离散状态空间分析
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
状态空间的名词解释
状态空间的名词解释状态空间是指描述系统或物体各种可能状态的一个抽象概念。
它在各个领域中都有着重要的应用，包括数学、物理学、计算机科学等。
在这篇文章中，我们将探讨状态空间的概念、性质和应用，并尝试借助一些具体的例子来说明。
首先，让我们来解释一下状态空间的基本定义。
状态空间通常可以被看作是一个多维空间，其中每个维度代表一个状态变量，而每个点则表示一个具体的状态。
例如，对于一个简单的二维状态空间，其中的一个维度可以表示对象的位置，而另一个维度则可以表示对象的速度。
在这个状态空间中，每个点都可以唯一地确定对象的位置和速度。
状态空间的一个重要性质是维数，即它包含的状态变量的个数。
维数的多少直接决定了状态空间的复杂程度。
一个低维的状态空间可能只包含很少的状态变量，而高维的状态空间则可能包含众多的状态变量。
这决定了系统在状态空间中的行为和演化方式。
例如，在物理学中，一个简谐振子的状态空间只有一维，因为只需要考虑物体的位置；而一个复杂的天气预测系统的状态空间可能包含数十个甚至数百个维度，因为需要考虑众多的气象参数。
状态空间的另一个重要概念是状态转移。
状态转移指的是系统在不同状态之间的切换过程。
在状态空间中，状态转移通常由一些规则或方程来描述。
这些规则可以是离散的，例如一个棋盘游戏中的走子规则，也可以是连续的，例如牛顿力学中的运动方程。
通过这些规则，我们可以预测系统在状态空间中的演化和变化。
状态转移的过程也可以被称为系统的动力学，它描述了系统状态的发展轨迹。
除了描述系统的状态和演化，状态空间还可以用于解决一些实际问题。
一个典型的例子是路径规划问题。
在这种问题中，我们需要找到一条从起点到终点的最短路径。
可以将路径规划问题转化为在状态空间中寻找一个状态转移序列的问题。
通过定义合适的状态转移规则和评估函数，我们可以通过在状态空间中搜索来解决这个问题。
类似地，状态空间可以用于机器学习中的强化学习问题、物理系统的建模和仿真等。
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
离散控制器的设计与实现
离散控制器的设计与实现离散控制器是一种广泛应用于工业自动化领域的控制系统。
它使用离散的时间和状态空间进行控制，具有精确性高、稳定性强等优点。
本文将介绍离散控制器的设计原理和实现方法。
一、离散控制器的设计原理离散控制器的设计基于离散时间线性系统的数学模型，主要包括离散传递函数和离散状态空间模型。
离散传递函数描述了输入与输出之间的关系，离散状态空间模型则描述了系统的状态变化。
1. 离散传递函数离散传递函数的一般形式为：G(z) = (b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ...)/(1 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ...)其中，b0, b1, b2...为输入项的系数，a1, a2...为输出项的系数。
通过确定这些系数，我们可以设计出符合控制要求的离散传递函数。
2. 离散状态空间模型离散状态空间模型的一般形式为：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)其中，x(k)为系统状态向量，u(k)为输入向量，y(k)为输出向量，A 为状态转移矩阵，B为输入转移矩阵，C为输出转移矩阵，D为直接转移矩阵。
通过确定这些矩阵，我们可以设计出满足系统要求的离散状态空间模型。
二、离散控制器的实现方法离散控制器的实现方法包括传统PID控制器和现代控制理论中的状态反馈控制器和最优控制器等。
1. 传统PID控制器PID控制器是一种经典的控制器，由比例项、积分项和微分项组成。
离散PID控制器的离散传递函数可以表示为：G(z) = Kp + Ki(1/z) + Kd(z-1)/z其中，Kp、Ki和Kd分别为比例、积分和微分增益。
通过调节这些增益，我们可以实现对系统的控制。
2. 状态反馈控制器状态反馈控制器通过测量系统状态反馈进行控制。
离散状态反馈控制器的表达式为：u(k) = -Kx(k)其中，K为状态反馈增益矩阵，通过选择合适的增益矩阵K，我们可以实现对系统状态的精确控制。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
2019/1/5
得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
