线性系统的时变线性系统

第六章时变线性系统从工程应用角度，可用时变线性系统近似描述的典型系统是：•飞机在标称高度和速度附近变化时的动态特性；•空间站的运动。

空间站的运动可用非线性微分方程组描述，线性化之后，线性模型的参数仍会在一个大范围内变化，难以用定常线性系统来描述；•化工过程中热传导速度的控制、一些化学反映的动态过程等都是高度非线性的，其工作点和参数变化态过程等都是高度非线性的其工作点和参数变化剧烈，即使线性化后也要用时变线性系统来近似。

参考文献：Linear Time-Varying Systems:Control •Linear Time-Varying Systems: Control and Adaptation. K. S. Tsakalis and P.A. Ioannou.本章所考虑的n 维线性时变系统的方程为()()()xt x t u y t x =+=A B C （6—1）式中u 是p 维输入向量，y 是q 维输出向量，并假定状态方程满足解存在和唯一性条件。

假定状态方程满足解存在和唯性条件。

首先，时变系统的分析和设计中会遇到哪第二章已清楚时变线性系统的一些重要性质些问题？时变系统的特点是什么？1)第二章已清楚，时变线性系统的些重要性质，如可控性、可达性、可观测性、可重构性等均有关因此就提出这些性质和所研究的时刻t 0 有关，因此就提出这些性质对t 是否具有一致性的问题。

在时变系统的设计中，一致性常常是设计问题有解的条件。

对于时不变系统特征值对应于系统运动的模式2)对于时不变系统：特征值对应于系统运动的模式，特征值的分析可以对系统的稳定性给出完整的回答。

而时变系统的主要困难是，没有一个方法能答而时变系统的主要困难是没有一个方法能在给定矩阵A(t)后就能判断系统的稳定性；求状态转移矩阵则是项十分困难的工作。

状态转移矩阵则是一项十分困难的工作3)在研究方法上，显然复数域的方法一般不再适用，所采取的完全是时域的方法。

用所采取的完全是时域的方法本章仅介绍一致完全可控性、一致完全可观测性及相关的知识。

一、一致完全可控性的定义和判据1. 定义@p15@p20@p21定义6-1（一致完全可控性）线性时变系统（6-1)为一致完全可控的，如果σ>0以及与σ有关的致完控如果存在与有关正数αi (σ)(i =1,2,3,4)，使得对所有t ∈(−∞,+∞),120()(,)()(62)t t <≤+≤−I W Iασσασ340()(,)(,)Φ(,)()T t t t t t t <≤Φ+++≤I W Iασσσσασ (63)−这里可控性Gram 这里，可控性矩阵t T Tσ+注意(,):(,)()()(,)W B B t t t t t d στττττ+=ΦΦ∫注意：对n ×n 实对称阵A , B ，A >B ⇔x T A －B x >0，即A −B 正定；()A ≥B ⇔A －B 为半正定。

讨论：1)由第二章：(A (t ),B (t ))在t 0时刻可控的充分必要非奇异条件是存在有限的t 1>t 0，使得W (t 0,t 1)非奇异。

注意到W (t 0,t 1)至少半正定，故非奇异意味其正定易见满足上述矩阵不等式正定定。

易见，满足上述矩阵不等式，W 正定。

2）条件(6-3)等价为如下的可达性条件(p .46)：340()(,)()(64)I Y I t t ασσασ<≤−≤−这里，(,)(,)()()(,)B B Y t T T t t d t t στττττ−Φ=Φ−t σ∫事实上，(,)(,)(,)ΦW ΦT t t t t t t σσσ+++(,)()()(,)ΦB B Φt T T t t d t σστττσττ+=++∫(,)(())(),ΦB B ΦsT Ts t s s s d σστττττ+=−⎯⎯⎯→∫)3)一致可控性保证任何时刻的状态转移均可在时间间隔σ内完成，与时间的起点无关。

这里所说的状态转移，包括了¾从t t时刻的任何状态转移到t+σ时刻的零状态（可控）¾t−σ时刻的零状态转移到t 时刻的任意状态从t（可达）这两点分别由（6-2）式与（6-3）式所保证。

−+tσt t+ σ采用第二章（习题）中的方法，可以证明，控制01()()(,)(,)[(,)]1B ΦW ΦT T u t t t x t t x τττσσ−=−+−+可在时间段σ中将时刻x (t )的任意状态转移到时刻x (t + σ)的任意状态x 1。

