第9章 状态空间分析法

第一节 状态变量的描述
一、一般概念
1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。 表征系统运动的信息。 2、状态变量： 由于 xt0 和
vt0 表征系统在 t t0
时刻的状态，
故称它们为初始状态变量。
第一节 状态变量的描述
已知
vt0
xt0
f t
计算出任意
t t0
输出方程为：
写成向量矩阵的形式：
第二节 传递函数与动态方程的关系
d
传递函数有零点的状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
2、能观标准形实现 某三阶系统传递函数为：
由于 因此只要分析
是实现的直接传递部分 部分的实现即可。
其微分方程为：
对其在非零初始条件下取拉氏变换，求得
第二节 传递函数与动态方程的关系
其数值解，或用计算机对系统进行分析研究。
（5）对于结构和参数已确定的系统，需要研究如何把已建立 的微分方程或传递函数转变为相应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
由动态方程求系统的传递函数
由传递函数列写动态方程
第二节 传递函数与动态方程的关系
一、由动态方程求系统的传递函数 1、单输入—单输出系统 设单输入—单输出线性定常系统的动态方程为
根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递
函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-3 已知一系统的传递函数为
试写出能控标准形的状态空间表达式。 解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的 状态空间表达式为：
x为n×1型状态向量 A为n×n矩阵
b为n×1型列向量 C为1×n型行向量
y（t）和u（t）为标量 d为直接传输系数
对上式取拉氏变换，得
第二节 传递函数与动态方程的关系
传递函数是在零初始条件下定义的，因此 x0 0 求得 系统的传递函数为： 2、多输入—多输出系统
C为m×n型矩阵
B为n×r型矩阵
Y1 s 1 2 1 0 a1 y1 0 { y 0 s [y 1 3 2 3 2 s a1s a2 s a3 s a1s a2 s a3 1 0 a1 y 1 0 a2 y1 0 1u 0 2u0]} 1u0]s [ y U s
1s 2 2 s 3
零状态响应
零输入响应
基于零输入响应中s2、s、s0的系数都是初始条件 的线性组合，由此可以 选择这些项的系数作为状态变量，即令
第二节 传递函数与动态方程的关系
对上述方程组的最后一式求导，并等号两侧加
a3 x3 3u
于是，得
能观标准形
第二节 传递函数与动态方程的关系
i
或写作
第二节 传递函数与动态方程的关系
上述状态方程的状态变量描述有如下特点： （1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素
全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。
（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量， 它的元素为W(s)极点的留数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
第一节 状态变量的描述
1、单输入单输出系统的状态方程 把上述方程组写成向量矩阵形式为：
t Axt but x
式中
1 x1 x x x 2 2 x , x n xn x a11 a12 a1n b1 a b a a 22 2n A 21 ,b 2 a a a n2 nn n1 bn
其中
D为m×r型矩阵
m×r
Wij s 为第i个输出与第j个输入间的传递函数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
求系统的传递函数。 例9-2 已知系统的动态方程式如下，
解：
-
=
-
第二节 传递函数与动态方程的关系
二、由传递函数列写动态方程 设线性定常系统微分方程的一般形式为：
y为系统的输出量，u为系统的输入量，初始条件为零， 对上式取拉氏变换，得系统的传递函数为： -
-
其中
d b0
，
1、能控标准型实现 （1）传递函数无零点
对应的微分方程为：
-
令
则上述微分方程可改写为下列微分方程组
第二节 传递函数与动态方程的关系
系统是输出为：
把上述方程用向量矩阵形式表示为：
式中
第二节 传递函数与动态方程的关系
矩阵A：对角线上方的一个元素都为1，最后一行元素是
由原微分方程系数的负值构成，其余元素为0。 矩阵b：除最后一个元素不为0外，其余元素均为0。 能控标准型：矩阵A和b组成的状态方程称为能控标准形。
x1 t , x2 t ,, xn t 为系统的一组状态变量，
xt x1 t , x2 t ,, xn t 为状态向量
第一节 状态变量的描述
4、状态空间
状态向量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任 一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示。 5.状态方程
对角标准型实现的状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-4 已知一系统的传递函数为
试求对角标准型实现 解：传递函数的极点为
s→1
C3 lim s 3W s 3
A为系统的系数矩阵
b为输入矩阵(控制矩阵）
第一节 状态变量的描述
2、单输入单输出系统的输出方程 系统的输出量与状态变量、输入变量间的数学表达
式称为输出方程。 单输出线性定常系统输出方程的一般形式可表示为
yt C1x1 t C2 x2 t Cn xn t dut
第二节 传递函数与动态方程的关系
3、对角标准型实现
当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为 对角标准型实现。 设系统的传递函数为：
令 则上式变为
第二节 传递函数与动态方程的关系
式中： 则 令
Ci lims i W s
s i
则得
i
i
i
对上式取拉氏变换
第二节 传递函数与动态方程的关系
输入u（t）唯一确定。
终上所述，用状态变量描述系统具有如下的特点：
（1）系统的状态变量描述是系统输入、状态、输出诸变量间
的时域描述。 （2）输入引起系统内部状态的变化是一个动态过程，在数学 上用向量微分方程描述。输出方程是一个代数方程。 （3）一个系统的状态变量选择不是唯一的，一个n阶系统， 只能有n个状态变量，不能多也不能少。 （4）由于状态方程是一阶微分方程组，因而适用于计算机求
时， x
பைடு நூலகம்
t 和 vt
系统具有记忆功能 结论：已知系统的初始状态和
t t0
时刻的输入，
就能唯一地确定系统未来的状态
第一节 状态变量的描述
状态变量的定义： 动力学系统的状态是表征系统全部行为的一组相互
独立的变量，组成这个变量组的元素称为状态变量。 3、状态向量的定义：
以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。 令： 则
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数
学表达式称为状态方程
第一节 状态变量的描述
二、状态空间表达式 n阶系统应有n个独立的状态变量，对应的状态方程是 n个联立的一阶微分方程。 设单输入线性定常系统的状态变量为
x1 t , x2 t ,, xn t
则其一般形式的状态方程为
1 t a11 x1 t a12 x2 t a1n xn t b1u t x 2 t a21 x1 t a22 x2 t a2 n xn t b2u t x n t an1 x1 t an 2 x2 t ann xn t bnu t x
第一节 状态变量的描述
状态、状态变量
状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
xt
vt
m
f t
dvt 1 f t dt m 1 t vt vt0 f d m t0 dxt vt dt
t 1 t xt xt0 t t0 vt0 d f d m t0 t0
第二节 传递函数与动态方程的关系
（2）传递函数有零点 传递函数有零点时，对应的微分方程就含有u(t)的导数 项，此时线性定常系统传递函数可分解为两个组成部分，并 引入中间变量x。
sn
第二节 传递函数与动态方程的关系
由图可得：
其中 ① ② 由于 ① 式没有零点，因而其状态方程为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
它表示系统的输出由两部分所组成：一部分是状态 变量的线性组合；另一部分是输入的直接传输。把上式 写成向量矩阵式为
y(t ) Cx(t) du(t )
C为系统的输出矩阵，对于单输出系统，C为1*n型行向量; D为入直接影响输出的传输系数。
第一节 状态变量的描述
3、单输入单输出系统的状态空间表达式
则上式可改写为：
（1）设状态变量 1 x1 uc idt , x2 i C
第一节 状态变量的描述
表示成向量矩阵形式为：
输出方程为： （2）设状态变量 则 式可改写为：
输出方程为：
第一节 状态变量的描述
把上述方程改写为向量矩阵形式为：
由此可知，系统状态变量的选择不是唯一的。显然，
对应于不同的状态变量选择，所得到的动态方程也是不相同，
量选择的非唯一性。为了应用上的方便，通常总优先考虑
那些能被量测的物理量为状态变量。
第一节 状态变量的描述
系统状态量的选择虽不是唯一的，但选择一组状态 变量也是有条件。它必须具备下述的性质：
（1）在t时刻的状态向量x（t）是初始状态向量 xt0 和t t0
时的输入u（t）唯一确定。
（2）在t时刻的输出y（t）是由该时刻的状态向量x（t）和
第九章 状态空间分析法
教学目的：了解状态变量、状态空间描述、 能观性、能控性、状态观测器 教学重点：线性定常系统的能控性、能观性 教学难点：状态观测器及其应用
授课学时：8
第9章 状态空间分析法