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16
1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
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例3．8 用迭代法求解线性离散系统的状态方程
1 0 0 x (kT ) u ( kT ) x( kT T ) 0.4 0.3 1 y ( kT ) 0 1x ( kT ) x1 (0) 1 1 k 0 x(0) x (0) 1，u (kT ) 0 k 0 2
yp
图3.1 线性连续系统的变量关系
状态变量、控制变量和输出变量的向量表达式
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) xn (t )
u1 (t ) u (t ) 2 u (t ) um (t )
线性离散系统的解式(3—75)
可以用状态转移矩阵来表示，即
k 1 xkT kT x0 (kT jT T )Gu(kT ) j 0 (3 78) k 1 ykT CkT x0 C (kT jT T )Gu(kT ) Du(kT ) j 0
an 1 an 2
x1 (kT ) x (kT ) y (kT ) 1 0 0 0 2 x ( kT ) n
例题3.1 线性离散系统的差分方程为：
y (kT 4T ) 3 y (kT 3T ) 5 y (kT 2T ) 4 y (kT T ) 6 y (kT ) 2u (kT ) 试导出离散状态空间表 达式。 解：由差分方程知： n 4，m 0，p 1。 a0 1，a1 3，a2 5，a3 4，a4 6，b0 2。可知 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 G C 1 0 0 0 F 0 0 0 0 1 6 4 5 3 2
由式(3—26)及(3—28)可得
x1 (kT T ) a1 x1 (kT ) a2 x2 (kT ) an xn (kT ) u (kT ) 输出方程为： y (kT ) b1 x1 (kT ) b2 x2 (kT ) bn xn (kT ) 由此可得状态空间表达 式 x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y (kT ) Cx (kT ) Du(kT )
初值x(0)，u (0)。 以k 0， 1， 2， ，代入 x(T ) Fx(0) Gu(0) x(2T ) Fx(T ) Gu(T ) F 2 x(0) FGu(0) Gu(T ) x(3T ) F 3 x(0) F 2Gu(0) FGu(T ) Gu(2T ) x(kT ) F k x(0) F k j 1Gu( jT )
离散状态空间表达式为：
1 0 0 x1 (kT ) 0 x1 (kT T ) 0 x (kT T ) 0 x (kT ) 0 0 1 0 2 u (kT ) 2 x3 (kT T ) 0 0 0 1 x3 (kT ) 0 x4 (kT T ) 6 4 5 3 x4 (kT ) 2 x1 (kT ) x (kT ) y (kT ) 1 0 0 0 2 x3 (kT ) x ( kT ) 4
(3 - 28)
对(3—28)作z反变换得
x2 (kT T ) x1 (kT ) x (kT T ) x (kT ) 3 2 x (kT T ) x (kT ) n2 n 1 xn (kT T ) xn 1 (kT )
(3 - 29)
线性离散系统的状态变量图如图3．2所示
D
u(kT )
G
x(kT T )
I Z
x(kT )
C
y(kT )
F
图3 2
线性离散系统状态变量 结构图
3.2.1 由差分方程导出离散状态空间表达式
对于单输入—单输出的线性离散系统， 可以用n阶差分方程来描述
y(T nT ) a1 y(kT nT T ) an y(kT ) b0u(kT mT) b1u(kT mT T ) bmu(kT ) (3 - 8)
y1 (t ) y (t ) 2 y (t ) y p (t )
状态空间表达式
连续系统的状态空间表达式为
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t ) (3 4) (3 5)
解：令k＝0，1，2．…，及初始条件代入 离散状态空间表达式，可以得到
其中
a1 1 F 0 0 a2 an 1 0 0 0 0 0 1 an 0 0 0 1 0 G 0 0 D0