若系统仅仅是可控的，则完成状态转移可能需要很长的时间，或者要求控制的幅度极大。

然而，若其是一致完全可控的，则总能σ的一段时间完成；此外，控制输入的幅在长度为的段时间完成；此外，控制输入的幅度不会是任意大的（正比于W −1≤1/α1(σ))。

在最优控制及时变系统理论中，为了保证系统的稳定性，有时需要一致完全可控这一条件的稳定性，有时需要致完全可控这条件。

一致完全可控一定可推得在t 0 时刻的可控性，但反之一般不成立6-1考虑一维线性系统但反之一般不成立。

例61考虑维线性系统||−= t x e u系统是可控的，因为对任意的t 0，W (t 0, t 1)>0。

但不是一致完全可控的。

事实上，因Φ=I ，对任何t >0，222W(,)0.5(1)t t t t e d e e στσστ+−−−+==−t ∫当t 充分大时，因子e −2t 可任意地小, 故使221(,)0.5(1)()W t t t e e σσασ−−+=−>时刻可控不一成立的α1(σ)不存在。

这说明在任意t 0时刻可控不定有一致完全可控。

例6-2一维线性系统()= xb t u ()b t 其中由下图所示：b (t )1t12若选择σ=5，有1 252155W t t t b d t ττ+<+=≤∀(,)(),t ∫此时(6-2)式成立。

又因为Φ=I，所以(6-3)式也成立。

在(−∞,+∞)内系统是一致完全可控的，当然也是可控的。

对于任何的σ> 0，(6-3)均不可能成立，因此该系()统不是一致完全可控的。

实际上一致完全可控性的概念中包含有对完全可控性的一致性与对完全可达性的一致性该例题可控性的一致性与对完全可达性的一致性，该例题说明对于可控性有一致性，但对可达性无一致性，因而不是一致完全可控的因而不是致完全可控的。

2. W(t0,t1) 的一些性质定义61表明判别一个系统的一致可控性有6-1表明，判别个系统的致可控性有赖于W(t0,t1) ，因此，首先研究W(t0,t1) 的一些性质性质。

3. 一致完全可控性的判据定理6-2：若A (t )及B (t )有界，即存在K 使得对任意A B t K t K <<(6-8)的t ，均有||()||,||()||()则系统一致完全可控的充分必要条件为：存在σ> 0及α0(σ), 使得对一切t 成立00()W (,)I ασσ<≤+t t (6-9)四个不等式变成个不等式(四个不等式变成一个不等式) 。

定理的证明需要用到如下两个引理定理的证明需要用到如下两个引理：引理1(Bellman-Gronwall 不等式）:()0设(),u t v t ≥以及存在常数c >0，使得t d 0()0(69)u t c u vd t τ≤+∀≥−∫则有t ∫00(610)vd u ce t τ≤∀≥−定理6-2：A t B t 有界，即存在K 若()及()有界即存在使得对任意的t ，均有||()||,||()||A B t K t K <<(6-8)则系统一致完全可控的充分必要条件为：存在σ> 0则系致完控充分要条件为存在及α0(σ), 使得对一切t 成立00()W (,)I ασσ<≤+t t (6-9)定理6-2的条件并不苛刻，由于状态转移矩阵不易求得，故该定理在系统分析中是应用得比较广泛的。

二、一致完全可观测的定义和判据其定义和判判据与一致完全可控是对偶的。

定义6-2（一致完全可观测性）线性时变系统（6-1）称为一致完全可观测的，如果存在σ>0以及与σ有关的正数βi (σ)(i =1,2,3,4)，使得对所有t ∈(−∞,+∞)，120()(,)()(62)<≤+≤−I V It t βσσβσ340()(,)(,)(,)()(63)<≤+++≤−I V ΦI T t t t t t t βσσσσβσΦ这里)()()()t σ+这里，(,)(,,V C C T Tt t t t t d στττττ+=ΦΦ∫一致完全可观测的概念及其相应的定理在最优控制中会用到。

优控制中会用到因一大类自适应控制系统是时变线性系统，因大类自适应控制系统是时变线性系统一致完全可观测的概念在讨论参数收敛性时是必不可少的工具。

不少的具2.一阶系统动态方程如下：()()()t xt x t e u t −=−+ t t =判断系统在任意时刻0是否可控；判断系统是否一致完全可控。