差分方程建立离散系统的状态空间表达式
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现代控制原理2-3离散系统
−T −T −T
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
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3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
离散系统的数学模型
2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。
本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。
有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。
这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。
式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。
线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。
1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。
例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。
解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
离散系统的状态空间描述状态方程
y( k ) x1 ( k ) h0u( k )
2019/1/5
13
写成矩阵形式，得到状态空间描述为：
1 x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 0 2 x ( k 1 ) 0 n 1 0 xn ( k 1) a0 a1 0 1 0 0 x1 ( k ) h1 x2 ( k ) h2 0 u( k ) 1 xn1 ( k ) hn1 an1 xn ( k ) hn
y( k ) x1 ( k )
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写成矩阵形式，得到离散系统的状态空间表达式：
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 xn1 ( k 1) 0 xn ( k 1) a0 1 0 0 0 1 0 0 x1 ( k ) 0 x2 ( k ) 0 0 u( k ) 1 x n 1 ( k ) 0 an1 xn ( k ) b0
2019/1/5
8
4、将差分方程化为状态空间描述：或转换为Z传递函数，再求 离散系统差分方程描述形式：
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) bnu( k n) bn1u( k n 1) b0u( k ) ( k 0,1,2)
当初始状态 x(0) 0 时，对以下状态空间描述做Z变换：
x ( k 1) Gx( k ) Hu( k ) y( k ) Cx ( k ) Du( k )
离散时间系统与差分方程
T{ax [n]}= a2x2[n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
2. 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)， 则 T[x(n-n0)]=y(n-n0) （ n0为任意整数） 即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为：LTI
1 az1 z M 1 (z a)
如果a为正实数，H（z）的零点为
2
zk
jk
ae M ,k
0,1,, M
1
这些零点分布在|z|=a的圆周上，对圆周进行M等分，它的第一个零点k=0，
恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H（z）共有
2
改写成 y（n-1）=2[ y（n）-1.5x（n）] 此时 y（0）=2[ y（1）-1.5x(1) ]=0
y(1) 2y(0) 1.5x(0) 1.5 1 1
2
y(2) 2y(1) 1.5x(1) 1.5 1 2
2
依此类推，得到
y(n) h(n) 1.5 1 n u(n 1) 2
例：若系统输入输出关系为： y(n)=nx(n)
试判断系统是否为时不变系统？
3. 线性时不变系统
线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。
我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和
x(n) x(m) (n m) m
如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应， h（n）=T[δ（n）]
因此 y(n) x(m)h(n m) x(n) * h(n) m 该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n）来
表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。 卷积过程： ① 对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）； ② 对 h（-m）移位得 h（n-m）； ③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。
2. 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)， 则 T[x(n-n0)]=y(n-n0) （ n0为任意整数） 即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为：LTI
1 az1 z M 1 (z a)
如果a为正实数，H（z）的零点为
2
zk
jk
ae M ,k
0,1,, M
1
这些零点分布在|z|=a的圆周上，对圆周进行M等分，它的第一个零点k=0，
恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H（z）共有
2