C b1 b2 bn 1 bn
第 3章
离散系统的离散状态空间分析法
安徽工业大学自动化系
马鞍山 243002
主要内容：
1. 线性离散系统的离散状态空间表达式 2. 由差分方程导出离散状态空间表达式 3. 由z传递函数建立离散状态空间表达式 4. 线性离散系统离散状态方程的求解 5. 线性离散系统的Z传递矩阵与特征方程 6. 用离散状态空间法分析系统的稳定性
由式(3-11)可得
x1 (kT T ) y (kT T ) x2 (kT ) x2 (kT T ) y (kT 2T ) x3 (kT ) x3 (kT T ) y (kT 3T ) x4 (kT ) xn (kT T ) y (kT nT ) an x1 (kT ) an 1 x2 (kT ) a1 xn (kT ) b0u (kT )
A，B，C，D是定常的系数矩阵。 式(3—4)称为状态方程，式(3—5)称为输出方程。 与线性连续系统类似，线性离散系统的离散状态 空间表达式可以表示为
x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y(kT ) Cx(kT ) Du(kT ) (3 6) (3 7)
式(3—6)称为状态方程，式(3—7)称为输出方程。
例3.3 设线性离散系统的Z传递函数
2z 2 5z 1 ( z) 2 GC z 3z 2 试求系统的离散状态空 间表达式。 z 3 z 2 3z 2 由公式可得离散状态空 间表达式 ( z ) b0 GC ( z ) 2 解：GC x1 (kT T ) 3 2 x1 (kT ) 1 u (kT ) 0 x2 (kT ) 0 x2 (kT T ) 1 x1 (kT ) y (kT ) 1 3 2u (kT ) x2 (kT )
系统的状态变量如图3．4所示
3．3 线性离散系统离散状态方程的求解
线性离散系统的离散状态方程是由 高阶差分方程化为一阶差分方程组得到 的，所以求解差分方程的方法可以适用 于求解离散状态方程。通常离散状态方 程的求解方法有 迭代法 Z变换法。
1．迭代法
设线性离散系统的离散 状态空间表达式为 x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y (kT ) Cx (kT ) Du(kT )
1. 当m=0,即控制变量不包含高于一阶的差分
y(kT nT ) a1 y(kT nT T ) an y(kT ) b0 mu(kT ) (3 -10)
选择状态变量
x1 (kT ) y (kT ) x (kT ) y (kT T ) 2 x3 (kT ) y (kT 2T ) xn (kT ) y (kT nT T ) (3 - 11)
3.2.2 由z传递函数建立离散状态空间表达式
一个线性离散系统可以用Z传递函数来 表征，当系统的Z传递函数知道时，便可以 建立该系统的离散状态空间表达式。 由z传递函数建立离散状态空间表达式， 通常有: 直接程序法 分式展开法 迭代程序法 嵌套程序法。
1．直接程序法
设线性离散系统的Z传递函数
b1 z 1 b2 z 2 bn z n Gc ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
由式(3—26) 式(3—27)可画出状态变量图
由图3.3可选择状态变量
x1 ( z ) z 1Q( z ) 2 1 x ( z ) z Q ( z ) z x1 ( z ) 2 x ( z ) z n 1Q( z ) z 1 x ( z ) n2 n 1 n 1 x ( z ) z Q ( z ) z xn 1 ( z ) n
令 可得 Q( z ) U ( z ) a1 z 1Q( z ) a2 z 2Q( z ) an z nQ( z ) Y ( z ) b1 z 1Q( z ) b2 z 2Q( z ) bn z nQ( z ) Q( z ) y ( z ) /(b1 z 1 b2 z 2 bn z n ) U ( z ) /(1 a1 z 1 a2 z 2 an z n )
(3 - 12)
写成矩阵形式
x1 (kT T ) 0 x (kT T ) 0 2 x ( kT T ) n an 1 0 0 1 0 x1 (kT ) 0 x (kT ) 0 0 2 u (kT ) 0 a1 xn (kT ) b0
3．1 概述
离散状态空间分析法优点： (1)离散状态空间表达式适宜于计算机求解。 (2)离散状态空间分析法对单变量和多变量 系统允许用统一的表示法 (3)离散状态空间分析法能够应用于非线性 系统和时变系统。