浅谈线性时不变系统的判断
线性时不变系统的稳定性分析
线性时不变系统的稳定性分析稳定性是控制系统理论中的重要概念，对于线性时不变系统来说尤其重要。
稳定性分析可以帮助我们确定系统的输出是否会在输入变化或干扰的情况下产生不受控制的波动或发散。
本文将探讨线性时不变系统的稳定性分析方法。
一、线性时不变系统的定义线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，LTI系统）是指满足叠加性和时移不变性两个性质的系统。
叠加性指系统对输入的响应是可加的，时移不变性指系统对延时输入的响应是不变的。
线性时不变系统可以用微分方程或差分方程来描述。
二、稳定性的定义在系统稳定性分析中，我们关注的是系统的零输入响应或者零状态响应。
稳定性可以分为BIBO稳定性和渐近稳定性两种类型。
1. BIBO稳定性BIBO稳定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability）是指当输入有界时，系统的输出也是有界的。
如果对于任意有界的输入信号，系统的输出都有界，则系统是BIBO稳定的。
2. 渐近稳定性渐近稳定性是指当输入信号趋于稳定时，系统的输出也趋于稳定。
如果对于任意渐近稳定的输入信号，系统的输出也渐近稳定，则系统是渐近稳定的。
三、稳定性分析方法稳定性分析的常用方法包括传输函数法、状态空间法和频域法。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 传输函数法传输函数法是用传输函数来描述系统的稳定性。
传输函数是输入和输出的关系，它是Laplace变换或Z变换的比值。
对于连续时间系统，传输函数可以表示为H(s)；对于离散时间系统，传输函数可以表示为H(z)。
通过分析传输函数的极点（Pole）可以判断系统的稳定性。
对于连续时间系统，如果传输函数的极点都位于左半平面，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于右半平面的，则系统是不稳定的。
对于离散时间系统，如果传输函数的极点都位于单位圆内部，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于单位圆外部的，则系统是不稳定的。
第2章-线性时不变系统
0
t
y(t)
d2Tt1T2
y(t)t2 T Td2T2 21(tT)2
tT
2
y(t) 0
1T2
2
t
0
T
2T
3T
例题：
f t 10u t etu t
u
t
t
0
f1
t
f2
d
10u t t e d 0
10 1 et u t
信号与系统
例： 计算 e 1 t u t * e 2 t u t
etut*ut 1ut 1
1[e(t1) 1]u(t 1) 1[e(t1) 1]u(t 1)
信号与系统
举例
❖ 已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激
励信号分别为：e2tut ，ut 1ut2，则系
统的零状态响应为？
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。
运算过程： 将一个信号 x 不( k )动，另一个信号经反转后成
为h(k) ,再随参变量 n移位。在每个 值n 的情况
下，将 x ( k ) 与 h(nk) 对应点相乘，再把乘积的
各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n ) 。
otherwise
x(k )
1
0
4
h(nk)nk
k
n6
0
k
n
① n 0 时， y(n)0
n
n
② 0n4 时， y(n) nk n k
k0
k0
n
1(n1) 11
1n1 1
③
4n6 时，
y(n)
4
nk
k0
n
LinearTimeinvariantSystem（线性时不变系统）
Linear Time-invariant System（线性时不变系统）2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。
这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。
当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。
把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。
用脉冲信号表示任意信号：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n-1].x[1]+ δ[n-2].x[2]……即P75 2－2式对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）卷和而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。
换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。
写作x[n]*h[n]。
是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。
对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。
x[n]*h[n]=y[n]对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。
2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。
第五章线性时不变系统的变换分析
相位失真：线性相移 一种轻微的失真 产生序列上的移位 延迟失真 （不产生波形上的变形） 近似理想滤波器设计：线性相位响应 理想模型 例：具有线性相位的理想低通滤波器
具有线性相位的理想频率选择性滤波器： 分隔输入信号频带(频率选择) 非因果 输出延迟nd 群延迟（group delay）: 相位特性线性程度的一种度量 定义： 含义：对窄带输入x[n]=s[n]cos(ω0n) s[n] 为包络，ω0载波频率 即X(ejω)仅在ω= ω0附近为非零 系统的相位效果（在ω= ω0附近）： 即系统的输出： 包络的延迟 相位特性导数的负值
表示H(z)的全部零点在单位圆内。 当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。 稳定因果系统 稳定因果逆系统 定义为：最小相位系统（minimum-phase systems）
5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应 H(z)作z反变换（部分分式法） h[n] 一阶极点的有理系统函数：
若系统因果，可得：
例子：衰减和群延迟的效果
5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系统函数
理想频率选择性滤波器 （近似、逼近）一类频率选择性滤波器 考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统：
a
k 0
N
k
y[n k ] bk x[n k ]
k 0
M
对于初始松弛（initial rest）的辅助条件因果、线性、时不变 z变换 （分析、描述） 线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征 方程两边z变换 N M k k a z Y ( z ) b z k k X ( z)
j 1
极点：z = 0 零点：z = rejӨ 频率响应： ( z
e j )
e re H (e ) j e
第2章 线性时不变系统
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
如何分析判断系统是否为稳定系统、因果系统、线性系统？
如何分析判断系统是否为稳定系统、因果系统、线性
系统？
如何判断一个系统是否为线性系统，时不变系统以及稳定系统？
