状态空间分解法计算公式分析
由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
现代控制理论-3传递函数和状态空间模型间的转换
= 4 ⋅ 1 ⋅s+2 s +1 s +3 s + 4
G(s) = 4 ⋅ 1 ⋅ s + 2 s +1 s +3 s + 4
以下三个环节的串联
u
4
y1
1
y2
s+2 y
s +1
s+3
s+4
x1 = −x1 + 4u
y1
=
x1
xy 22
= −3x2 = x2
+
u2
x3 = −4x3 + u3
现代控制理论
Modern Control Theory (3)
俞立
浙江工业大学 信息工程学院
传递函数和状态空间模型间的转换
分解法建立复杂系统的状态空间模型 串联、并联、反馈关联
串联法：
G(s) =
4s + 8
s 3 + 8s 2 + 19s + 12
分解成
G(s) =
4(s + 2)
(s + 1)(s + 3)(s + 4)
例：求传递函数矩阵，其中状态空间模型的系数矩阵：
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
难点：求逆矩阵 (sI − A)−1
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
根据求逆矩阵的定义 (sI − A)−1 = adj(sI − A)
(sI − A) X (s) = BU (s)
X (s) = (sI − A)−1 BU (s)
状态空间的分解
基于状态空间模型，可以设计各种控制策略，如 线性二次调节器（LQR）、最优控制等，以实现 系统的最优控制。
控制系统仿真
通过状态空间模型，可以对控制系统进行仿真， 模拟系统的动态行为，评估控制策略的有效性和 性能。
在信号处理中的应用
信号滤波
状态空间方法可以用于信号滤波， 通过构建状态空间模型来描述信 号的动态变化，实现信号的平滑 和噪声抑制。
状态空间的分解
contents
目录
• 状态空间的基本概念 • 线性系统的状态空间表示 • 状态空间的分解方法 • 状态空间的应用 • 状态空间分解的实例分析
01
状态空间的基本概念
状态变量的定义
状态变量
01
描述系统状态的变量，通常用矢量表示，包含系统的各个独立
变量。
状态变量的选择
02
选择的状态变量应能全面反映系统的动态特性，且便于分析。
线性系统的状态方程
状态方程描述了系统内部状态变 量随时间的变化规律，通常表示 为状态变量的一阶或二阶微分方
程。
对于线性系统，状态方程具有形 式：dx/dt = Ax + Bu，其中x 是状态变量，u是输入，A和B是
系统矩阵。
解状态方程可以得到系统状态变 量的时间响应。
线性系统的输出方程
输出方程描述了系统输出与状态变量和输入之间的关系，通常表示为输出变量与状 态变量的线性组合。
总结词
高阶线性系统的状态空间表示能够精细 地描述系统的动态行为。
VS
详细描述
高阶线性系统是指系统的动态行为需要用 高阶微分方程来描述的系统。其状态空间 表示与一阶和二阶系统类似，但需要更多 的状态变量和方程来描述系统的动态行为 。通过高阶线性系统的状态空间表示，可 以更精确地分析系统的动态性能和稳定性 ，以及设计更有效的控制系统。
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式传递函数是描述线性系统的重要工具，但有时我们需要将其转换为状态空间表示以便于分析和实现。
本文将介绍已知传递函数如何求解状态空间表达式的方法。
首先，我们将传递函数表示为分子多项式$N(s)$除以分母多项式$D(s)$的形式：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)}$$接下来，我们可以使用部分分式分解将传递函数拆分为若干个一阶系统的和：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)} = frac{K_1}{s-a_1} +frac{K_2}{s-a_2} + cdots + frac{K_n}{s-a_n}$$其中，$a_1, a_2, cdots, a_n$ 是传递函数的极点，$K_1, K_2, cdots, K_n$ 是对应的系数。
接着，我们可以将每个一阶系统表示为状态空间形式：$$begin{aligned} dot{x}_i &= a_ix_i + b_iu y_i &= c_ix_i + d_iu end{aligned}$$其中，$x_i$ 是系统的状态向量，$u$ 是输入信号，$y_i$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 是系统的系数。
注意，每个一阶系统的状态向量可能不同，因此需要为每个系统定义不同的状态向量。
最后，将每个一阶系统的状态空间表达式相加即可得到整个系统的状态空间表示：$$begin{aligned} dot{x} &= begin{bmatrix} dot{x}_1dot{x}_2 vdots dot{x}_n end{bmatrix} = begin{bmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 0 & a_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_n end{bmatrix} + begin{bmatrix} b_1 b_2 vdots b_nend{bmatrix} u y &= begin{bmatrix} c_1 & 0 & cdots & 0 0 & c_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_nend{bmatrix} + d_1u end{aligned}$$其中，$dot{x}$ 是整个系统的状态向量，$y$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 在矩阵中的位置与之前相同。
状态空间分析法(1-4)
根据牛顿第二定律:
xi
mx0 = ky + μ y
将 x0 = xi- y代入:
mxi = ky + μ y + my 令: x1 = y
xi :壳体相对于惯性空间的位移; x0 :质量m相对于惯性空间的位移; y = xi - x0 为质量m相对于壳体的位移.
