第9章 状态空间分析法
现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
自动控制理论
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第一章第一章绪论绪论第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析第四章第四章根轨迹法根轨迹法第五章第五章频率分析法频率分析法第六章第六章控制系统的综合校正控制系统的综合校正第七章第七章pidpid控制与鲁棒控制控制与鲁棒控制第八章第八章离散控制系统离散控制系统第九章第九章状态空间分析法状态空间分析法444电气与新能源学院首页上页下页201920192019121212303030教材及参考书1自动控制理论邹伯敏主编机械出版社2自动控制原理蒋大明著华南理工大学出版社1992年版5自动控制原理梅晓榕主编科学出版社6自动控制理论文锋编著中国电力出版社1998年版555电气与新能源学院首页上页下页201920192019121212303030考核方式
动 统和状态空间分析等。
控
制
具体来说，包括以下几个章节：
理
论 第一章 绪论
第二章 控制系统的数学模型
第三章 控制系统的时域分析
第四章 根轨迹法
第五章 频率分析法
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结束 第八章 离散控制系统
第九章 状态空间分析法
电气与新能源学院Байду номын сангаас
自动控制原理(程鹏)
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
1
版权信息： 版权所有属于高等教育出版社和作者
2
序 言
本《自动控制原理多媒体教学课件 》是根据程鹏主编的 《自动控制原理》 (第二版)一书而编辑的,使用PowerPoint2000 下编辑而成，故建议在Office2000及Mathtype5.1环境中进行浏 览和修改。 本文稿基本涵盖了教材各章节的主要知识点。可作为使用 该教材的教师课堂演示文稿的蓝本，以省去教师对文字、公式 和插图等的录入时间，可以让教师们把更多的精力去考虑教学 内容的编排以及课堂教学的组织等更重要的问题,还可为自学本 书的读者提供一个课堂教学的主要线索，因此在文稿中还选编 了一些基本内容和方法的提示和总结，期望对读者理解本书的 内容有所帮助。出版这个多媒体课件可以说是抛砖引玉，期望
55目录第1章自动控制原理的一般概念第2章自动控制系统的数学模型第3章时域分析法第7章非线性系统分析第4章根轨迹法第5章频域分析法第6章控制系统的校正第8章采样系统理论第9章状态空间分析方法66目录使用说明双击选定章节就可进入相应章节的目录您会看到各章的基本要求和具体章节点击便可进入具体小章节由于是使用不同章节间的超级链接请在复制时将所有章节复制在同一个文件中链接速度可能会稍慢请耐心等待
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状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数Ate ）及其性质：i ． I =)0(φii ．A t t A t )()()(φφφ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+iv. )()(1t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ=vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At PAPt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）级数展开法ΛΛ+++++=k k At t A k t A At I e !12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解⎰-+=tBu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。
状态空间分析法的特点及其应用
状态空间分析法的主要特点及其应用1.引言60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。
在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。
这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。
利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题，显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。
2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。
状态空间分析方法
②
③ ④
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可
控系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 5 稳定性分析。
(t ) L
1
sI A
1
2et e2t t 2 t 2 e 2 e
12
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y
n
an1 y
n1