改写成 y（n-1）=2[ y（n）-1.5x（n）] 此时 y（0）=2[ y（1）-1.5x(1) ]=0
y(1) 2y(0) 1.5x(0) 1.5 1 1
2
y(2) 2y(1) 1.5x(1) 1.5 1 2
2
依此类推，得到
y(n) h(n) 1.5 1 n u(n 1) 2
例：若系统输入输出关系为： y(n)=nx(n)
试判断系统是否为时不变系统？
3. 线性时不变系统
线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。
我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和
x(n) x(m) (n m) m
如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应， h（n）=T[δ（n）]
因此 y(n) x(m)h(n m) x(n) * h(n) m 该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n）来
表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。 卷积过程： ① 对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）； ② 对 h（-m）移位得 h（n-m）； ③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。
现代控制理论-状态空间表达式的建立
即 Y (sC 1 s 1 1)3(sC 1 s 2 1)2sC 13 s1sC 2 s2sC 3 s3 U ( • s )
选取
X 11
(s
1 s1
)
3
U
X 13
s
1
U s1
X12
(s
1 s1
)2
U
X
2
s
1 s2
U
X3
s
1 s3
U
x•11 s1 x 1 1 x 1 2 x12 s1x12 x13
x2
s 1
xY
s 1 3
8
（ 1 ） 、 确 定 状 态 变 量 ， 若 选 择
若将传递函数进行一般实现，并取积分 器的输出为状态变量。
（ 2 ） 、 列 写 状 态 方 程
•
x1 8x3 15u
•
x2 x114x38u
•
x3 x2 7x3u
（ 3 ） 、 写 成 矩 阵 形 式
7 14
0 0 8 15
G (s)G 1(s)G 2(s) [ 3 ] 、 系 统 一 和 二 反 并 联 时 ( 负 反 馈 )
u
（A1,B1,C1） y
（A2,B2,C2）
G (s ) [I G 1 (s )G 2 (s )] 1 G 1 (s )
参见 p.461
作业：p.536;9-13,
电气工程学院
➢关于输入输出解耦控制问题 解耦问题是一个比较复杂的问题，对线性定常系统就有几套理论：
于是有； (1)、 选 状 态 变 量
X1(s)
s
1 U(s), 1
X2(s)
s
1
U(s), 2
X3(s)
7-4离散系统的数学模型
例7-16 已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下
n
c(k ) 5c(k 1) 6c(k 2) r (k )； r (k ) 1(k )； c(0) 0, c(1) 1。
试用递推法计算输出序列c(k)，k = 0,1,2,…,10。
解 采用递推关系 c(k+2) = 1+5c(k+1) - 6c(k)； 得 c(0) 0；c(1) 1；
7-4 离散系统的数学模型
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
3. 脉冲传递函数 4. 组合环节的等效脉冲传递函数 5. 闭环系统的脉冲传递函数计算
6. Z变换的局限性及修正Z变换
离散系统的数学模型 与连续系统类似，单输入单输出线性时不变 离散系统数学模型有三大类：差分方程 ( 时域 ) 、 脉冲传递函数 ( 复数域 ) 和状态空间模型。本节重 点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本 概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。 1. 离散系统的数学定义
k 1
2
z c(kT ) ( z 2)( z 3)
z k 1 ( z 1)( z 2) z 3
z 1
z ( z 1)( z 3)
k 1
z 2
0.5 2
k 1
0.5 3 ，k 0；
k 1
c(2) 6； c(3) 25； c(10) 86526；
┇
k
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
lim c(k ) 1.0；
这两个示例表明，用递推法求解差分方程， 计算过于烦琐，不易得到c(k)的通项表达式。
(2) Z变换法(例7-17 )
n
c(k ) 5c(k 1) 6c(k 2) r (k )； r (k ) 1(k )； c(0) 0, c(1) 1。
试用递推法计算输出序列c(k)，k = 0,1,2,…,10。
解 采用递推关系 c(k+2) = 1+5c(k+1) - 6c(k)； 得 c(0) 0；c(1) 1；
7-4 离散系统的数学模型
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
3. 脉冲传递函数 4. 组合环节的等效脉冲传递函数 5. 闭环系统的脉冲传递函数计算
6. Z变换的局限性及修正Z变换
离散系统的数学模型 与连续系统类似，单输入单输出线性时不变 离散系统数学模型有三大类：差分方程 ( 时域 ) 、 脉冲传递函数 ( 复数域 ) 和状态空间模型。本节重 点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本 概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。 1. 离散系统的数学定义
k 1
2
z c(kT ) ( z 2)( z 3)
z k 1 ( z 1)( z 2) z 3
z 1
z ( z 1)( z 3)
k 1
z 2
0.5 2
k 1
0.5 3 ，k 0；
k 1
c(2) 6； c(3) 25； c(10) 86526；
┇
k
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
lim c(k ) 1.0；
这两个示例表明，用递推法求解差分方程， 计算过于烦琐，不易得到c(k)的通项表达式。
(2) Z变换法(例7-17 )