串联实现……
当z1-zm为G(s)的m个零点， p1-pn 为G(s)的 n个极点，那么G(s)可以表示为：
对于其中的模块可做如下变换：
一阶系统
(m=n-1)
根据前节所述方法，令各个积分器的输出为系统状态变量， 则得系统动态方程为:
矢 量 形 式
串联实现例子:
传递函数的并联实现(无重根)
当Den(s)=0有n个不等的特征根（p1-pn）时， G(s)可以分解为n个分式之和，即：
K
+
1 - s
M
Ex2: 二阶环节的等效变换
1 s 2 + Ms + N
1 s 2 + Ms 1 1+ 2 N s + Ms
+
1 2 - s + Ms
N
1 s 2 + Ms
1 s( s + M )
1 1 i s s+M
Ex3: 求下列方块图的动态方程
Ex3: 续
系统的动态方程为:
Ex4: 求下列方块图的动态方程
T =Jθ + μθ
Ex2:电枢控制式电机(续1)
令三个状态变量为:
x1 = i x2 = θ x3 = θ
系统输出为
y = x2 = θ
状态空间表达式的解
第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==的解为0()Atx t e x = (0)t > 式中，22()2!!kAt k tAt e I At A k ∞∆==+++=∑ 证明：用拉普拉斯变换法。
对 x A x = 作拉氏变换，得0()()s X s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=故 1223111()sI A I A A s s s --=+++12023111()[]x t L I A A x s s s-=+++ 2201()2!I At A t x =+++0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质（1）定义22()2!!kAtk tAt e I At A k ∞==+++=∑ 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。
若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。
（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e+=其中21,t t 为相衔接的两时间段。
推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt eee )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAP P 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。
马尔可夫链状态空间的分解
马尔可夫链状态空间的分解一、实验内容生成一个状态个数大于100的马尔可夫链，状态之间的转移关系随机设定（例如某状态可以一步到达其他状态的比例为10%）1）将状态空间按常返性和互通性进行分解2）在1）的基础上对周期不可约马尔可夫链进行分解二、理论基础设C 为状态空间I 的非空子集，若对任意C i ∈及C k ∉都有0=ik p ，则称C 为（随机）闭集，若C 中所有状态是互通的，称C 是不可约的闭集。
若马尔可夫链}{n X 的状态空间I 是不可约的闭集，则称}{n X 为不可约的马尔可夫链。
1. 按常返性和互通性进行状态空间的分解任一马尔可夫链的状态空间I ，可唯一地分解成有限个或可列个不相交的 集D ，C 1，C 2，……之和，使得1）每一C n ，n=1，2，…是常返态组成的不可约闭集；2）C n ，n=1，2，…中的状态同类，即或全是正常返，或全是零常返，它们有相同的周期，且1=ik f ,n C k j ∈,;3）D 是由全体非常返状态组成，自C n 中的状态不能到达D 中的状态。
2. 按对周期不可约马尔可夫链进行分解周期为d 的不可约马氏链，其状态空间C 可唯一地分解为d 个互不相交的子集之和，即s r G G G C s r r d r ≠Φ=⋂⋃=-=,,1且使自G r 中任一状态出发，经一步必转移进入G r+1中（其中G d =G 0）。
三、具体步骤1. 按常返性和互通性进行状态空间的分解1）生成马尔可夫链的转移矩阵P ，即生成100*100的随机矩阵，行向量元素之和为1；2）筛选出吸收态，即为单点闭集，存储在C1中的行向量中；3）筛选出各状态所有的可能路径，路径不重复，每一条路径只返回第一个状态，不返回中间状态，存储在T1中；4）从T1中提取可能的常返闭集，（不包括单点闭集），即在T1的路径中筛选出首尾相同状态的路径，存储在T2中；5）从T2中筛选出真正的常返闭集，自该闭集的内部不能到达它的外部，存储在Cn的行向量中；6）根据C1和Cn，去掉状态空间所有的常返态，即为全体非常返态，存储在D中。
状态空间法求解6自由度运动方程
