35 线性离散系统状态方程的解

j =0
� 上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另 一形式的线性离散系统状态方程的解表达式
x(k) = Gkx(0) + Gk−1Hu(0) + ...+ GHu(k - 2) + Hu(k -1)
k −1
∑ = Gkx(0) + G j Hu(k − j −1)
j =0
递推法(3/10)
0
...
Ω λ ⎤ mi −1 k −mi +1 ki
...
Ω λ ⎥ mi −2 k −mi +2
k
i
⎥
...
... ⎥
...
λki
⎥ ⎥⎦
k ≥m
⎡λki Ωk1λik−1 ... 1 ... 0 ⎤
⎢ ⎢
0
λki
...
Ωk1λki −1
...
...
⎥ ⎥
= ⎢ ... ... ... ... ... 1 ⎥
递推法(8/10)
� 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵G的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵。 当G为如下对角线矩阵: G=diag{λ1 λ2 … λn} 则状态转移矩阵为
{ } Φ(k ) = Gk = diag λ1k λk2 ... λkn
(2) 块对角矩阵。 当G为如下块对角矩阵: G=block-diag{G1 G2 … Gl}
⎧Φ(k + 1 , k0 ) = G(k)Φ(k , k0 ) ⎨⎩Φ(k0 , k0 ) = I
Φ(k , k0 ) = G(k −1)G(k − 2)...G(k0) , k > k0
x(k
)
=
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎥⎦,
⎡0⎤ ⎢⎣1.84⎥⎦,
⎡ 2.84 ⎤ ⎢⎣− 0.84⎥⎦,
⎡ 0.16 ⎤ ⎢⎣1.386⎥⎦
输出方程的解(1/2)
3. 输出方程的解
� 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k)
中,可得输出y(k)的解为
k −1
∑ y(k) = CGk x(0) + CGk− j−1Hu( j ) + Du(k)
2. 用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1
z −1
zI − G =
= (z + 0.2)(z + 0.8)
0.16 z + 1
Z变换法(5/7)—例3-14
( zI
-
G )−1
=
adj( zI | zI -
-G) G|
=
⎡ z +1 ⎢⎣- 0.16
=
1 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
4
z + 0.2 − 0.8
k −1
∑ x(k) = Φ(k , k0 )x(k0 ) + Φ(k , i +1)H (i)u(i)
i=k0
式中, Φ(k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。
线性时变离散系统状态方程的解(2/6)
� 线性时变离散系统的状态转移矩阵Φ(k ,k0)满足如下矩阵差 分方程及初始条件：
其解为
3.5 线性离散系统状态方程的解
� 本节研究线性定常离散系统方程的解,需解决的主要问题: � 状态转移矩阵 � 状态转移矩阵的性质 � 状态方程的求解 � 状态方程解的各部分的意义 � 输出方程的解
线性离散系统状态方程的解(2/2)
� 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法 两种主要方法: � Z变换法只能适用于线性定常离散系统, � 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 � 下面将分别讨论 � 线性定常离散系统 � 线性时变离散系统 的状态空间模型求解。
线性定常离散系统状态方程的解(1/1)
3.5.1 线性定常离散系统状态方程的解
� 下面介绍线性定常离散系统的状态方程求解的 � 递推法和 � Z变换法。
最后讨论输出方程的解
递推法(1/10)
1. 递推法
� 递推法亦称迭代法。 � 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) ……
� 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解: Φ(k+1)=GΦ(k) Φ(0)=I
� 用递推法求解上述定义式,可得
Φ(k)=Gk
因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:
k −1
x(k) = Φ(k)x(0) + ∑ Φ(k - j -1)Hu( j)
j =0
亦为
k −1
x(k) = Φ(k)x(0) + ∑ Φ( j)Hu(k - j -1)
⎡1⎤ x(0) = ⎢⎣−1⎥例3-14
� 解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有
x(1)
=
⎡ ⎢⎣−
0 0.16
1⎤ −1⎥⎦
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎥⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣1.84⎥⎦
x(2)
=
⎡ ⎢⎣−
Z变换法(1/7)
2. Z变换法
� 已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
对上式两边求Z变换,可得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z)
于是 (zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)
� 用(zI-G)-1左乘上式的两边,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z)
递推法(2/10)
� 若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复 以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推 求解公式: x(k) = Gkx(0) + Gk−1Hu(0) + ...+ GHu(k - 2) + Hu(k -1)
k −1
∑ = Gk x(0) + Gk− j−1Hu( j)
对上式进行Z反变换,有 x(k)=Z-1[(zI-G)-1zx(0)]+Z-1[(zI-G)-1HU(z)]
Z变换法(2/7)
� 在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
{ } Z −1 1/(1− az−1 ) = ak
k
∑ Z −1{W1 (z)W2 (z)} = w1(k − i)w2 (i)
+
z
1
+ 0.8 0.8
⎣ z + 0.2 z + 0.8
1⎤
z
⎥ ⎦
/[(
z
+
0.2)(
z
+
0.8)]
z
5
+ 0.2 -1
+
z
5
+ 0.8 4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
z + 0.2 z + 0.8⎦
� 因此,有
Φ(k) = Gk = Z −1[(zI - G)−1] 1 ⎡ 4(-0.2)k - (-0.8)k
⎢
⎥
⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥
⎢⎣ 0
0 ... 0 ... λki ⎥⎦
其中Ωkj=k!/[(k-j)!j!]为二项式系数。
k <m
(4) 对系统矩阵G,当存在线性变换矩阵P,使得
则有
G~=P-1GP
G~k = P−1Gk P Gk = PG~k P−1
递推法(10/10)
j =0
线性时变离散系统状态方程的解(1/6)
3.5.2 线性时变离散系统状态方程的解
� 设线性时变离散系统的状态空间模型为
⎧ x(k + 1) = G(k) x(k) + H (k)u(k)
⎨ ⎩
y(k
)
=
C
(k
)
x(k
)
+
D(k)
u(
k)
式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。
� 假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为
j =0
递推法(5/10)
� 比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: � 连续系统
t
x(t) = Φ(t)x0 + ∫0 Φ(t −τ )Bu (τ )dτ
� 离散系统
k −1
x(k) = Φ(k)x(0) + ∑ Φ(k - j -1)Hu( j)
j =0
初始状 初始时刻后输入的 态的影 影响,为脉冲响应函
= 3 ⎢⎣- 0.8(-0.2)k + 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k ⎤
-
(-0.2)k
+
4(-0.8)k
⎥ ⎦
Z变换法(6/7)—例3-14
� 由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
因此,有 X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)]
⎡
(z 2 + 2) z
⎣ z + 0.2 z + 0.8 z -1⎦
Z变换法(7/7)—例3-14
x(k )
=
Z
−1{ X
( z )}
=
1 18
⎡ - 51(-0.2) k ⎢⎣10 .2(-0.2) k
+ 44(-0.8) k + - 35.2 (−0.8) k
25 ⎤
+