第三章 线性离散系统状态空间表达式
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2.6离散系统状态的空间描述
与连续系统类似，线性离散系统状态空间表 达式的结构图如图1所示。
图1 线性离散系统的结构图
图中方块T为单位延迟器，它表示将输入的信 号延迟一个节拍，即如果其输入为x(k+1)，那么其 输出为x(k)。
对线性定常离散系统而言,G(k)，H(k)，C(k)，
D(k)均为常数矩阵，其状态空间表达式为
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y (k ) Cx(k ) Du(k )
x2 ( k ) Q( k 1) x1 ( k 1) x3 ( k ) Q( k 2) x2 ( k 1) xn ( k ) Q( k 1) xn 1 ( k 1)
(2.6.12)
则
xn ( k 1) Q( k n) a1 xn ( k ) an 1 x2 ( k ) an x1 ( k ) u( k )
则有
(2.6.9)
( z a1 zan )Q( z ) U ( z )
(2.6.10)
Y ( z ) (b1 z n1 b2 z n 2 bn1z bn )Q( z ) (2.6.11)
对式(2.6.10)和（2.6.11）作Z反变换得
(2.6.13)
y(k ) bn x1 (k ) bn1 x2 (k ) b2 xn1 (k ) b1 xn (k )
(2.6.14)
由式(2.6.12)、式(2.6.13) 和式(2.6.14)得式(2.6.7 )的
离散状态空间表达式为
x1 ( k 1) 0 1 0 x2 ( k 1) 0 0 1 0 0 xn 1 ( k 1) 0 xn ( k 1) an an 1 an 2 x1 ( k ) x (k ) 2 y bn bn 1 b2 b1 xn 1 ( k ) xn ( k )
离散系统的状态空间表达式
1.7 离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
【武汉大学】线性系统状态空间表达式的解【现代控制理论】
• 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。
– 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移 矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,
– 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描 述,更好地刻划系统状态运动变化的规律。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.2.1状态转移矩阵基本定义
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.2拉氏变换法
– 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。
• 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。
• 对标量函数,我们有
(s a)1 1 a a2 ... ak1 ...
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t) q0 q1t q2t 2 qkt k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.1级数展开法
– 将所设解代入该微分方程,可得
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[(sI A)1]
L1
s
2
1 2
s
1
2 2
s 1 s 2
1 1 s 1 s 2 1 2
s 1 s 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
3.1.1 线性定常齐次状态方程的解
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制原理2-3离散系统
−T −T −T
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
第03章线性离散系统的数学模型
3.2.2 差分方程解 =通解+特解
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
相似变换 初值定理 终值定理 实卷积定理 复卷积定理
L[ x(at )] 1 X ( s )
aa
lim x (t ) lim sX ( s )
t0
s
lim x (t ) lim sX ( s )
t
s0
L[ x1 (t ) x 2 (t )] X 1 ( s ) X 2 ( s )
L[ x1 (t ) x 2 (t )]
例 y(k2)2y(k1)5y(k)0,求通解。 解：特征方r程 2 2r50， 有一对共轭 1复 j2根 5ejarc2t， g 则通解为y(k)c1(1j2)k c2(1j2)k。
例y(k2)4y(k1)4y(k)0,求通解。 解：特征方 r2程 4r40，有二重 2，根 则通解为 y(k)c1(2)k c2k(2)k。
它的y ( 齐 k n ) a 1 次 y ( k n 1 方 ) a n 程 y ( k ) 0 为 它 的 特 rn a 1 征 rn 1 a 方 2 rn 2 程 a n 为 0 有n个特征根： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 ,, rn ,则方程通解为：
y(k) c1r1k c2r2k cnrnk； （2）若解有m重根，则m重根的解的形式为
1 2
X1(s) X 2(s)
3.4.4 Z反变换
1、 长 除 法
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
相似变换 初值定理 终值定理 实卷积定理 复卷积定理
L[ x(at )] 1 X ( s )
aa
lim x (t ) lim sX ( s )
t0
s
lim x (t ) lim sX ( s )
t
s0
L[ x1 (t ) x 2 (t )] X 1 ( s ) X 2 ( s )
L[ x1 (t ) x 2 (t )]
例 y(k2)2y(k1)5y(k)0,求通解。 解：特征方r程 2 2r50， 有一对共轭 1复 j2根 5ejarc2t， g 则通解为y(k)c1(1j2)k c2(1j2)k。
例y(k2)4y(k1)4y(k)0,求通解。 解：特征方 r2程 4r40，有二重 2，根 则通解为 y(k)c1(2)k c2k(2)k。
它的y ( 齐 k n ) a 1 次 y ( k n 1 方 ) a n 程 y ( k ) 0 为 它 的 特 rn a 1 征 rn 1 a 方 2 rn 2 程 a n 为 0 有n个特征根： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 ,, rn ,则方程通解为：
y(k) c1r1k c2r2k cnrnk； （2）若解有m重根，则m重根的解的形式为
1 2
X1(s) X 2(s)
3.4.4 Z反变换
1、 长 除 法
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
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2. Z变换法
• 设离散时间的状态方程为:
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
• 求Z变换后得到
zx z zx 0 Gx z Hu k
于是 x(z) (zI G)1 zx(0) (zI G)1 Hu(z)
• 求Z反变换得:
x(k) z1[(zI G)1 z]x(0) z1[(zI G)1 Hu(z)]
y(k n) a1y(k n 1) a2 y(k n 2) an y(k) b0u(k n) b1u(k n 1) bnu(k)
• 将两边作零初始条件下的Z变换得:
zn y(z) a1zn1 y(z) a2 zn2 y(z) b0 znu(z) b1zn1u(z) b2 zn2u(z)
• 若T为常数,则
k 1
x(k) Gk x(0) Gk j1(T )Hu( j) j0
• 令 (k) 称G为k 离散时间状态方程的状态转移
矩阵,它是差分方程
(k 1) 的G解(k.)
