状态空间分析法的特点及其应用

状态空间法分析及其应用的特点摘要基于为寻求便于分析系统的性能的相应状态变量以及探究状态空间变量线性变换对系统性能的影响，来阐述状态空间分析法的特点。

通过应用状态空间法到绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构进行数值模拟分析中来进一步阐述其特点，将结构控制理论中的结构状态空间法应用到该复合支座隔震结构的数值模拟分析中。

建立了普通框架、安装叠层橡胶支座和安装绞线一叠层橡胶复合支座框架的结构状态方程，应用MATLAB/SIMULINK工具箱建立结构仿真模型，得出不同条件下框架结构的时程反应曲线。

通过对比分析可以看出绞线一叠层橡胶复合支座能很好地改变结构的隔震效果，应用状态空间法进行绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构的数值模拟分析简单准确。

关键词：系统、传递函数、线性变换、状态空间变量一、引言状态空间分析从实质上说并不是什么新颖的东西，其关键思想起源予19世纪到拉格朗日、哈密顿等人在研究经典力学时提出的广义坐标与变分法。

当然，由高斯等人奠定的古典概率、估计理论以及线性代数等也具有同样的重要性。

上世纪40年代以来，布利斯、庞德里亚金和别尔曼关于极大值原理，卡尔曼、布西与巴丁等人提出的卡尔曼滤波理论，以及许许多多的学者完成的并不具有里程碑意义的研究成果，积累起来却对算法及分析结果产生了决定性意义的贡献。

这些便是状态空间方法发展的历史概况。

状态空间分析是对线性代数、微分方程、数值方法、变分法、随机过程以及控制理论等应用数学各学科的综台。

对动态系统的性能分析，特别是对扰动的响应、稳定性的特性、估计与误差分析以及对控制律的设计及性能评估，这些便构成状态空间分析的内容。

这主要表现在利用向量、矩阵等一整套数学符合，把大量资料加以整理与综合，形成了观念上统一的体系——60年代中期之后出现了现代控制理论。

状态空间分析随着动力学与控制问题维数的增加(其中包括坐标、敏感器、执行机构以及其它装置的数量)而越发显得重要。

另一方面亦由于计算机软件的不断完善，特别在可靠性及用户接口方面的改善与进展，使得计算工作比以前任何时候都易于进行，使状态空间分析越发显得有生命力。

它具有的特性使得在设计控制系统时，不在只局限于输入量、输出量和误差量，为提高系统性能提供了有力的工具，加之可以利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。

二、状态空间分析法状态空间模型描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。

每一变量都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量也称为状态变量。

系统运动状态是由一组独立（或数目最少）状态变量确定的。

这一组独立状态变量的个数就表示系统的维数。

一个由n 阶微分方程描述的系统，就有n 个独立的状态变量。

或者说这n 个状态变量是完全能描述系统运动状态必需的。

若变量数目多于n ，则必有变量不独立；若变量少于n ，则不能完全描述系统的运动状态。

状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的，一般选取易于测量的变量。

由这些变量组成描述系统的式子为状态变量表达式，由以下组成： 1）状态方程状态方程式是描述状态量与输入量之间的关系的一阶微分方程组（连续的时间系统）或一阶差分方程（离散时间系统）。

系统的状态方程表征了系统有输入引起的内部状态变化的规律。

连续系统的状态方程的一般形式表示为： ]),(),([)(t t u t x f t x =•=AX+BU;x(t)—连续时间系统的n 维状态变量； u(t)—连续时间系统的r 为输入矢量； A —系统内部状态的联系即系统矩阵； B —系统的输入矩阵；2）输出方程输出方程描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间的关系的代数方程，其一般表达方式如下：y(t)=g[t t u t x ),(),(]=CX+DU;C —系统的输出矩阵；D —系统的直接传输矩阵；2.1 建立状态空间的表达式对于实际的工况可以建立其物理的模型，然后建立相应的微分方程利用状态空间实现的方法将系统相应的状态表达式写出。

将描述系统输入/输出关系的微分方程或传递函数转换成状态空间表达式，这样的问题称为状态空间表达式的实现问题。

所求得的状态空间表达式既能保持原传递函数所确定的输入输出的关系，又将系统内部关系揭示出来,揭示系统所有状态的运动。

常用的实现的问题方法：① 传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下，系统的微分方程为：u b y a y a y a y n n n 00)1(1)1(1)(=++++--相应的系统传递函数为: 01110)(a s a s a s b s G n n n ++++=--由此可的出其相应的状态空间表达式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••••••-x x n n x x 121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121010001000010n a a a a⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••-n n x x x x 121+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••1000u ； x •= A X + b u ；y =[]0000•••b X②传递函数中有零点时的实现 当系统的微分方程如下：u b u b u b y a y a y a y m m n n n 0)1(1)(0)1(1)1(1)(+++=++++--其实现为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••••••-x x n n x x 121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121010001000010n a a a a⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••-n n x x x x 121+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••1000u ； x •= A X + bu ；y =()()()[]n n n n n b a b b a b b a b 111100---•••--X +u b n2.2状态空间分析法特点1、状态变量对于一个给定的定常系统，可以选取许多种变量状态，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，但有些变量的选取不便于对系统的研究，因此将它转化为标准的约旦矩阵或友矩阵，这样有利于对系统的特性的研究。

