信号与系统微分方程描述系统的线性判断
信号与系统实验
实验一信号与系统认知一、实验目的1、了解实验室的规章制度、强化安全教育、说明考核方法。
2、学习示波器、实验箱的使用、操作知识；3、学习常用连续周期信号的波形以及常用系统的作用。
二、实验仪器1、信号与系统实验箱（本次实验使用其自带的简易信号源，以及实验箱上的“信号通过系统”部分。
）2、示波器三、实验原理1、滤波器滤波器是一种常用的系统，它的作用为阻止某些频率信号通过，或只允许某些频率的信号通过。
滤波器主要有四种：这是四种滤波器的理想状态，实际上的滤波器只能接近这些效果，因此通常的滤波器有一些常用的参数：如带宽、矩形系数等。
通带范围：与滤波器最低衰减处比，衰减在3dB以下的频率范围。
2、线性系统线性系统是现实中广泛应用的一种系统，线性也是之后课程中默认为系统都具有的一种系统性质。
系统的线性表现在可加性与齐次性上。
齐次性：输入信号增加为原来的a倍时，输出信号也增加到原来的a倍。
四、预习要求1、复习安全操作的知识。
2、学习或复习示波器的使用方法。
3、复习典型周期信号的波形及其性质。
4、复习线性系统、滤波器的性质。
5、撰写预习报告。
五、实验内容及步骤1、讲授实验室的规章制度、强化安全教育、说明考核方法2、通过示波器，读出实验箱自带信号源各种信号的频率范围（1）测试信号源1的各种信号参数，并填入表1-1。
（2）测试信号源2的各种信号参数，并填入表1-2。
3、测量滤波器根据相应测量方法，用双踪示波器测出实验箱自带的滤波器在各频率点的输入输出幅度（先把双踪示波器两个接口都接到所测系统的输入端，调节到都可以读出输入幅度值，并把两侧幅度档位调为一致，记录下这个幅度值；之后，将示波器的一侧改接入所测系统的输出端，再调节用于输入的信号源，将信号频率其调至表1-3中标示的值，并使输入信号幅度保持原幅度值不变。
观察输出波形幅度的变化，并与原来的幅度作比较，记录变化后的幅度值。
），并将相应数据计入表1-3中。
4、测量线性系统（1）齐次性的验证自选一个输入信号，观察输出信号的波形并记录输入输出信号的参数，将输入信号的幅度增强为原信号的一定倍数后，再对输入输出输出参数进行记录，对比变化前后的输出。
信号与系统的数学基础
信号与系统的数学基础
信号与系统是一门涉及到信号处理和系统分析的学科，其数学基础主要包括以下几个方面：
1. 微积分：微积分是信号与系统中最基本的数学工具，用于描述信号的变化率和系统的响应。
2. 线性代数：线性代数用于表示信号和系统的线性组合、向量和矩阵等概念，以及求解线性方程组。
3. 概率论与随机过程：概率论和随机过程用于描述信号和系统中的随机现象，如噪声和干扰。
4. 复变函数：复变函数用于描述信号在复数域中的表示和运算，以及系统的复数域分析。
5. 离散数学：离散数学用于描述离散时间信号和系统，如数字信号处理和数字通信系统。
6. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程和偏微分方程用于描述连续时间信号和系统的动态行为，如滤波器设计和信号传输。
以上是信号与系统的数学基础的主要方面，这些数学工具在信号与系统的理论分析和实际应用中都起着重要的作用。
信号与线性系统分析课后答案_吴大正
信号与线性系统分析课后答案_吴大正第一章r(t),t,(t)1-1画出下列各信号的波形(式中)为斜升函数。
解:各信号波形为,t (2)f(t),e,,,,t,,(3) f(t),sin(,t),(t)(4) f(t),,(sint)(5) f(t),r(sint)k(7) f(t),2,(k)k(10) f(k),[1，(,1)],(k)r(t),t,(t)1-2 画出下列各信号的波形[为斜升函数]。
f(t),r(t),2r(t,1)，r(t,2)f(t),2,(t，1),3,(t,1)，,(t,2) (1) (2) f(k),k[,(k),,(k,5)]f(t),r(2t),(2,t) (5) (8),kkf(k),sin()[,(k),,(k,7)]f(k),2[,(3,k),,(,k)](11) (12) 6解:各信号波形为f(t),2,(t，1),3,(t,1)，,(t,2) (1)f(t),r(t),2r(t,1)，r(t,2) (2)f(t),r(2t),(2,t) (5)f(k),k[,(k),,(k,5)] (8),kf(k),sin()[,(k),,(k,7)](11) 6kf(k),2[,(3,k),,(,k)](12)1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
3,,,,f(t),3cost，2sin(,t)f(k),cos(k，)，cos(k，) (2) (5) 524436 解:f(t)1-6 已知信号的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
f(0.5t,2)f(1,2t)f(t,1),(t)f(t,1),(t,1) (1) (2) (5) (6) tdf(t)f(x)dx (7) (8) ,,,dt解:各信号波形为f(t,1),(t) (1)f(t,1),(t,1) (2)f(1,2t) (5) f(0.5t,2) (6)df(t)(7) dttf(x)dx (8) ,,,f(k)1-7 已知序列的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
线性系统理论和设计
