第9章-状态空间分析法讲解学习
现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
第9章 状态空间分析法
根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递
函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-3 已知一系统的传递函数为
试写出能控标准形的状态空间表达式。 解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的 状态空间表达式为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
3、对角标准型实现
当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为 对角标准型实现。 设系统的传递函数为：
令 则上式变为
第二节 传递函数与动态方程的关系
式中： 则 令
Ci lims i W s
s i
则得
i
i
i
对上式取拉氏变换
第二节 传递函数与动态方程的关系
i
或写作
第二节 传递函数与动态方程的关系
上述状态方程的状态变量描述有如下特点： （1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素
全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。
（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量， 它的元素为W(s)极点的留数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
其中
D为m×r型矩阵
m×r
Wij s 为第i个输出与第j个输入间的传递函数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
求系统的传递函数。 例9-2 已知系统的动态方程式如下，
解：
-
=
-
第二节 传递函数与动态方程的关系
二、由传递函数列写动态方程 设线性定常系统微分方程的一般形式为：
y为系统的输出量，u为系统的输入量，初始条件为零， 对上式取拉氏变换，得系统的传递函数为： -
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
9章状态空间分析
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学
阻 尼 系 数
b
y(t) u(t )
位移
m y y b ky
令
x1 y
x2 y
动态方程如下
x1 x2
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m
k b 1 x1 x2 u (t ) m m m
y x1
状态空间表达式为：
x 1 x 2
0 1 x 0 1 b u k 1 x m m 2 m
x1 y 1 0 x2
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 1 an 1
0 0 b 0 0
c 1 0 0
例1设
...
y 5y 8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
(可加性), H (u1 ) H (u1 ) (齐次性),则该系统 称为线性的,否则为非线性. 定常性:1)定义: Qa -位移算子
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 y Hu HQau Qa Hu Qa y
u (t ) Qau(t ) u(t )
a0 a1 a2
0
y 1
0
x1 0 x 2 x3
作业
系统微分方程为
...
y 2 y 5 y 18 y 3u
..
状态空间法PPT课件
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
状态空间法ppt课件
contents
目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
第9章 状态空间分析法
例1：设系统用二阶微分方程表示，y ay by u(t)
a、b为常数，u(t)为已知。
方程的解：特征方程 r1≠r2(实根）。
r2+ar+b=0的根为r1、r2，
通解 y(t)=c1er1t+c2er2t+y*，
y(t)即为系统的运动
C1则、yC(2t为)就待唯定一常确数定，。如果已知系统的两个初始条件，
0
ф(t)：状态转移矩阵， ф(t)=eAt
特性：
ф(0)=I; ф(t-τ)=ф(t)ф(τ); Ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0); Ф-1(t)=ф(-t)。
8.3 系统的能控性和能观测性
子式与秩
• 在矩阵中，任取k行和k列，由这些行和列交点上 的k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式， 称为矩阵一个k阶子式。
如t=t0时，y(t)的数值y(t0)、ý(t0)已知，就可求出C1、 C2，y(t)就唯一确定。
因此，对于上述系统，在已知输入u(t)的情况下，只 要在某一初始时刻的t0时的y(t0)、ý(t0)值为已知， 则在t ≥t0时系统的运动情况y(t)就可以确定。
在该系统中，如果仅知道y(t0)或ý(t0)，则只能求出C1、 C2中某一个，就无法唯一确定y(t)。
a0 s n
则
Y (s) (bms(nm) bm1s(nm1) b1s(n1) b0sn )E(s)
U (s) (1 an1s1 a1s(n1) a0sn )E(s)
E(s) U (s) (an1s1 an2s2 a1s(n1) a0sn )E(s)
8.2 连续系统状态方程的解法
d3y dt3
8
d2y dt 2
9