根轨迹法 频率法
以传递函数或频率特性的形式来描述 控制系统的。
操作简单 优点： 概念清晰 分析与计算不复杂 缺点： （1）传递函数只描述输入与输出的关系，不描述系统内部信息；
状态方程与输出方程合在一起称为系统状态空间表达式，
又称系统的动态方程。 4、状态模型图
单入单出系统的状态图
第一节 状态变量的描述
5、多输入、多输出线性定常系统的状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
多输入、多输出惯性系统的状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
例9-1 已知一RLC电路如图9-4所示，ur和uc分别为电路 的输入与输出量。试选择两组状态变量，写出它们对应 的动态方程式。 解：由基尔霍夫定律得：
上式能观标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
若传递函数为
写成其能观标准形动态方程为
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准型和能观标准型关系： 能控标准型的系数矩阵A与能观标准型的系数矩阵A 互为转置；能控标准型的输入矩阵b是能够标准型输出矩 阵C的转置，而能控标准型的输出矩阵C又是能观标准型 输入矩阵b的转置
（2）传递函数只适用于零初始条件下的单输入-单输出定常系统； （3）试凑法-不具有最优性能。
第9章 状态空间分析法

9.1 状态变量描述 9.2 传递函数与动态方程的关系 9.3 线性定常连续系统状态方程的解 9.4 线性定常离散系统的动态方程式 9.5 线性定常系统的能控性 9.6 线性定常系统的能观性 9.7 对偶性原理 9.8 状态观测器及其应用 9.9 李雅铺诺夫第二方法
但它们都描述了同一系统。 讨论上述所选的两组状态变量间的内在关系 设
第一节 状态变量的描述
则得， 写成向量矩阵的形式 式中
x2
P为非奇异矩阵，通过非奇异矩阵P的变换，可将
状态变量x1、x2变换为一组新的状态变量 若变换矩阵P为任意的非奇异矩阵，则可变换出无数多 组状态变量和相应的动态方程，从而进一步说明了状态变