设给定的系统为：DuCx y x x Bu Ax x +==+=•0)0(;；取一个非奇异的矩阵T 使x=Tz ；此时获得一个新的状态空间表达式：DuCTz y x T z Bu T ATz T z +==+=---•)0()0(;111； 对于系统的坐标的变换一定不改变系统的特征值，对系统的传递函数也没有影响。

当系统的)(1约旦矩阵J AT T =-此时系统的矩阵转化为约当标准型。

当系统矩阵的特征值有重根时，化为标准型时，由约旦矩阵可以发现状态变量存在耦合的现象，这不便对系统的研究。

任何系统的状态变量都不是唯一的，可以经过一个非奇异的线性变换获得有利于研究系统的状态变量。

任意的系统矩阵都能与一个约旦矩阵或对角阵相似，若其与约旦矩阵相似，则它的状态变量之间必存在耦合的现象。

2、系统的解耦每一个输入都受着每一个输入的控制，这种输入和输出之间存在相互耦合的关系称作耦合系统。

对于一个耦合的系统会给控制带来很大的麻烦，因此通过状态空间分析法可以对系统实现解耦，进而实现一个输出仅受相应的一个输入的控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出。

实现解耦后系统的传递函数矩阵就化为如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=~11~11~11~)(00)()()(s G s G s G s G 通常的解耦方法有：前馈补偿器解耦、状态反馈解耦。

解耦系统主要特征是传递函数矩阵为对角矩阵为对角线矩阵，其必要条件是系统的输入与输出数目是一致。

使用状态空间分析法来对复杂系统的解耦，是基于传递函数研究输入与输出的关系，不直接涉及到内部状态变量，状态变量的选取以及它的线性变换对系统的解耦没有直接的影响。

对于一些多输入多输出的复杂系统，将其转化为解耦系统，这样可以方便对系统的输出的控制，使得每一个输入以输出的关系都是一一对应。

3、能控性和能观性状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。

能控性和能观测性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及y(t)对状态x(t)的反映能力。

系统的可控性和可观性是针对内部状态量来说的。

常用判别系统的能控性和可观性的判据如下：①、对于线性定常系统[]∑C B A ,,状态能控的充分必要条件是n ⨯nr 能控矩阵],,[1B A AB B M n -•••=的秩为n 。

②、对于线性定常系统[]∑C B A ,,状态能控的充分必要条件是mn ⨯n 能控矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=-1n CA CA C N 的秩为n 。

当一个系统经过状态变量经过非奇异变换后，系统的能观性和能控性不会随之发生变化：原系统为[]∑x C B A 其状态变量为,,；非奇异变换z=Tx,则新系统为[]∑--CT B T AT T,,11=[]∑111,,C B A ，对于新系统的能控性和能观性的判断如下： 对于新系统的11B A =B ATT T 11--AB T 1-=,11A C =CAT AT CTT =-1;An1=T A T AT T AT ATT T n 1111----=•••所以：1M =[][][]B A AB B T B A T AB T B T B A B A B n n i n 11111111111,,,,,,,,,-------•••=•••=•••显然新系统的能控性判别矩阵是由原系统的能控性判别矩阵经过初等变换得到的，则)()(1M rank M rank =，T CA CA C T CA CAT CT A C A C C N n n n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=---111111111；显然新系统的能观性的判别矩阵是由原系统的能观性判别矩阵经过初等变换得到的，则)()(1N rank N rank =总之对于一个控制系统的研究，可以将状态空间变量进行非奇异变换转换成更方便对系统性能研究的变量和系统矩阵，系统能观性和能控性不受任何影响。

能观性与能控性的研究可以了解系统状态变量与输入或输出的关系，与经典控制理论相比，利用它来分析可以来分析内部一些变量的结构，因此便于更深入的去研究一个复杂的系统。

4、系统的稳定性在经典控制理论中常对系统的稳定性研究仅仅是针对系统的外部稳定，它是基于传递函数的输出在输入的基础上的稳定性，但不能对系统的内部各结构稳定与否。