先线性运算再经过系统=先经过系统再线性运算是线性系统；
先时移再经过系统=先经过系统再时移为时不变系统；
时间趋于无穷大时系统值有界则为稳定的系统，或者对连续系统S 域变换，离散系统Z域变换，H（s）极点均在左半平面则稳定，H（z）极点均在单位圆内部则稳定；
一般的常微分差分方程都是LTI，输入输出有关于t的尺度变换则时变，微分差分方程的系数为关于时间t的函数也时变。
怎幺判断出系统是因果系统还是非因果系统的？。
(参考资料)系统的线性与时不变性的判定
e(t)
T[]
r(t)=T[e(t)]
同学们千万不要小看了我们引入的这个符号：r(t)＝T[e(t)]，下面将会看到，它会对我们判断系 统的线性尤其是时不变性带来非常大的方便，避免错误的发生。
2. 实例
例 1：对于某一连续时间系统，r(t)=ae(t)，其中 e(t)为激励，r(t)为响应，a 为有界常数（a0）。试判
而
可见
r(t－t0) = ae (t-t0)
T[e(t－t0)]＝r(t－t0)
系统为时不变的。
例 2：某一系统的激励为 e(t)，响应为 r(t)，r(t)=e(1t)，判断该系统是否为线性的、时不变的。 解 设 r(t)=T[e(t)]= e(1t)，由此知道，系统对激励 e(t)的运算为：先将激励反褶，再将反褶的信号 往左移动 1 个单位。
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= k1 e1(1t)＋k2 e2(1t) 而
可见
k1r1(t)+ k2r2(t)= k1 e1(1t)＋k2 e2(1t)
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= k1r1(t)+ k2r2(t)
系统为线性的。
2) 判断系统是否为时不变的
将 e(t－t0)作为激励加入系统（t00），系统的响应为 T[e(t－t0)]，则 T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)
1）判断系统是否为线性的
设激励为 e1(t)、e2(t)时，系统的响应分别为 r1(t)和 r2(t)，则：r1(t)= T[e1(t)]= e1(1t)，r2(t)= T[e2(t)]= e2(1t)。现将 k1e1(t)+ k2e2(t)作为激励加入系统（k1、k2 为任意不为 0 的常数），系统的响应为 T[k1e1(t)+ k2e2(t)]，则
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。
稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。
本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。
第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。
动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。
动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。
2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。
一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。
稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。
渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。
第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。
具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。
3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。
通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。
劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。
第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。
通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。
这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。
4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。
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浅谈线性时不变系统的判断作者：***
来源：《数码设计》2019年第04期
摘要：对线性时不变系统的认识和掌握是学好《信号与系统》这门核心专业的基础和关键。
本文探讨如何判断一个系统是否为线性时不变系统。
关键词：线性；时不變；系统；判断
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2019）04-0039-02
Anstract： Understanding and mastering linear time-invariant systems is the foundation and key to learn the core specialty of Signal and Systems. This paper discusses how to judge whether a system is a linear time-invariant system.
Key words： linear； time-invariant； system； judgment
引言：
线性系统是指具有线性特性的系统。
时不变系统是指一个系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间不同而改变，简而言之，构成系统的参数不会随时间的变化而变化。
[1-2]
1 线性时不变系统的判断依据
3 结束语
对于时不变的概念和判断初学者比较容易理解和判断，只要能确定构成系统的元件参数不随时间变化而变化，即可断定该系统为时不变系统。
对于线性系统，有的初学者对为什么要同时满足比例性和可加性提出了质疑或困惑，因为比例性即为输入激励乘上一个系数，输出响应也乘上相同的系数进行变化，又因为乘法可以转换为加进行运算，他们认为满足可加性的系统也都会满足比例性。
[5]那么，在判断一个系统是否为线性系统时，为什么还要加上是否满足比例性（齐次性）这一条件？有什么样的系统只满足可加性而不满足比例性，又有什么样的系统只满足比例性而不满足可加性呢？笔者在此举两个例子加以说明。
例如满足可加性但不满足比例性，满足比例性但不满足可加性。
这说明可加性与比例性具有相对的独立性，一个线性系统必须同时满足这两个性质，这两个条件是一个系统成为线性系统的充要条件。
此外系统的线性与时不变性是相互独立的两条性质，没有必然联系。
参考文献：
[1] 郑君里，应启珩，杨为理. 信号与系统第3版[M]. 北京：高等教育出版社， 2011.
[2] 陈后金，胡建，薛健. 信号与系统第2版[M]. 北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社， 2005.
[3] 管致中，夏恭恪，孟桥. 信号与线性系统第4版[M]. 北京：高等教育出版社， 2004.
[4] 李卜娟.线性时不变系统响应的几种求解方法分析[J].江苏科技信息，2017（29）：46-47.
[5] 张赜皓，姬五胜.线性时不变系统模型的建立及方框图法研究[J].天津职业技术师范大学学报，2016，26（04）：32- 35.。