状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合•重点与难点—、基本概念1. 线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示：x y（2） 状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、 传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3） 状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数） 是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性 变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式:对角形、约当形和模式矩阵。
（4） 线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵BuDu（9.1）Ax Cx 结构图、（t ）（即矩阵指数e At ）及其性质:x(k) 1UkT ))Dkk)G(T)u(k)(9.8)i . (0) Iii . (t) A (t) (t)Aiii . (t 1 t 2 ) (t 1 ) ( t 2) (t 2)(t 1)iv. 1(t) ( t) v.[(t)]k(kt)vi. exp(At) exp(Bt) exp[( A B)t] (AB Bvii .exp(P 1APt) P 1exo( At)P (P 非奇异) 求状态转移矩阵 (t)的常用方法:拉氏变换法(t) L[(slA)1]级数展开法At ,", 1 A 2 2 1"k,k e IAt A tA t k!齐次状态方程求解x(t) (t)x(0)非齐次状态方程式(9.1)求解tx(t) (t)x(0)0 (t )Bu( )d(5) 传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系1G(s) C(sl A) 1B D(9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵 G(s)，找一个系统｛代B,C, D ｝使式(9.6) 成立，则将系统｛A, B,C,D ｝称为G(s)的一个实现。
状态空间分析法
·258·第9章 线性系统的状态空间分析与综合例题解析例9-1 对于图9-1所示的质量－弹簧系统，当外力F （t ）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。
如不计摩擦，试：（1）以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，列写系统的运动方程； （2）求从F (s )到y (s )的传递函数； （3）以框图表示上述系统；（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。
图9-1 质量－弹簧系统解：（1）设质量块m 1的位移为z ，根据牛顿定律有zm y z k t F 11)()(=-- 1) 同理对质量块m 2有y m y k y z k 221)(=-- 2) 联立式1）和2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： )(])[(12121121)4(21t F k y k k ym k m k k ym m =++++ 3) (2) 对式3）进行拉氏变换可得212211214211])[()()(k k s m k m k k s m m k s F s Y ++++=4)·259·(3) 对式（1）进行拉氏变换可得 121`11)()()(k s m s F s Y k s Z +=+ 5) 同样处理式2)有21221)()(k k s m k s Z s Y ++=6) 由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。
图9-2 系统结构图（4）设状态变量z x xz x ===211y x xy x ===433 由式1) x m k zx 112-== 11311)(m t F x m k ++ 由式2) 12132214x m kx m k k yx ++-== 因此有)(0010001000000011221221111t F m x m k k m k m k mk x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--= []x y 0100=·260·例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x 1，x 2 ，x 3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.图9-3解： 由结构图可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=-+=-11313221)1()(2)3()2x y sx x x s s x x x s x u （整理可得系统状态空间方程表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+--==132.321.23.132232x y x x x u x x x x x写成矩阵的形式[]x y u x x 001020320032100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=例9-3 设系统微分方程为u u u y y yy 1588147++=+++ 系统初始条件为零，试：（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。
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由于 xt0 和 vt0 表征系统在 t t0 时刻的状态，
故称它们为初始状态变量。
第一节 状态变量的描述
f t 已知 x t 0
计算出任意
t t0 时 ，xt 和 vt
v t0