线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容，涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。
以下是关于线性系统理论和设计的基本内容：
1. 线性系统模型
-线性系统描述：线性系统是指具有线性性质的动态系统，其输出与输入之间满足线性关系。
-线性系统模型：通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。
2. 线性系统分析
-系统稳定性分析：通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。
-频域分析：通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。
-时域分析：通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。
3. 线性系统设计
-控制器设计：设计合适的控制器来实现系统的性能要求，常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、根轨迹设计等。
-系统鲁棒性设计：设计具有鲁棒性的控制器，能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。
-最优控制设计：利用最优控制理论设计最优的控制器，使系统性能
达到最佳。
4. 线性系统应用
-自动控制系统：将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统，实现对各种工程系统的自动控制和调节。
-信号处理系统：利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等，对信号进行处理和提取。
-机电系统：应用线性系统理论设计机电系统的控制器，实现机电系统的精密控制和运动规划。
线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用，能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略，提高系统的性能和稳定性。
总复习(信号与线性系统必过知识点)
( t0，t0 +T )
2）指数函数集 ejnt n 0,1,2, ,
( t0，t0 +T )
3.2 周期信号的傅里叶级数展开
（1） f(t)为奇函数 正弦分量
（2） f(t)为偶函数 （3） f(t)为奇谐函数 （4） f(t)为偶谐函数
余弦分量+直流分量 奇次谐波 偶次谐波+直流分量
rzi (0 ), r 'zi (0 ), rz(in1) (0 )
4） 将初值带入rzi(t)的通解表达式，求出待定系数。
例1：已知某系统激励为零，初始值r(0)=2， r’(0)=1，r”(0)=0，描述系统的传
输算子为 解：
H(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
当激励e(t)=3 ε(t) ，初始状态保持不变时，响应 r2(t)=(8e-2t -7e-3t) ε(t)。
求：（1）激励e(t)=0，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应 r3(t)=？ （2）激励e(t)=2 ε(t)，初始状态为零时的响应r4(t)=？
解:
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时， 响应
2
2
2
例2：计算
4
(2 4t)(t 2)dt
1
解：4 (2 4t)(t 2)dt 1
4 1 (t 1)(t 2)dt 0
14
2
注意积 分区间
1. 2 信号的运算
1）折叠：y(t)=f (-t) 2）时移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：y(t)=-f (t) 4）展缩：y(t)=f (at) 其中：a>0
信号与线性系统分析课件
04 线性系统的响应
系统的冲激响应
冲激响应定义
01
冲激响应是线性系统对单位冲激函数的响应，反映了系统对瞬
时作用的响应特性。
冲激响应计算
02
通过求解线性系统的微分方程或差分方程，可以得到系统的冲
激响应。
冲激响应的物理意义
03
冲激响应可以理解为系统内部能量的传播和分布，是分析系统
动态特性的重要手段。
卷积积分定义
卷积积分是信号处理中常用的一种运算，用于描述两个函数的相互作用。在线性系统中 ，卷积积分用于描述系统的输出与输入之间的关系。
卷积积分的计算
卷积积分的计算涉及到函数乘积的积分，常用的计算方法包括离散卷积和离散化卷积等 。
卷积积分的物理意义
卷积积分可以理解为系统对输入信号的处理和转换能力，是分析系统动态特性的重要手 段。在信号处理中，卷积积分常用于信号滤波、预测和控制系统设计等领域。
03 信号的傅里叶分析
傅里叶级数
傅里叶级数定义
将周期信号表示为无穷多个正弦和余弦函数 的线性组合。
复指数形式
使用复指数函数来表示周期信号。
三角函数形式
使用正弦和余弦函数来表示周期信号。
傅里叶级数的应用
用于分析信号的频率成分和幅度变化。
傅里叶变换
01
02
03
傅里叶变换定义
将时域信号转换为频域信 号，表示信号的频率分布 。
傅里叶变换的性质
线性、时移、频移、共轭 、对称等性质。
傅里叶变换的应用
用于信号处理、图像处理 、通信等领域。
频域分析
频域分析定义
通过分析信号的频率成分 来理解信号的特征和性质 。
频域分析的应用
