离散时间系统状态方程和输出方程的求解
第七章 系统的状态变量分析法
1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
1
f
2
(t)ຫໍສະໝຸດ Y CX DF输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u
信号与系统—系统的状态变量分析
0 x1 0
0
x2
0
f
4 x3 1
x1
y 0
0
1
x2
x3
并联型结构
H (s)
0.5 s2
s
1 3
1.5 s4
0.5s 1 1 2s 1
s 1 1 3s 1
1.5s 1 1 4s 1
f
s1 x1
0.5
2 s1 x2
3
s1 x3
1.5
4
x1 2x1 f
y x2 3x2 f
x1[k 1] a1x1[k] f1[k] x2[k 1] a2x2[k] f2[k]
由右端加法器列写出输出方程为
y1[k] x1[k] x2[k] y2[k] x2[k] f1[k]
矩阵表示式为
x1[k 1]
x2[k
1]
a1
0
0
a2
x1[k]
x2
[k
]
1 0
0 f1[k]
由上面四式可求出状态方程为
x1
(t)
1 R1C
x1
(t)
1 C
x2 (t)
1 R1C
f (t)
x2 (t)
1 L
x1(t)
R2 L
x2 (t)
系统的输出方程为
y(t) R2x2 (t)
系统的状态方程和输出方程用矩阵来表示
x1
x2
1
R1C 1
L
1 C
R2 L
x1
x2
1
R1C 0
f
y(t) [0
R2
]
x1 x2
[例2]已知一个LTL系统的系统函数为
差分方程状态方程和输出方程
差分方程状态方程和输出方程
差分方程是一种描述离散时间系统动态行为的数学模型，它由状态方程和输出方程组成。
状态方程描述系统的状态随时间的演化规律，输出方程描述系统的输出与状态之间的关系。
状态方程通常采用一阶差分方程的形式，即：
x(k+1) = f(x(k), u(k))
其中，x(k)表示系统在时刻k的状态，u(k)表示系统在时刻k的输入，f是状态转移函数，它描述了系统状态如何随时间演化。
状态转移函数f可以是线性的，也可以是非线性的，它的形式取决于系统的特性。
输出方程通常采用线性方程的形式，即：
y(k) = g(x(k), u(k))
其中，y(k)表示系统在时刻k的输出，g是输出函数，它描述了系统的输出与状态和输入之间的关系。
输出函数g通常是线性的，它可以表示为：
y(k) = Cx(k) + Du(k)
其中，C和D是系统的输出矩阵，它们描述了系统的输出与状态和输入之间的关系。
差分方程状态方程和输出方程是描述离散时间系统动态行为的重要工具，它们可以用于分析和设计各种控制系统。
例如，可以使用状态方程和输出方程来设计控制器，以实现对系统的稳定性、响应速度和鲁棒性等性能指标的优化。
差分方程状态方程和输出方程是描述离散时间系统动态行为的重要工具，它们可以用于分析和设计各种控制系统。
在实际应用中，需要根据系统的特性选择合适的状态转移函数和输出函数，以实现对系统的优化控制。
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
2019/1/5
得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
2019/1/5
16
1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
状态方程和输出方程
状态方程和输出方程状态方程和输出方程是系统理论中的重要概念，用于描述动态系统的行为。
状态方程描述了系统的状态如何随时间变化，而输出方程则描述了系统的输出如何由状态决定。
在这篇文章中，我们将详细介绍状态方程和输出方程的概念、推导方法和应用。
一、状态方程状态方程又称为状态空间方程或系统方程，用数学表示为：x(t)=A·x(t-1)+B·u(t)其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统在其中一时刻的状态；A为状态转移矩阵，描述了系统的状态如何随时间变化；x(t-1)为系统在上一时刻的状态；B为输入矩阵，描述了外部输入信号如何影响系统的状态；u(t)为外部输入信号，表示系统在其中一时刻的输入。
状态方程的物理意义是描述系统的动态行为。
通过状态方程，我们可以了解系统的状态如何由前一时刻的状态和当前的输入决定。
状态方程是描述系统动态行为的基础，可以用于系统的建模、分析和控制。
推导状态方程的方法有两种：物理建模和数学建模。
物理建模是通过系统的物理原理和方程来推导状态方程；数学建模是通过对系统的输入输出进行数学分析，从而推导出状态方程。
物理建模适用于具有物理背景的系统，如机械系统、电路系统等；数学建模适用于所有类型的系统。
二、输出方程输出方程又称为观测方程或测量方程，用数学表示为：y(t)=C·x(t)其中，y(t)为系统的输出向量，表示系统在其中一时刻的输出；C为观测矩阵，描述了系统的输出如何由状态决定；x(t)为系统在其中一时刻的状态。
输出方程的物理意义是描述系统的输出如何由状态决定。
通过输出方程，我们可以了解系统的输出如何与系统的状态相关。
输出方程是描述系统的输出特性的关键，可以帮助我们理解系统的性能和行为。
推导输出方程的方法有直接测量和模型匹配。
直接测量是通过对系统的输出进行实际测量，从而得到输出方程；模型匹配是通过对系统进行数学建模，从而推导出输出方程。
直接测量适用于系统的输出直接可测量的情况；模型匹配适用于系统的输出无法直接测量或想要通过模型进行预测的情况。
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