an 2 y
n 2
a0 y u
y ( n1) (0) 和 (0) 、… 、 若给出 (t=0) 时的初值 y (0) 、y ut , t 0 时就可确定系统的行为。
18
x ( t ) 代入方程 x Ax 将 可得
b1 2b2t kbk t k 1 A(b0 b1t bk t k )
方程两边系数必相等, 即 b1 Ab0
1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2 1 1 3 b3 Ab2 A b0 3 3 2 1 k bk A b0 k！
30
例 求下述系统状态的时间响应
控制量u为单位阶跃函数。
1 0 0 x x u 2 3 1
解：由
状态转移矩阵
s3 ( s 1)(s 2) 1 [ sI A] 2 ( s 1)(s 2)
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
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根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递
函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-3 已知一系统的传递函数为
试写出能控标准形的状态空间表达式。 解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的 状态空间表达式为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
3、对角标准型实现
当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为 对角标准型实现。 设系统的传递函数为：
令 则上式变为
第二节 传递函数与动态方程的关系
式中： 则 令
Ci lims i W s
s i
则得
i
i
i
对上式取拉氏变换
第二节 传递函数与动态方程的关系
i
或写作
第二节 传递函数与动态方程的关系
上述状态方程的状态变量描述有如下特点： （1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素
全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。
（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量， 它的元素为W(s)极点的留数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
其中
D为m×r型矩阵
m×r
Wij s 为第i个输出与第j个输入间的传递函数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
求系统的传递函数。 例9-2 已知系统的动态方程式如下，
解：
-
=
-
第二节 传递函数与动态方程的关系
二、由传递函数列写动态方程 设线性定常系统微分方程的一般形式为：
y为系统的输出量，u为系统的输入量，初始条件为零， 对上式取拉氏变换，得系统的传递函数为： -
上式能观标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
若传递函数为
写成其能观标准形动态方程为
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准型和能观标准型关系： 能控标准型的系数矩阵A与能观标准型的系数矩阵A 互为转置；能控标准型的输入矩阵b是能够标准型输出矩 阵C的转置，而能控标准型的输出矩阵C又是能观标准型 输入矩阵b的转置
第一节 状态变量的描述
状态、状态变量
状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
xt
vt
m
f t
dvt 1 f t dt m 1 t vt vt0 f d m t0 dxt vt dt
t 1 t xt xt0 t t0 vt0 d f d m t0 t0
输出方程为：
写成向量矩阵的形式：
第二节 传递函数与动态方程的关系
d
传递函数有零点的状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
2、能观标准形实现 某三阶系统传递函数为：
由于 因此只要分析
是实现的直接传递部分 部分的实现即可。
其微分方程为：
对其在非零初始条件下取拉氏变换，求得
第二节 传递函数与动态方程的关系
第九章 状态空间分析法
教学目的：了解状态变量、状态空间描述、 能观性、能控性、状态观测器 教学重点：线性定常系统的能控性、能观性 教学难点：状态观测器及其应用
授课学时：8
第9章 状态空间分析法
根轨迹法 频率法
以传递函数或频率特性的形式来描述 控制系统的。
操作简单 优点： 概念清晰 分析与计算不复杂 缺点： （1）传递函数只描述输入与输出的关系，不描述系统内部信息；
第一节 状态变量的描述
一、一般概念
1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。 表征系统运动的信息。 2、状态变量： 由于 xt0 和
vt0 表征系统在 t t0时刻的Biblioteka 态，故称它们为初始状态变量。
第一节 状态变量的描述
已知
vt0
xt0
f t
计算出任意
t t0
x为n×1型状态向量 A为n×n矩阵
b为n×1型列向量 C为1×n型行向量
y（t）和u（t）为标量 d为直接传输系数
