会分析线性离散系统的稳定性；学会运用时域分析法分析离散系统；了解数字控制器的模拟化和数字化的设计方法。 重点：采样定理、信号的采样和保持、Ｚ变换、脉冲传递函数、离散系统的稳定性。 难点：采样过程、离散系统的稳定性、数字控制器的设计。 作业：8个。 自学内容：Z变换与Z的反变换，（自学不占课时，但要考试）。自学前对内容作简要介绍，自学后布置作业检验自学效果。 课堂讨论：数字控制器的设计方法。 实验环节：采样控制系统的校正 三、课程教学的基本要求 本课程的教学环节包括：自学、课堂讲授、自制多媒体电子课件、习题课、课外作业、实验。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、动手能力、分析问题和解决问题的能力。 （一）课堂讲授 1、教学方法： 采用启发式教学，鼓励学生自学，培养学生的自学能力；精选教学内容，精讲多练；思考题和课外作业为主，调动学生学习的主动性。
状态空间表达式的解
第2章 状态空间表达式的解 第1节 线性定常齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程 0(0)x Ax x x ==& 的解为 0()At x t e x = (0)t > 式中，2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ? ==+++=∑ L 证明： 用拉普拉斯变换法。 对 x A x =& 作拉氏变换，得 0()()sX s x AX s -=
1 0()()X s sI A x -=- 11 0()[()]x t L sI A x --=- 因为 2 23111()()sI A I A A I s s s -+++=L 故 1 223111()sI A I A A s s s --=+++L 12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2! I At A t x =+++L 0At e x = 顺便可知 ])[(1 1---=A sI L e At 第2节 矩阵指数函数At e 1、At e 的定义和性质
（1）定义 2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ==+++=∑ L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ?阶； At e —矩阵指数函数，n n ?阶时变矩阵。 若A 中各元素均小于某定值，At e 必收敛；若A 为实矩阵，At e 绝 对收敛。 （2）基本性质： ◆组合性质： ) (2121t t A At At e e e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。 推论1：I e e e e A t t A t A At ===--0 ) () ( 推论2：) (1 ][t A At e e --=
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统
实验：离散时间信号与系统的时域分析 一、实验目的 1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的MATLAB函数； 2、掌握离散时间信号的MATLAB产生，掌握用周期延拓的方法将一个非周期信号进行周期信号延拓形成一个周期信号的MATLAB编程； 3、牢固掌握系统的单位序列响应的概念，掌握MATLAB描述LTI系统的常用方法及有关函数，并学会利用MATLAB求解LTI系统响应，绘制相应曲线。 基本要求：掌握用MATLAB描述离散时间信号的方法，能够编写MATLAB程序，实现各种信号的时域变换和运算，并且以图形的方式再现各种信号的波形。掌握线性时不变离散系统的时域数学模型用MATLAB描述的方法，掌握线性常系数差分方程的求解编程。 二、实验原理 信号（Signal）一般都是随某一个或某几个独立变量的变化而变化的，例如，温度、压力、
声音，还有股票市场的日收盘指数等，这些信号都是随时间的变化而变化的，还有一些信号，例如在研究地球结构时，地下某处的密度就是随着海拔高度的变化而变化的。一幅图片中的每一个象素点的位置取决于两个坐标轴，即横轴和纵轴，因此，图像信号具有两个或两个以上的独立变量。 在《信号与系统》课程中，我们只关注这种只有一个独立变量（Independent variable）的信号，并且把这个独立变量统称为时间变量（Time variable），不管这个独立变量是否是时间变量。 在自然界中，大多数信号的时间变量都是连续变化的，因此这种信号被称为连续时间信号（Continuous-Time Signals）或模拟信号（Analog Signals），例如前面提到的温度、压力和声音信号就是连续时间信号的例子。但是，还有一些信号的独立时间变量是离散变化的，这种信号称为离散时间信号。前面提到的股票市场的日收盘指数，由于相邻两个交易日的日收盘指数相隔24小时，这意味着日收盘指数的时间变量是不连续的，因此日收盘指数是离散时间信号。 而系统则用于对信号进行运算或处理，或者
离散时间信号与系统
实验：离散时间信号与系统的时域分析 一、实验目的 、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的函数； 、掌握离散时间信号的产生，掌握用周期延拓的方法将一个非周期信号进行周期信号延拓形成一个周期信号的编程； 、牢固掌握系统的单位序列响应的概念，掌握描述系统的常用方法及有关函数，并学会利用求解系统响应，绘制相应曲线。 基本要求：掌握用描述离散时间信号的方法，能够编写程序，实现各种信号的时域变换和运算，并且以图形的方式再现各种信号的波形。掌握线性时不变离散系统的时域数学模型用描述的方法，掌握线性常系数差分方程的求解编程。 二、实验原理 信号（）一般都是随某一个或某几个独立变量的变化而变化的，例如，温度、压力、声音，还有股票市场的日收盘指数等，这些信号都是随时间的变化而变化的，还有一些信号，例如在研究地球结构时，地下某处的密度就是随着海拔高度的变化而变化的。