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2
5
0
D
0 0
q[0]
2 3
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
离散系统的状态方程为：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在给定系统的初始状态q[k0]后，可直接用迭代法进行求解。
q[k0 1] Aq[k0] Bx[k0] q[k0 2] Aq[k0 1] Bx[k0 1]
2
5 q1[k]
0
q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]
2
3
x[k] u[k]
在时域求解该系统的状态变量和输出。
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在z域求解该系统的完全响应。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k
1] 1]
0
1
6
1
5
q1[k ] q2 [k ]
0 1
x[k ]
6
y1[k ] y2 [k ]
1
zq[0]
[C (
zI
A)1
B
D]X
(
z)
Yzi (z)
Yzs ( z)
然后再对Q(z)和Y(z)进行z反变换即可得到q[k]和y[k]。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k
1] 1]
0
1
6
yzi [k ]
yzs [k ]离散系统的状态方程和输出方程 Nhomakorabea时域求解
q[0]=0时，系统的零状态响应为：
yzs[k] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k]
h[k ]
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
状态方程和输出方程：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
y[k] Cq[k] Dx[k]
将上式两边取z变换，得:YzQ(z()z)CzQq[(0z])
AQ(z) DX (z)
BX
(z)
H(z)
整理得
Q(z) (zI A)1 zq[0] (zI A)1 BX (z)
Y
(
z)
C ( zI
A)1
q[3] Aq[2] Bx[2]
便于计算机迭代求解
0
1
6
1 5 6
19
1613 36
0 1
1
113
36 667
216
0
A
1
6
1
5
6
B
0
1
2 q[0] 3
y[k] Cq[k] Dx[k]
其中
0 1
A
1
5
6 6
B
0
1
C
1
2
5
0
D
0 0
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
求解状态方程： q[k +1] Aq[k] Bx[k]
k=0代入得：
q[1] Aq[0] Bx[0]
A2q[k0 ] ABx[k0] Bx[k0 1]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
q[k0 k] = Aq[k0 k 1] + Bx[k0 k 1]
∑k 1
= Akq[k0 ] + Ak1i Bx[i]
i=0
k k0
若初始时刻k0=0，则有:
∑k 1
q[k] = Akq[0] + ( Ak1i Bx[i])u[k 1]
i=0
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
将上式代入系统的输出方程得：
y[k] Cq[k] Dx[k]
k 1
CAkq[0] ( CAk1i Bx[i])u[k 1] Dx[k] i0
CAkq[0] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k]
便于计算机迭代求解
1
2
5
0
3
19 6
77
6
6
y[2] Cq[2] Dx[2]
19
1 2
5 0
1613
36
451
1396
3
C
1
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
状态空间变量分析
※ 系统状态变量分析的基本概念和普遍形式 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的求解 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的求解
离散时间系统状态方程和输出方程的求解
※ 时域求解状态方程和输出方程 ※ z域求解状态方程和输出方程 ※ 状态方程和输出方程的Matlab求解
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
求解输出方程： y[k] Cq[k] Dx[k]
k=0代入得：
y[0] Cq[0] Dx[0]
k=1代入得：
1
2
5 2
0
3
13
4
y[1] Cq[1] Dx[1]
k=2代入得：
k=1代入得：
0
1
6
1 5 6
2 3
0
1
1
3
19
6
q[2] Aq[1] Bx[1]
k=2代入得：
0
1
6
1 5 6
3
19 6
0
1
1
19
1613 36
1
5
6
q1[k ] q2 [k ]
0 1
x[k ]
y1[k]
y2
[k
]
1
2
5 q1[k]
0
q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]
2
3
x[k] u[k]