一、概述状态空间法是一种经典的控制工程方法，它可以用来求解动力学系统的运动方程。
对于多自由度系统而言，状态空间法可以更加直观地描述系统的运动规律，方便进行控制器设计和系统分析。
本文将以6自由度运动方程为例，介绍状态空间法的求解过程。
二、背景知识1. 6自由度运动6自由度运动是指物体在三维空间中具有6个独立的自由度，它们可以分别描述物体的位置和姿态。
这种运动状态下，物体的运动方程相对复杂，需要通过合适的方法进行求解。
2. 状态空间法状态空间法是一种用矩阵和向量表示动力学系统运动方程的方法。
它将系统的状态量表示为向量，将系统的输入和输出表示为矩阵，通过线性代数的方法求解系统的数学模型。
三、状态空间法求解步骤1. 系统建模我们需要根据物体的运动特性建立系统的动力学模型。
对于6自由度运动，可以利用牛顿-欧拉方程或拉格朗日方程进行建模，得到系统的运动方程。
2. 状态量定义将系统的状态量表示为一个状态向量，其中包括物体的位置、速度、加速度和姿态等信息。
3. 定义输入输出系统的输入输出可以表示为矩阵，其中输入是外部施加的力或扭矩，输出是系统的位置和姿态信息。
4. 构建状态方程根据系统的动力学模型和状态量定义，可以建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统状态的演变规律，可以用矩阵形式表示为x' = Ax + Bu，其中x'为状态变化率，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，u为外部输入。
5. 构建输出方程根据系统的输出定义，可以建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出与状态和输入之间的关系，可以用矩阵形式表示为y = Cx + Du，其中y为系统的输出，C为输出矩阵，D为直接传递矩阵。
6. 求解系统通过线性代数的方法，可以求解状态方程和输出方程，得到系统的数学模型。
这个模型可以用来进行系统分析、控制器设计等工作。
四、实例分析我们以一个飞行器的姿态控制系统为例，介绍状态空间法求解6自由度运动方程的具体步骤。
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同批工件间同时到达的耦合关系？
工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2;
基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二：
两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。
因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大 节点四：
实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。
平均在制品数量：
()()()()
()121112223331122334444444441112123
,,,01
01
11
11C
4,,201
1
WIP=;
N N C
S w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w P
w P N +======+===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑∑
∑∑
第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数
（N4+1）
状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。
实际上概率路径之和一定=1
1
i b =-0
i b =1
i b =2
i b =
B2
B4
节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程
右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态
右边VP3load （0）=VP2(0)，节点2空闲
节点S3(1,1)-与S(i ，1)的状态平衡方程不一样，所以要分开写: 首先不是0个，并且只是1个，所以概率累乘；一出两进 如果运输2个或以上，则不可能经过状态S3(0,-1) C-1出C-1进
上述两式合并？1<=i<=C 节点三2C+2个方程 V ，u4已知 需要求P
式中，()333,S w b P 为系统稳态后，节点三处于状态 ()33,w b 的概率；
V 为小车从B2到B4的运载速率，同时也是B4到B2的空车返回速率；
λ2*为B2的到达速率()
()
1*
21121P0PV 1PB μλ⨯---=
；
P01,PV1分别表示W1处于空闲与阻塞的概率
而此时B2不可能处于堵塞状态，所以分母为1-阻塞的概率 μ4*为W4的加工速率*