一幅图片中的每一个象素点的位置取决于两个坐标轴，即横轴和纵轴，因此，图像信号具有两个或两个以上的独立变量。 在《信号与系统》课程中，我们只关注这种只有一个独立变量（）的信号，并且把这个独立变量统称为时间变量（），不管这个独立变量是否是时间变量。 在自然界中，大多数信号的时间变量都是连续变化的，因此这种信号被称为连续时间信号（）或模拟信号（），例如前面提到的温度、压力和声音信号就是连续时间信号的例子。但是，还有一些信号的独立时间变量是离散变化的，这种信号称为离散时间信号。前面提到的股票市场的日收盘指数，由于相邻两个交易日的日收盘指数相隔小时，这意味着日收盘指数的时间变量是不连续的，因此日收盘指数是离散时间信号。 而系统则用于对信号进行运算或处理，或者从信号中提取有用的信息，或者滤出信号中某些无用的成分，如滤波，从而产生人们所希望的新的信号。系统通常是由若干部件或单元组成的一个整体（）。系统可分为很多不同的类型，例如，根据系统所处理的信号的不同，系统可分为连续时间系统（）和离散时间系统（），根据系统所具有的不同性质，系统又可分为因果系统（）和非因果系统（）、稳定系统（）和不稳定系统（）、线性系统（）和非线性系统（）、时变系统（）和时不变系统（）等等。 然而，在信号与系统和数字信号处理中，我们所分析的系统只是所谓的线性时不变系统，这种系统同时满足两个重要的基本性质，那就是线性性和时不变性，通常称为线性时不变（）系统。 . 信号的时域表示方法 将信号表示成独立时间变量的函数 例如()(ω) 和[]()[] 分别表示一个连续时间信号和一个离散时间信号。在中有许多内部函数，可以直接完成信号的这种表达，例如： ()：正弦信号
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式 系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。 要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数 dt dx i 。 第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。 例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。 解： 该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。 图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。我们取每个积分器的输出端 信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x 和2x 。 图2-6 系统方块图
从图可得系统状态方程： ()??? ??? ?+--=-+-==u T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 11211131131121222 2111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y = 写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式： []?????????? ?=???? ??????+? ???????=x y u T K x K K T K x 010********
第八章 控制系统的状态空间分析
第八章 控制系统的状态空间分析 一、状态空间的基本概念 1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。 2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻 这组变量的值())()() (00201t x t x t x n Λ 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系 统在0t t ≥任何时刻())()() (21t x t x t x n Λ 的行为就可完全确定。 3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n Λ =。 4. 状态空间 以状态变量())()() (21t x t x t x n Λ 为坐标的n 维空间。系统在某时 刻的状态，可用状态空间上的点来表示。 5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。 6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。 二、状态空间描述（状态空间表达式） 1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有 ? ? ?+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x & （8-1） 对于线性定常离散系统有 ?? ?+=+=+) ()()() ()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2） 2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。 3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型） 系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
离散时间系统分析资料
课程设计报告课程设计题目：离散时间系统分析 学号：201420130327 学生姓名：刘新强 专业：通信工程 班级：1421302 指导教师：涂其远 2015年12 月15 日
目录 第0章: Matlab简介 第1章: 离散时间系统的设计 1.课程设计的目的与要求 2.课题内容分析 3.实验原理 4.具体设计方案 第2章: 离散时间系统的仿真 1.画出零极点图，判断系统的稳定性 2.求出单位样值响应，并画出图形 3.求出系统的幅频响应和相频响应，并画出图形第3章: 总结