用于信号滤波、调制解调 、频谱分析等领域。
信号与系统——填空
一、填空题（每空1分，共30分）1、无线电通信中，信号是以电磁波形式发射出去的。
它的调制方式有调幅、调频、调相。
2、针对不同的调制方式有三种解调方式，分别是检波、鉴频、和鉴相。
3、在单调谐放大器中，矩形系数越接近于1、其选择性越好；在单调谐的多级放大器中，级数越多，通频带越窄、（宽或窄），其矩形系数越（大或小）小。
4、调幅波的表达式为：uAM（t）= 20（1 +0.2COS100πt）COS107πt（V）；调幅波的振幅最大值为24V，调幅度Ma为20℅，带宽fBW为100Hz，载波fc为5*106Hz。
5、在无线电技术中，一个信号的表示方法有三种，分别是数学表达式、波形、频谱。
6、调频电路有直接调频、间接调频两种方式。
7、检波有同步、和非同步检波两种形式。
8、反馈式正弦波振荡器按照选频网络的不同，可分为LC、RC、石英晶振等三种。
9、变频器可由混频器、和带通滤波器两部分组成。
10、列出三个常见的频谱搬移电路调幅、检波、变频。
11、用模拟乘法器非线性器件实现调幅最为理想。
一、填空题（每空1分，共30分）1、接收机分为直接放大式、和超外差式两种。
2、扩展放大器通频带的方法有组合电路法、负反馈法和集成电路法三种。
3、在集成中频放大器中，常用的集中滤波器主要有：LC带通滤波器、陶瓷、石英晶体、声表面波滤波器等四种。
4、丙类谐振功放有欠压、临界和过压三种工作状态，其性能可用负载特性、调制特性和放大特性来描述。
5、普通调幅波的数学表达式UAMt=Ucm（1+Ma cosΩt）cosωct，为了实现不失真调幅，Ma一般≤1。
6、实现AGC的方法主要有改变发射级电流IE和改变放大器的负载两种。
7、根据频谱变换的不同特点，频率变换电路分为频谱搬移电路和频谱的非线性变换电路。
8、要产生较高频率信号应采用、LC振荡器，要产生较低频率信号应采用RC振荡器，要产生频率稳定度高的信号应采用石英晶体振荡器。
9、三点式振荡器有电容和电感三点式电路。
信号与系统复习资料总结
f (t)
＋
∫
∫
＋
y(t)
例图
解 选图中右端积分器的输出为中间变量x(t)，则其输入 为x′(t)，左端积分器的输入为x″(t)， 如图所示。写出左端加 法器的输出
x" (t ) = − x ' (t ) − 3x (t ) + f (t ) x" (t ) + 5 x ' (t ) + 3x (t ) = f (t )
卷积图形计算
• 卷积积分图解（反转） f (t)
1
f2(t)=3/4t 1.5
2 O 4 t
O
2
t
f1(τ) 2 O 4 τ –2 O
f2(– τ) 1.5 τ
卷积图形计算
• 卷积积分图解（平移）
t=0 f2(t – τ) 1.5 –2 O τ
t<0
f2(t – τ) 1.5 t–2 t O τ
所以u1(t) f(t) u (t)对f(t)的传输算子为
2( p + 1) H ( p) = 2 p + 2p + 2
它代表的实际含义是
u (t ) + 2u (t ) + 2u1 (t ) = 2 f ' (t ) + 2 f (t )
" 1 ' 1
卷积计算方法
• 卷积最重要的用法：系统零状态响应y(t)=f(t)*h(t) • 时域计算方法，又分为
信号与系统复习重点
信号自变量的线性变换: 已知f(t) 图 形，求f(at-b)
• 按“平移-翻转-展缩”顺序。 • (a)平移：b>0,则先将f(t)沿t轴右移b个单位 得到f(t-b)波形。若b<0, 则将f(t)沿t轴左移b 个单位得到f(t-b)波形
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判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d y(t) 10 y(t) 5 f (t) t 0 dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 齐次性和可加性。可以证明：
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性
所以此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
■
第1页
证明齐次性
设信号f(t)作用于系统，响应为y(t)
当Af(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
A
d r(t dt
)
10r(t
)
5
Ae(t )
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足齐次性
t 0 (2)
■
第2页
证明可加性
假设有两个输入信号 f1(t)及f2 (t)
所给微分方程式分别有：
d
y1t
dt
10
y1
t
5
f1 t
d
y2 t
dt
10 y2 t 5
f2 t
分别激励系统，则由
t0
(3)
t 0
(4)
当 f1(t) f2(t) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统， 应有
d dt
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t
y2 t10y1t
y2 t 5
f1 t
f2 t
t0
(5)
(3)+(4)得
d dt
y1 t
y2 t10y1t
y2 t10
f1 t
f2 t
t 0
(6)
(5)、(6)式矛盾，系统不具有可加性
■
第3页