4
4μμ=；
(3,4)(,)i i PB w w k -为当小车将i w 个工件运达B4时，B4的剩余空间为k 的概率。
小车在B2、B4间来回移动，是一个再生过程。
在每个循环中，依次经历
(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =1）、B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2）、空车返回()
30,0S （b i =0）、B2停留()30,1S -（b i =-1）四个阶段。
通过上文中节点平衡方程可以求出：当系
统稳态时，小车处于各状态的概率()3,1,0,1,2i i
S b P b =-。
又根据模型假设知，运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤与空车返回()30,0S 的速率均为V ，即每个循环中处于此两类状态
的平均时间为011
T T V
==。
根据更新过程相关定理我们可以得到当系统稳态后，小车每个循环中在B2、B4处平均等待时间为：()
()
3301,1,2S i i S P T i V P =⨯
=-。
----------------------------------------------------------------------------------------------------
节点2：状态空间2S 总共有223N ⨯+个状态，根据图5（b ）本文可以建立状态空间S 2的状态平衡方程：
(N2,0)只可能变为（N2-C ，1），有工件的情况下，满载运输，因此从N2+1-C 到N2-1均只有一个输入）
右侧
()()()222222*
12,0,11,0;
S N S N S N P V P DA P λ-⨯=⨯+⨯左侧只有一个出
223
N ⨯+个方程
V 已知
式中，()222,S w b P 为系统稳态后，节点二处于状态 ()22,w b 的概率； *
2λ
为节点的到达速率
()
()
1*21121P0PV 1PB μλ⨯---=
；
V 为小车从B4到B2的运载速率；
DA 1为小车从B2到B4的运载速率， DA 1包括小车状态中的运输
(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =1）与B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2），由上文可知DA 1
的表达式：
式中，V 为小车将工件从B2运送到B4的运输速度与小车从B4空车返回B2的返回速度；
()
3i S b P 为系统稳态时，小车处于运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =0）与B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2）的概率。
节点4：状态空间4S 总共有424N C ⨯++个状态，根据图6（b ）本文可以建立状态空间S 4的状态平衡方程：
()()()444*
420,11,10,0;S S S P V P P DA μ⨯=⨯+⨯左侧有多个概率路径，但是和为1，因此省略掉
()()()4444*42,1,0;
S w S w P V P DA μ⨯+=⨯该公式W4=N4+1
()()()()4444441
*
*
4
23444,0,11,00
(),1;
w unload S w S i S w i P DA P VP w i P w C μμ-+=⨯+=⨯-+⨯≤≤∑？
()()()()44444441**
4
234444,0,11,0(),1;
w unload S w S i S w i w C
P DA P VP w i P C w N μμ-+=-⨯+=
⨯-+⨯+≤≤∑
？
()()()444444441**
4
34444,2,11,21(1+),11;
N unload S w S i S w i N w C
P P VP N w i P w C μμ++=++-⨯=
⨯+-+⨯≤≤-∑
？
式中，()44,i S w b P 为系统稳态后，节点四处于状态 ()44,w b 的概率；
μ4*为W4的加工速率*
4
4μμ=；
V 为小车从B2到B4的运载速率；
3()unload P i 为小车每次送达工件个数为i 的概率；
DA 2为小车从B4到B2的运载速率， DA 2包括小车状态中的空车返回()
30,0S （b i =0）、B2停留()30,1S -（b i =-1），由上文可知DA 2的表达式：
式中，V 为小车将工件从B2运送到B4的运输速度与小车从B4空车返回B2的返回速度；
()3i S b P 为系统稳态时，小车处于空车返回()30,0S （b i =0）与B2停留()30,1S -（b i =-1）的概率。