第0章: Matlab简介 MATLAB[1] 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
离散时间系统的状态空间描述
燕山大学 课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述 学院(系）：电气工程学院 年级专业：_11级精仪1班 学号： 110103020058 学生姓名： 指导教师： 教师职称：
电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称：数字信号处理课程设计 说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科
摘要 摘要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数
目录 第一章离散时间系统与状态空间描述 (1) 1.1 离散时间系统 (1) 1.2 状态空间描述 (3) 1.3 LSI系统的求解方法 (5) 第二章软件仿真设计 (5) 2.1状态方程 (5) 2.2输出方程 (6) 2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7) 第三章仿真结果分析 (10) 3.1状态方程 (10) 3.2 输出方程 (10) 3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11) 第四章学习心得 (11) 第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)
第一章相关离散时间系统的知识 1.1离散时间系统 离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下：b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过查表求Z反变换即可。 三、系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法，繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时，系统的输出响应。 方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];
状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式 2.5 控制系统的状态空间表达式 随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量 在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动 状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。 若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t) 的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为 分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化， x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。 2.5.2 状态空间表达式 1. 状态方程 由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。 对于线性系统，可以写成如下形式
(2.59) 记为 (2.60) 式中x(t)是n维列向量 u(t)是r维输入向量 A是n*n维矩阵，称为系数矩阵 B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵
离散控制系统
第八章 离散控制系统 8．1 引言 自动控制系统发展至今，数字计算机作为补偿装置或控制装置越来越多的应用到控制系统中。数字计算机中处理的信号是离散的数字信号。所谓离散信号，是指定义在离散的时刻点上信号，连续信号经过等间隔时间采样后就变成离散时间信号。而数字信号，是指由二进制数表示的信号，计算机中的信号就是数字信号。数字信号的取值只能是有限个离散的数值。如果一个系统中的变量有离散时间信号，就把这个系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统。图8－1为典型的计算机控制系统框图，计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统。计算机工作在离散状态，控制对象和测量元件工作在模拟状态。偏差信号)(t e 是模拟信号，经过A/D 变换后转换成离散的数字信号)(* t e 进入计算机。计算机按照一定的控制规律处理输入信号，完成控制器的功能。计算机的输出信号)(*t u 为离散的数字信号，经过D/A 变换后转换成模拟信号)(t u h 。)(t u h 输入到控制对象，是其按预定方式工作。将图8－1中的A/D 转换器由一个采样开关代替，D/A 转换器由采样开关和保持器代替，得到图8－2。在量化误差可以忽略的情况下，计算机控制系统可以看作是离散控制系统。 8．2 采样 系统 在离散 控制系统中，数字计算机只能处 理离散的数字信号，而系统中其余元件则处理模拟信号，所以在数字计算机与其余元件之间需要进行信号转换。信号经过A/D 转换，变成离散的数字信号输入到计算机。而计算机输出的离散的数字信号经过D/A 转换，变成模拟信号输入到其余元件。在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个数字量之间的时间间隔为T ，称为采样时间，T /1为采样频率，单位为Hz 。所以在图8－2中，偏差信号 图8－1 计算机控制系统 图8－2 离散控制系统