对上式取拉氏变换，得
第二节 传递函数与动态方程的关系
传递函数是在零初始条件下定义的，因此 x0 0 求得 系统的传递函数为： 2、多输入—多输出系统
C为m×n型矩阵
B为n×r型矩阵
A为系统的系数矩阵
b为输入矩阵(控制矩阵）
第一节 状态变量的描述
2、单输入单输出系统的输出方程 系统的输出量与状态变量、输入变量间的数学表达
式称为输出方程。 单输出线性定常系统输出方程的一般形式可表示为
yt C1x1 t C2 x2 t Cn xn t dut
Y1 s 1 2 1 0 a1 y1 0 { y 0 s [y 1 3 2 3 2 s a1s a2 s a3 s a1s a2 s a3 1 0 a1 y 1 0 a2 y1 0 1u 0 2u0]} 1u0]s [ y U s
x1 t , x2 t ,, xn t 为系统的一组状态变量，
xt x1 t , x2 t ,, xn t 为状态向量
第一节 状态变量的描述
4、状态空间
状态向量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任 一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示。 5.状态方程
输入u（t）唯一确定。
终上所述，用状态变量描述系统具有如下的特点：
（1）系统的状态变量描述是系统输入、状态、输出诸变量间
的时域描述。 （2）输入引起系统内部状态的变化是一个动态过程，在数学 上用向量微分方程描述。输出方程是一个代数方程。 （3）一个系统的状态变量选择不是唯一的，一个n阶系统， 只能有n个状态变量，不能多也不能少。 （4）由于状态方程是一阶微分方程组，因而适用于计算机求
量选择的非唯一性。为了应用上的方便，通常总优先考虑
那些能被量测的物理量为状态变量。
第一节 状态变量的描述
系统状态量的选择虽不是唯一的，但选择一组状态 变量也是有条件。它必须具备下述的性质：
（1）在t时刻的状态向量x（t）是初始状态向量 xt0 和t t0
时的输入u（t）唯一确定。
（2）在t时刻的输出y（t）是由该时刻的状态向量x（t）和
但它们都描述了同一系统。 讨论上述所选的两组状态变量间的内在关系 设
第一节 状态变量的描述
则得， 写成向量矩阵的形式 式中
x2
P为非奇异矩阵，通过非奇异矩阵P的变换，可将
状态变量x1、x2变换为一组新的状态变量 若变换矩阵P为任意的非奇异矩阵，则可变换出无数多 组状态变量和相应的动态方程，从而进一步说明了状态变
1s 2 2 s 3
零状态响应
零输入响应
基于零输入响应中s2、s、s0的系数都是初始条件 的线性组合，由此可以 选择这些项的系数作为状态变量，即令
第二节 传递函数与动态方程的关系
对上述方程组的最后一式求导，并等号两侧加
a3 x3 3u
于是，得
能观标准形
第二节 传递函数与动态方程的关系
第二节 传递函数与动态方程的关系
（2）传递函数有零点 传递函数有零点时，对应的微分方程就含有u(t)的导数 项，此时线性定常系统传递函数可分解为两个组成部分，并 引入中间变量x。
sn
第二节 传递函数与动态方程的关系
由图可得：
其中 ① ② 由于 ① 式没有零点，因而其状态方程为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
对角标准型实现的状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-4 已知一系统的传递函数为
试求对角标准型实现 解：传递函数的极点为
s→1
C3 lim s 3W s 3
时， x
t 和 vt
系统具有记忆功能 结论：已知系统的初始状态和
t t0
时刻的输入，
就能唯一地确定系统未来的状态
第一节 状态变量的描述
状态变量的定义： 动力学系统的状态是表征系统全部行为的一组相互
独立的变量，组成这个变量组的元素称为状态变量。 3、状态向量的定义：
以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。 令： 则
它表示系统的输出由两部分所组成：一部分是状态 变量的线性组合；另一部分是输入的直接传输。把上式 写成向量矩阵式为
y(t ) Cx(t) du(t )
C为系统的输出矩阵，对于单输出系统，C为1*n型行向量; D为入直接影响输出的传输系数。
第一节 状态变量的描述
3、单输入单输出系统的状态空间表达式
-
其中
d b0
，
1、能控标准型实现 （1）传递函数无零点
对应的微分方程为：
-
令
则上述微分方程可改写为下列微分方程组
第二节 传递函数与动态方程的关系
系统是输出为：
把上述方程用向量矩阵形式表示为：
式中
第二节 传递函数与动态方程的关系
矩阵A：对角线上方的一个元素都为1，最后一行元素是
由原微分方程系数的负值构成，其余元素为0。 矩阵b：除最后一个元素不为0外，其余元素均为0。 能控标准型：矩阵A和b组成的状态方程称为能控标准形。
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数
学表达式称为状态方程
第一节 状态变量的描述
二、状态空间表达式 n阶系统应有n个独立的状态变量，对应的状态方程是 n个联立的一阶微分方程。 设单输入线性定常系统的状态变量为
x1 t , x2 t ,, xn t
则其一般形式的状态方程为
1 t a11 x1 t a12 x2 t a1n xn t b1u t x 2 t a21 x1 t a22 x2 t a2 n xn t b2u t x n t an1 x1 t an 2 x2 t ann xn t bnu t x