状态空间分解法计算公式分析

同批工件间同时到达的耦合关系？

工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2;

基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二：

两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大 节点四：

实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。

平均在制品数量：

()()()()

()121112223331122334444444441112123

,,,01

01

11

11C

4,,201

1

WIP=;

N N C

S w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w P

w P N +======+===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑∑

∑∑

第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数

（N4+1）

状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。实际上概率路径之和一定=1

1

i b =-0

i b =1

i b =2

i b =

B2

B4

节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程

右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态

右边VP3load （0）=VP2(0)，节点2空闲

节点S3(1,1)-与S(i ，1)的状态平衡方程不一样，所以要分开写: 首先不是0个，并且只是1个，所以概率累乘；一出两进 如果运输2个或以上，则不可能经过状态S3(0,-1) C-1出C-1进

上述两式合并？1<=i<=C 节点三2C+2个方程 V ，u4已知 需要求P

式中，()333,S w b P 为系统稳态后，节点三处于状态 ()33,w b 的概率；

V 为小车从B2到B4的运载速率，同时也是B4到B2的空车返回速率；

λ2*为B2的到达速率()

()

1*

21121P0PV 1PB μλ⨯---=

；

P01,PV1分别表示W1处于空闲与阻塞的概率

而此时B2不可能处于堵塞状态，所以分母为1-阻塞的概率 μ4*为W4的加工速率*

4

4μμ=；

(3,4)(,)i i PB w w k -为当小车将i w 个工件运达B4时，B4的剩余空间为k 的概率。

小车在B2、B4间来回移动，是一个再生过程。在每个循环中，依次经历

(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =1）、B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2）、空车返回()

30,0S （b i =0）、B2停留()30,1S -（b i =-1）四个阶段。通过上文中节点平衡方程可以求出：当系

统稳态时，小车处于各状态的概率()3,1,0,1,2i i

S b P b =-。又根据模型假设知，运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤与空车返回()30,0S 的速率均为V ，即每个循环中处于此两类状态

的平均时间为011

T T V

==

。根据更新过程相关定理我们可以得到当系统稳态后，小车每个循环中在B2、B4处平均等待时间为：()

()

3301,1,2S i i S P T i V P =⨯

=-。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------

节点2：状态空间2S 总共有223N ⨯+个状态，根据图5（b ）本文可以建立状态空间S 2的状态平衡方程：

(N2,0)只可能变为（N2-C ，1），有工件的情况下，满载运输，因此从N2+1-C 到N2-1均只有一个输入）

右侧

()()()222222*

12,0,11,0;

S N S N S N P V P DA P λ-⨯=⨯+⨯左侧只有一个出

223

N ⨯+个方程

V 已知

式中，()222,S w b P 为系统稳态后，节点二处于状态 ()22,w b 的概率； *

2λ

为节点的到达速率

()

()

1*21121P0PV 1PB μλ⨯---=

；

V 为小车从B4到B2的运载速率；

DA 1为小车从B2到B4的运载速率， DA 1包括小车状态中的运输

(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =1）与B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2），由上文可知DA 1

的表达式：

式中，V 为小车将工件从B2运送到B4的运输速度与小车从B4空车返回B2的返回速度；

()

3i S b P 为系统稳态时，小车处于运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =0）与B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2）的概率。

节点4：状态空间4S 总共有424N C ⨯++个状态，根据图6（b ）本文可以建立状态空间S 4的状态平衡方程：

()()()444*

420,11,10,0;S S S P V P P DA μ⨯=⨯+⨯左侧有多个概率路径，但是和为1，因此省略掉

()()()4444*42,1,0;

S w S w P V P DA μ⨯+=⨯该公式W4=N4+1

()()()()4444441

*

*

4

23444,0,11,00

(),1;

w unload S w S i S w i P DA P VP w i P w C μμ-+=⨯+=⨯-+⨯≤≤∑？

()()()()44444441**

4

234444,0,11,0(),1;

w unload S w S i S w i w C

P DA P VP w i P C w N μμ-+=-⨯+=

⨯-+⨯+≤≤∑

？

()()()444444441**

4

34444,2,11,21(1+),11;

N unload S w S i S w i N w C

P P VP N w i P w C μμ++=++-⨯=

⨯+-+⨯≤≤-∑

？