系统具有记忆功能
结论：已知系统的初始状态和 t t0 时刻的输入，
就能唯一地确定系统未来的状态
式称为输出方程。 单输出线性定常系统输出方程的一般形式可表示为
y t C 1 x 1 t C 2 x 2 t C n x n t d t u
它表示系统的输出由两部分所组成：一部分是状态 变量的线性组合；另一部分是输入的直接传输。把上式 写成向量矩阵式为
y(t)C x(td)(tu )
C为系统的输出矩阵，对于单输出系统，C为1*n型行向量; D为入直接影响输出的传输系数。
第一节 状态变量的描述
3、单输入单输出系统的状态空间表达式 状态方程与输出方程合在一起称为系统状态空间表达式，
又称系统的动态方程。 4、状态模型图
单入单出系统的状态图
第一节 状态变量的描述
5、多输入、多输出线性定常系统的状态空间表达式
第9章-状态空间分析法
第9章 状态空间分析法
9.1 状态变量描述 9.2 传递函数与动态方程的关系 9.3 线性定常连续系统状态方程的解 9.4 线性定常离散系统的动态方程式 9.5 线性定常系统的能控性 9.6 线性定常系统的能观性 9.7 对偶性原理 9.8 状态观测器及其应用 9.9 李雅铺诺夫第二方法
第一节 状态变量的描述
状态变量的定义： 动力学系统的状态是表征系统全部行为的一组相互
独立的变量，组成这个变量组的元素称为状态变量。 3、状态向量的定义：
以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。
令： x 1 t,x 2t, ,x nt 为系统的一组状态变量， 则 x t x 1 t,x 2 t, ,x n t为状态向量
第二节 传递函数与动态方程的关系
由动态方程求系统的传递函数 由传递函数列写动态方程
第二节 传递函数与动态方程的关系
一、由动态方程求系统的传递函数 1、单输入—单输出系统
设单输入—单输出线性定常系统的动态方程为
x为n×1型状态向量 A为n×n矩阵 b为n×1型列向量 C为1×n型行向量 y（t）和u（t）为标量 d为直接传输系数
设单输入线性定常系统的状态变量为
x 1 t,x 2t, ,x nt
则其一般形式的状态方程为
x1ta11x1ta12x2ta1nxntb1ut x2ta21x1ta22x2ta2nxntb2ut
xntan1x1tan2x2tannxntbnut
第一节 状态变量的描述
1、单输入单输出系统的状态方程
把上述方程组写成向量矩阵形式为：
x t A x t b u t
式中
x 1 x1
x
x
2
,
x
x2
x
n
xn
a 11 a 12 a 1 n
b1
A
a
21
a 22
a
2
n
,
b
b
2
a
n
1
an2
a nn
b
n
A为系统的系数矩阵 b为输入矩阵(控制矩阵）
第一节 状态变量的描述
2、单输入单输出系统的输出方程 系统的输出量与状态变量、输入变量间的数学表达
第一节 状态变量的描述
则得，
x2
写成向量矩阵的形式
式中
P为非奇异矩阵，通过非奇异矩阵P的变换，可将 状态变量x1、x2变换为一组新的状态变量
若变换矩阵P为任意的非奇异矩阵，则可变换出无数多 组状态变量和相应的动态方程，从而进一步说明了状态变 量选择的非唯一性。为了应用上的方便，通常总优先考虑 那些能被量测的物理量为状态变量。
表示成向量矩阵形式为：
输出方程为： （2）设状态变量
则
输出方程为：
式可改写为：
第一节 状态变量的描述
把上述方程改写为向量矩阵形式为：
由此可知，系统状态变量的选择不是唯一的。显然， 对应于不同的状态变量选择，所得到的动态方程也是不相同， 但它们都描述了同一系统。
讨论上述所选的两组状态变量间的内在关系 设
第一节 状态变量的描述
状态、状态变量 状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
xt v t
m
dvt 1 f t
dt m
vt
vt0
1 m
t
t0
f
d
dxt vt
dt
f t xt
xt0 t
t0 vt0
1 m
tБайду номын сангаас
t
d
t0
t0
f
d
第一节 状态变量的描述
一、一般概念 1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。 表征系统运动的信息。
第一节 状态变量的描述
系统状态量的选择虽不是唯一的，但选择一组状态 变量也是有条件。它必须具备下述的性质：
（1）在t时刻的状态向量x（t）是初始状态向量 xt0 和t t0
时的输入u（t）唯一确定。 （2）在t时刻的输出y（t）是由该时刻的状态向量x（t）和 输入u（t）唯一确定。
终上所述，用状态变量描述系统具有如下的特点： （1）系统的状态变量描述是系统输入、状态、输出诸变量间 的时域描述。 （2）输入引起系统内部状态的变化是一个动态过程，在数学 上用向量微分方程描述。输出方程是一个代数方程。 （3）一个系统的状态变量选择不是唯一的，一个n阶系统， 只能有n个状态变量，不能多也不能少。 （4）由于状态方程是一阶微分方程组，因而适用于计算机求 其数值解，或用计算机对系统进行分析研究。 （5）对于结构和参数已确定的系统，需要研究如何把已建立 的微分方程或传递函数转变为相应的动态方程。
第一节 状态变量的描述
多输入、多输出惯性系统的状态空间表达式
第一节 状态变量的描述
例9-1 已知一RLC电路如图9-4所示，ur和uc分别为电路 的输入与输出量。试选择两组状态变量，写出它们对应 的动态方程式。
解：由基尔霍夫定律得：
则上式可改写为：
（1）设状态变量
x1uc
1 C
id,tx2
i
第一节 状态变量的描述
第一节 状态变量的描述
4、状态空间 状态向量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任
一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示。
5.状态方程
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数 学表达式称为状态方程
第一节 状态变量的描述
二、状态空间表达式
n阶系统应有n个独立的状态变量，对应的状态方程是 n个联立的一阶微分方程。