• 且满足 (0) ,则I 用状态转移矩阵写出的解为:
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j) j0 k 1 (k)x(0) ( j)Hu(k j 1) j0
1.递推法. • 设状态方程 xk 1 G T xk H T u k • 令k=0,1,2,….可递推求得
x(1) G(T )x(0) H (T )u(0) x(2) G2 (T )x(0) G(T )H (T )u(0) H (T )u(1)
k 1
x(k ) Gk (T )x(0) Gk j1(T )H (T )u( j) j0
0
x2
(k
)
0
u
(k
)
a1
xn
(k
)
1
y(k) n n1
x1(k)
x2 (k)
2
1
xn
.... 1 (k
)
b0u
(k
)
xn (k)
B.连续时间状态方程的离散化 • 有两种情况,需要采用这种方法
(1).含有采样开关或数字计算机的系统进行建模. 可先按连续系统建模然后离散化. (2).连续系统采用计算机进行控制或仿真时. 由于需编写程序,因此必须将连续系统离散化.
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du(k
)
• 主要研究这种类型方程所描述的系统.
二.离散系统状态空间表达式的建立.
A.根据系统的差分方程建立状态空间表达式
• 1.作用函数为 bu 时k 的定常纯量差分方程的
状态空间表达式.
• 设纯量差分方程为
y(k n) a1 y(k n 1) a2 y(k n 2) an1 y(k 1) an y(k ) bu(k )
• 于是方程可以写成矩阵形式.
x1(k 1) 0
x2 (k
1)
0
xn1
(k
1)
0
xn (k 1) an
1 0
0 an1
0 0 x1(k) 0
0
0
x2 (k)
0
u(k)
0
1
xn
1
(k
)
0
a2 a1 xn (k) 1
y(k) 1 0
u(z) an
• 并进行反变换得:
x(k n) a1x(k n 1) a2x(k n 2) anx(k) u(k)
• 取状态变量
x1(k) x(k) x2 (k) x1(k 1) x(k 1) x3(k) x2 (k 1) x(k 2)
xn (k) xn1(k 1) x(k n 1) xn (k 1) x(k n) an x1(k) a2xn1(k) a1xn (k) u(k)
0
0 x1(k),
x
(k
2
),
x x (k), n 1
(k
n
)
T
•或
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
其中D=0
2.作用函数包括有 u(k),u(k+1),u(k+2),…,u(k+n)时的定常 纯量差分方程的状态空间表达式.
• 设纯量差分方程的表达式为:
y(k) 1x(k n 1) 2x(k n 2) n x(k) b0u(k)
y k n x1 k n1x2 k 2xn1 k 1xn k 0u k
• 故而得到:
x1(k 1) 0
x2
(k
1)
0
xn
(k
1)
an
1 0
an1
0 1
an2
0 x1(k) 1,u(kT ) Rr1, y(kT ) Rm1
• 它们都是在t=kT时所确定的向量 k=0G,1,2R…nn , H Rnr ,C Rmn , D Rmr
• 采用简化符号x(k)来表示x(kT),即x(k)表示 t=kT时的向量x(t)
• 同样,u(k),y(k)来代替u(kT),y(kT)这样上 式可表达为:
一.线性离散系统状态空间表达式
• SISO离散系统:(1).差分方程,(2).脉冲传递函数。 • 只采用时域法描述,即差分方程的方法. • 因而,离散系统的状态空间表达式,由离散状态方程
和离散输出方程组成.
• 即对线性时不变离散系统为:
x[(k 1)T ] Gx(kT ) Hu(kT ) y(kT ) cx(kT ) Du(kT )
式中,k表示第k个采样瞬时, y为k第 k个采样 瞬时输出, 为第u kk个 采样瞬时输入.
• 设:
x1(k) y(k) y(k) x1(k) x1(k 1) x2 (k) y(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3(k) y(k 2) x3(k)
xn1(k 1) xn (k) y(k n) xn (k) xn (k 1) a1xn (k) a2 xn1(k) an x1(k) bu(k)
• 对照递推结果,则有:
Gk z1[(zI G)1 z]
k 1
Gk j1Hu( j) z1[(zI G)1 Hu(z)]
j0
• 则上式改写成
an y(z) bnu(z)
y(z) u(z)
b0 z n b1z n1 b2 z n2 z n a1z n1 a2 z n2
bn an
b0
1z n1 2 z n2
z n a1z n1 a2 z n2
n
an
•令
x(z)
zn
a1zn1
1 a2 zn2
现代控制理论
第三章 线性离散系统状态 空间表达式
目的:
(1).用状态空间方法对离散系统进行分析时, 需建立离散系统的状态空间表达式. (2).连续系统采用计算机仿真和实时控制时, 需对连续系统离散化.
三个问题:
(1).离散系统状态空间表达式的形式. (2).离散系统状态空间表达式的建立. (3).方程的解法.
• 离散化的过程(从动态方程的解开始)
• 不加证明地给出结论.
对于
x y
Ax Cx
的Bu线性定常系统
Du
• 则离散化后的方程为,采样周期为T
x(k 1) Gx(k) Hu(k y(k) Cx(k) Du(k)
)
G 其中
H
e
AT T
e
0
At
Bdt
三.离散------时间状态方程的解